Lección 71 — Medidas de tendencia central: media, mediana, moda

Datos: 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9. Calcula la media, la mediana y la moda.

Notas de 8 alumnos: 4, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 10. Calcula la media, la mediana y la moda.

Salarios mensuales (en miles de BRL): 2, 2, 3, 4, 5, 50. Compara la media y la mediana. ¿Cuál representa mejor el salario típico?

Edades de 7 participantes: 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24. Calcula la media, la mediana y la moda.

Tiempos de carga (s): 0,5; 0,7; 0,8; 0,9; 1,1; 1,5; 7,0. Calcula la media y la mediana. ¿Es la mediana más informativa que la media en este caso?

Colores de coches en un aparcamiento: 12 blancos, 8 negros, 5 grises, 5 rojos. ¿Qué medida de tendencia central es apropiada?

Datos: 1, 1, 2, 3, 5, 5, 7. Determina la(s) moda(s). ¿Cómo se clasifica esta distribución?

Tabla de frecuencias: $x$ = 4, 5, 6, 7, 8 con frecuencias $f$ = 2, 3, 5, 3, 2. Calcula la media aritmética.

Datos agrupados: intervalos $[0,10)$, $[10,20)$, $[20,30)$ con frecuencias 5, 12, 3. Calcula la media usando puntos medios.

Una clase tiene una media de edad $\bar{x} = 17{,}5$ años. Un nuevo alumno de 20 años se incorpora y la nueva media pasa a $17{,}75$ años. ¿Cuántos alumnos había originalmente?

Calcula la media, la mediana y la moda para: 3, 3, 4, 5, 6, 6, 6, 9.

Calcula la media, la mediana y la(s) moda(s) para: 10, 10, 11, 12, 13, 14, 14, 15, 19.

¿Por qué los organismos estadísticos prefieren usar la mediana (y no la media) para describir la renta domiciliaria per cápita?

Tiempo de espera en urgencias: la mayoría es atendida en 1 a 2 horas, pero algunos casos graves esperan más de 10 horas. ¿Qué medida usar para describir el tiempo de espera típico? Justifícalo.

Un fabricante quiere declarar la vida útil típica de sus bombillas LED. Sugiere qué medida de tendencia central usar y justifícalo.

Una encuesta electoral pregunta a 1.000 votantes qué partido piensan votar. ¿Qué medida de tendencia central identificará el partido preferido?

Para una distribución unimodal con asimetría a la derecha (cola larga positiva), ¿cuál es el orden típico entre moda, mediana y media? Explícalo intuitivamente.

Distribución uniforme en $[0, 10]$. Determina la media, la mediana y comenta la moda. ¿Qué dice esto sobre las distribuciones simétricas?

Las notas del examen tienen una distribución próxima a la normal. ¿La media o la mediana es más adecuada para describir el rendimiento típico? Justifícalo.

Un inversor quiere saber el número de habitaciones más común en los pisos de un barrio. ¿Qué medida usar?

Tiempo de carga de página: el 95% de las peticiones responde en menos de 300 ms, pero el 1% tarda más de 5 s. ¿Por qué los ingenieros de fiabilidad prefieren la mediana (P50) y los percentiles (P95, P99) en lugar de la media?

¿Por qué para una distribución continua simétrica unimodal las tres medidas de tendencia central son iguales? Explícalo geométricamente.

A/B testing: el tiempo de pago del Sitio A tiene media 12 s y mediana 9 s. El Sitio B tiene media 10 s y mediana 10 s. ¿Qué sitio ofrece mejor experiencia para el usuario típico? Justifícalo.

La empresa A solo reporta un salario medio de 10.000 euros. La empresa B reporta media de 8.000 euros y mediana de 7.000 euros. ¿Qué puede estar ocultando la ausencia de la mediana en A?

En K-means, el centroide de un clúster es la media. ¿Cuál es el efecto de un valor atípico sobre el centroide? ¿Cómo mitiga K-medoids (que usa el punto mediano) este problema?

Control de calidad: piezas con diámetro medio $\bar{d} = 10{,}05$ mm y distribución aproximadamente simétrica. ¿A qué valor esperarías que fuera próxima la mediana? ¿Por qué?

En aprendizaje automático, el MSE como función de pérdida implica que el modelo aprende a estimar la media condicional. El MAE implica que el modelo estima la mediana condicional. Explica por qué esto se deriva de la caracterización variacional de las medidas centrales.

Un meta-análisis con 50 estudios reporta la mediana del tamaño de efecto en lugar de la media. ¿Por qué se prefiere la mediana en el meta-análisis?

¿Por qué el diagrama de caja usa la mediana como línea central (y el IQR como anchura de la caja) en lugar de usar la media y la desviación típica?

En aprendizaje federado, ¿por qué sustituir la media de los gradientes por la mediana aumenta la resistencia a clientes maliciosos (ataques Byzantine)?

Para la distribución log-normal ($\ln X \sim N(\mu, \sigma^2)$): moda $= e^{\mu-\sigma^2}$, mediana $= e^\mu$, media $= e^{\mu+\sigma^2/2}$. Verifica el orden moda menor que mediana menor que media para $\sigma > 0$.

Salarios (en miles de BRL): 4, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8 (8 empleados). Se añade un CEO con salario de R$ 60 mil (sin eliminar a nadie). Calcula la media y la mediana antes y después. ¿Qué medida cambió más?

Notas de 30 alumnos en un examen, agrupadas: $[60,70)$: 3 alumnos; $[70,80)$: 8 alumnos; $[80,90)$: 12 alumnos; $[90,100]$: 7 alumnos. Calcula la media estimada por los puntos medios.

Demuestra que $\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x}) = 0$.

Demuestra que $\sum_{i=1}^{n}(x_i - c)^2$ se minimiza en $c = \bar{x}$ para cualquier sucesión $x_1, \ldots, x_n \in \mathbb{R}$.

Demuestra que $\sum_{i=1}^{n}|x_i - c|$ se minimiza en $c = \text{mediana}$. (Sugerencia: analiza qué ocurre al desplazar $c$ hacia un lado u otro de la mediana, contando cuántos $x_i$ quedan por encima y por debajo.)

Demuestra que si $y_i = ax_i + b$ (transformación lineal), entonces $\bar{y} = a\bar{x} + b$.

¿Satisface la media $\overline{f(x_i)} = f(\bar{x})$ en general? ¿Y la mediana? Investiga con $f(t) = t^2$ y los datos $x = \{1, 2, 3\}$.

Distribución de Cauchy: $f(x) = 1/[\pi(1+x^2)]$. Calcula la mediana. Demuestra que la media no existe (la integral $\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x)\,dx$ diverge).

Demuestra que si sustituimos el valor más alto de un conjunto de datos por un valor todavía mayor, la mediana no cambia, pero la media aumenta.

Dos grupos tienen medias $\bar{x}_1$ y $\bar{x}_2$ con tamaños $n_1$ y $n_2$. Deriva la fórmula de la media combinada de los dos grupos.

La desigualdad de Jensen afirma que para $\varphi$ convexa, $\varphi(E[X]) \leq E[\varphi(X)]$. Aplícala con $\varphi(t) = t^2$ para obtener una desigualdad entre $\bar{x}^2$ y $\overline{x^2}$. ¿Qué implica esto sobre la varianza?