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Lección 72 — Varianza y desviación estándar

Dispersión estadística: cuánto se alejan los datos de la media. Varianza poblacional y muestral, desviación estándar, fórmula computacional, propiedades de linealidad e independencia.

Used in: 2.º año del Bachillerato (16-17 años) · Equiv. Stochastik LK alemán · Equiv. Math B japonés · Equiv. H2 Statistics singapurense

\sigma^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definición rigurosa

Varianza y desviación estándar — población y muestra

"La varianza es más o menos la distancia cuadrática media de cada punto de datos hasta la media. La unidad asociada a la varianza está en unidades cuadráticas. Para que la medida de dispersión tenga las mismas unidades que los datos, tomamos la raíz cuadrada de la varianza, llamada desviación estándar." — OpenIntro Statistics §2.1, Diez et al., CC-BY-SA.

"En los problemas de estadística, generalmente no tenemos acceso a toda la población, por lo que usamos los datos muestrales para estimar los parámetros poblacionales. Para ello, dividimos por el grado de libertad de la muestra, $n-1$ , en lugar de $n$ ." — OpenStax Statistics §2.7, Illowsky & Dean, CC-BY.

Propiedades algebraicas

Theorem· Propiedades de la varianza

Para variables aleatorias $X, Y$ y constantes $a, b \in \mathbb{R}$ :

\text{Var}(b) = 0

what this means · Constante tiene varianza cero: no hay dispersión.

\text{Var}(aX + b) = a^2 \, \text{Var}(X)

what this means · Traslación no afecta dispersión; escala entra al cuadrado.

\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) \quad (X, Y \text{ independientes})

what this means · Para X e Y independientes, las varianzas se suman — analogía con Pitágoras en L² .

\text{Var}(X) \geq 0

what this means · Varianza es siempre no negativa.

Demostración de $\text{Var}(aX+b) = a^2 \text{Var}(X)$ : como $E[aX+b] = a\mu + b$ , tenemos $\text{Var}(aX+b) = E[(aX+b - a\mu - b)^2] = E[(a(X-\mu))^2] = a^2 E[(X-\mu)^2] = a^2 \text{Var}(X)$ . $\square$

Representación geométrica — diagrama de dispersión

Dos conjuntos con la misma media pero dispersiones distintas. Puntos alejados de la línea punteada (media) generan varianza alta; puntos agrupados generan varianza baja.

Ejemplos resueltos

Example— 1· Cálculo directo de varianza y desviación estándar (aplicación)

Problema: Calcule la varianza poblacional $\sigma^2$ y la desviación estándar $\sigma$ para los datos $\{2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9\}$ .

Estrategia: Aplicar la definición en cuatro pasos: promedio, desvíos, cuadrados de los desvíos, promedio de los cuadrados.

Resolución:

Promedio: $\mu = \frac{2+4+4+4+5+5+7+9}{8} = \frac{40}{8} = 5$ .
Desvíos $x_i - \mu$ : $-3, -1, -1, -1, 0, 0, 2, 4$ .
Desvíos al cuadrado: $9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16$ . Suma $= 32$ .
Varianza poblacional: $\sigma^2 = \frac{32}{8} = 4$ .
Desviación estándar: $\sigma = \sqrt{4} = 2$ .

Verificación: $\sigma = 2$ tiene la misma unidad de los datos. Checamos: el intervalo $[\mu - \sigma, \mu + \sigma] = [3, 7]$ contiene los valores 4, 4, 4, 5, 5, 7 — seis de los ocho datos (75%), compatible con la regla empírica (al menos 68% para cualquier distribución de campana, Chebyshev garantiza al menos 75% para cualquier distribución).

Fuente. OpenIntro Statistics §2.1, ejemplo "Toy data for variance" — licencia CC-BY-SA.

Example— 2· Varianza muestral con corrección de Bessel (aplicación)

Problema: Ocho estudiantes hicieron una prueba de estadística. Las notas fueron: 72, 85, 90, 68, 78, 92, 81, 74. Calcule la varianza muestral $s^2$ y la desviación estándar muestral $s$ .

Estrategia: Uso divisor $n-1$ porque los datos son una muestra de una clase más grande. Usaré la fórmula computacional $s^2 = \frac{\sum x_i^2 - n\bar{x}^2}{n-1}$ para eficiencia.

Resolución:

$n = 8$ . Suma: $72+85+90+68+78+92+81+74 = 640$ . Promedio: $\bar{x} = 640/8 = 80$ .
$\sum x_i^2 = 5184 + 7225 + 8100 + 4624 + 6084 + 8464 + 6561 + 5476 = 51718$ .
$\sum x_i^2 - n\bar{x}^2 = 51718 - 8 \times 6400 = 51718 - 51200 = 518$ .
$s^2 = \frac{518}{7} \approx 74{,}0$ .
$s = \sqrt{74{,}0} \approx 8{,}6$ puntos.

Verificación: Inspeccionando los datos, todos los valores están entre 68 y 92, amplitud 24. Una desviación estándar de 8,6 es razonable — corresponde aproximadamente a $1/3$ de la amplitud, valor típico.

Fuente. OpenStax Statistics §2.7, ejemplo "Find the Standard Deviation" — licencia CC-BY.

Example— 3· Varianza de variable aleatoria discreta (intermedio)

Problema: Un dado honesto de 6 caras. Sea $X$ el resultado. Calcule $\text{Var}(X)$ .

Estrategia: Usar la fórmula $\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2$ con la distribución uniforme discreta.

Resolución:

$P(X = k) = 1/6$ para $k \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ .
$E[X] = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2}$ .
$E[X^2] = \frac{1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2}{6} = \frac{1+4+9+16+25+36}{6} = \frac{91}{6}$ .
$\text{Var}(X) = \frac{91}{6} - \left(\frac{7}{2}\right)^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182}{12} - \frac{147}{12} = \frac{35}{12}$ .
Desviación estándar: $\sigma = \sqrt{35/12} \approx 1{,}71$ .

Verificación: La fórmula general para $X$ uniforme en $\{1, \ldots, n\}$ es $\text{Var}(X) = (n^2-1)/12$ . Para $n=6$ : $(36-1)/12 = 35/12$ . Coincide.

Fuente. Grinstead & Snell, Introduction to Probability, Ch. 6, Example 6.1 — licencia GNU FDL.

Example— 4· Propiedad de linealidad y coeficiente de variación (intermedio)

Problema: Una máquina llena botellas con volumen promedio $\mu = 500$ mL y $\sigma = 4$ mL. La empresa vende en cajas de 12 botellas. (a) ¿Cuál es la desviación estándar del volumen total de una caja, asumiendo botellas independientes? (b) ¿Cuál es el coeficiente de variación ( $CV$ ) de una botella individual?

Estrategia: Para (a), usar la propiedad de independencia: $\text{Var}(X_1 + \cdots + X_{12}) = 12\sigma^2$ . Para (b), aplicar $CV = \sigma/\mu$ .

Resolución:

(a) Sea $S = X_1 + X_2 + \cdots + X_{12}$ con $X_i$ independientes e idénticas.

$\text{Var}(S) = 12 \cdot \sigma^2 = 12 \cdot 16 = 192 \text{ mL}^2$ .

$\sigma_S = \sqrt{192} = 8\sqrt{3} \approx 13{,}9$ mL.

(b) $CV = \frac{\sigma}{\mu} = \frac{4}{500} = 0{,}008 = 0{,}8\%$ .

Un $CV$ de 0,8% es muy bajo — la máquina es consistente.

Verificación: Para 12 botellas independientes, la desviación estándar crece con $\sqrt{12}$ , no con 12. $4\sqrt{12} \approx 13{,}9$ . Consistente con el cálculo.

Fuente. OpenStax Statistics §2.7, ejercicio de propiedades — licencia CC-BY.

Example— 5· Desigualdad de Chebyshev — cotas de probabilidad (modelización)

Problema: Una línea de producción fabrica piezas con masa promedio $\mu = 200$ g y desviación estándar $\sigma = 5$ g. Sin conocer la distribución exacta, determine una cota inferior para la proporción de piezas con masa entre 185 g y 215 g.

Estrategia: Chebyshev proporciona una cota universal: $P(|X - \mu| < k\sigma) \geq 1 - 1/k^2$ . Identificar $k$ a partir del rango pedido.

Resolución:

Rango pedido: $[185, 215] = [\mu - 15, \mu + 15]$ .
$15 = 3\sigma$ (pues $\sigma = 5$ ). Luego $k = 3$ .
Chebyshev: $P(|X - 200| < 15) \geq 1 - \frac{1}{3^2} = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \approx 88{,}9\%$ .

Al menos 88,9% de las piezas están dentro de la tolerancia, independientemente de la distribución.

Verificación: Si la producción fuera normal, con $k=3$ tendríamos 99,7% — mucho más. Chebyshev es conservador. El valor 88,9% es la peor cota posible para cualquier distribución con $\mu = 200, \sigma = 5$ .

Fuente. Grinstead & Snell, Introduction to Probability, §8.1, Chebyshev Inequality — licencia GNU FDL.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 24Understanding 3Modeling 9Proof 4

Ex. 72.1Application
Calcule la varianza poblacional y la desviación estándar de $\{4, 6, 8\}$ .
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Ex. 72.2Application
Calcule la varianza muestral $s^2$ y la desviación estándar muestral $s$ para $\{2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9\}$ .
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Ex. 72.3Application
Calcule la desviación estándar poblacional de $\{5, 6, 7, 8, 9\}$ .
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Ex. 72.4ApplicationAnswer key
¿Cuál es la varianza de $\{10, 10, 10, 10\}$ ? Explique geométricamente.
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Ex. 72.5ApplicationAnswer key
Calcule la varianza poblacional de $\{0, 100\}$ .
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Ex. 72.6Application
Salarios (mil EUR): $3, 3, 4, 4, 5, 20$ . Calcule promedio y desviación estándar muestral. Comente el efecto del valor atípico.
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Ex. 72.7Application
Use la fórmula computacional $\overline{x^2} - \bar{x}^2$ para calcular la varianza de $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ .
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Ex. 72.8Application
Tiempo de espera (min) en 8 atenciones: $5, 7, 6, 8, 4, 5, 6, 7$ . Calcule la desviación estándar muestral.
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Ex. 72.9ApplicationAnswer key
Pesos (kg) de 6 sandías: $8, 9, 9, 10, 11, 13$ . Calcule $s^2$ y $s$ .
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Ex. 72.10Application
$X$ asume valores $1, 2, 3$ con probabilidades $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}$ . Calcule $\text{Var}(X)$ .
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Ex. 72.11Application
Dado honesto de 6 caras. Calcule $\text{Var}(X)$ .
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Ex. 72.12ApplicationAnswer key
Suma de dos dados honestos independientes. Calcule $\text{Var}(S)$ usando la propiedad de independencia.
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Ex. 72.13Application
Temperatura máxima (°C) en 7 días: $10, 7, 4, 9, 8, 11, 5$ . Calcule la varianza muestral.
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Ex. 72.14Application
Use la fórmula computacional $E[X^2] - (E[X])^2$ para calcular la varianza de $\{1, 3, 5, 7, 9\}$ .
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Ex. 72.15ApplicationAnswer key
Si $\text{Var}(X) = 9$ , calcule $\text{Var}(2X + 5)$ .
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Ex. 72.16Application
Si $\sigma_X = 4$ , ¿cuál es la desviación estándar de $3X$ ?
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Ex. 72.17ApplicationAnswer key
$\text{Var}(X) = 4$ , $\text{Var}(Y) = 9$ , $X$ e $Y$ independientes. Calcule $\text{Var}(X+Y)$ y $\text{Var}(X-Y)$ .
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Ex. 72.18Application
Estandarice $X = 80$ si $\mu = 70$ , $\sigma = 5$ . Calcule el escore $z$ .
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Ex. 72.19Application
$F = 1{,}8C + 32$ (conversión Celsius a Fahrenheit). Si $\sigma_C = 5$ °C, ¿cuál $\sigma_F$ ?
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Ex. 72.20Application
Calcule el coeficiente de variación $CV = \sigma/\mu$ para alturas ( $\mu = 170$ cm, $\sigma = 8$ cm) y pesos ( $\mu = 70$ kg, $\sigma = 12$ kg). ¿Cuál conjunto es relativamente más variable?
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Ex. 72.21Application
Estandarice $\{60, 70, 80\}$ usando $\mu = 70, \sigma = 10$ . ¿Cuál el promedio y la desviación estándar de los escores $z$ ?
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Ex. 72.22Application
$\text{Var}(X) = 16$ . ¿Cuál $\text{Var}(-X)$ ?
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Ex. 72.23ApplicationAnswer key
Promedio muestral de $n = 25$ observaciones independientes con $\sigma = 10$ . ¿Cuál la desviación estándar del promedio?
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Ex. 72.24Application
Suma de 100 variables aleatorias iid con $\sigma = 1$ . ¿Cuál la desviación estándar de la suma?
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Ex. 72.25Understanding
¿Por qué la varianza muestral usa divisor $n-1$ en lugar de $n$ ?
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Ex. 72.26Understanding
Para comparar dispersión entre salarios (EUR) y alturas (cm), ¿prefiere $\sigma$ o $CV$ ? ¿Por qué?
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Ex. 72.27Understanding
¿Puede la varianza ser negativa?
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Ex. 72.28Modeling
Línea de producción: masa promedio 500 g, $\sigma = 5$ g. Tolerancia $\pm 15$ g. ¿Cuántos $\sigma$ la tolerancia representa?
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Ex. 72.29ModelingAnswer key
Dos fondos con retorno esperado 8%, pero $\sigma_A = 5\%$ y $\sigma_B = 15\%$ . ¿Cuál elegir como averso al riesgo? ¿Por qué?
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Ex. 72.30Modeling
Mide una resistencia 10 veces: $\bar{R} = 100\,\Omega$ , $s = 0{,}5\,\Omega$ . Estime la desviación estándar del promedio.
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Ex. 72.31Modeling
Tiempo de viaje casa-trabajo: $\mu = 30$ min, $\sigma = 5$ min. Usando la desigualdad de Chebyshev como cota conservadora, ¿cuántos minutos antes debe salir para tener al menos 95% de chance de llegar a tiempo?
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Ex. 72.32Modeling
Proceso Seis Sigma: $\mu = 10{,}00$ mm, tolerancia $9{,}94$ a $10{,}06$ mm. ¿Cuál el mayor $\sigma$ que aún satisface el requisito Seis Sigma?
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Ex. 72.33ModelingAnswer key
Acciones A: $\sigma_A = 1\%$ ; Acciones B: $\sigma_B = 2\%$ . Cartera 50-50, correlación cero. Varianza de la cartera.
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Ex. 72.34Modeling
Misma cartera del ejercicio anterior, pero con correlación $-0{,}5$ entre las acciones. Varianza. Compare con el caso de correlación cero.
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Ex. 72.35Modeling
En aprendizaje automático, ¿por qué características con diferentes escalas deben estandarizarse antes de entrenar modelos basados en gradiente?
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Ex. 72.36Modeling
Notas del ENEM en Matemática: $\mu \approx 520$ , $\sigma \approx 110$ puntos. Un alumno sacó 740. Calcule el escore $z$ e interprete (¿en cuántas desviaciones estándar por encima del promedio está?).
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Ex. 72.37Proof
Demuestre que $\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2$ a partir de la definición $\text{Var}(X) = E[(X-\mu)^2]$ .
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Ex. 72.38Proof
Demuestre que $\text{Var}(aX + b) = a^2\,\text{Var}(X)$ para cualesquiera constantes $a, b$ .
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Ex. 72.39ProofAnswer key
Demuestre que $\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$ cuando $X$ e $Y$ son independientes.
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Ex. 72.40Proof
Demuestre la desigualdad de Chebyshev: $P(|X - \mu| \geq k\sigma) \leq \dfrac{1}{k^2}$ para $k > 0$ .
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Fuentes

OpenIntro Statistics (4ª ed.) — Diez, Çetinkaya-Rundel, Barr · CC-BY-SA. Fuente primaria de esta lección. §2.1–§2.2 cubren varianza muestral, desviación estándar, diagrama de caja y ejemplos aplicados.
Statistics (OpenStax) — Illowsky, Dean · CC-BY. §2.7 cubre medidas de dispersión, fórmula computacional, ejercicios con calculadora y datos educacionales/salud.
Introduction to Probability — Grinstead & Snell (Dartmouth) — GNU FDL. Ch. 6 cubre varianza de variables aleatorias discretas, propiedades algebraicas, Chebyshev y conexión con ley de los grandes números.