Lección 73 — Cuartiles, percentiles y diagrama de caja

Datos: 1, 3, 5, 7, 9. Calcula mediana, $Q_1$ y $Q_3$.

Datos: 2, 4, 6, 8, 10, 12. Calcula el resumen de 5 números.

Calificaciones: 4, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10. Calcula $Q_1$, $Q_2$, $Q_3$.

Calcula el $RIC$ de los datos: 12, 14, 18, 22, 25, 28, 32.

Edades: 18, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 27, 30, 35, 60. Aplica la regla 1,5 RIC. ¿Hay valor atípico?

Salarios (R$miles): 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 8, 50. Calcula mediana e$RIC$.

Para $n = 100$ datos ordenados, ¿cuál es la posición de $Q_3$ por el método de interpolación lineal?

Tiempos (s): 10, 11, 11, 12, 13, 13, 14, 14, 15, 100. Calcula límites de Tukey e identifica el/los valor(es) atípico(s).

Pesos (kg): 60, 62, 64, 65, 65, 67, 70, 72, 75, 80. Describe todos los elementos del diagrama de caja.

Para $Z \sim \mathcal N(0,1)$, $Q_3 - Q_1 = ?$

Datos con $RIC = 6{,}7$. Usando el estimador robusto $\hat\sigma = RIC/1{,}349$, calcula $\hat\sigma$.

¿Cuántos puntos por encima de $Q_3 + 3 \cdot RIC$ esperaríamos en una muestra de 1000 observaciones normales?

Diagrama A: caja estrecha, mediana centrada. Diagrama B: caja ancha, mediana próxima a $Q_1$. Compara dispersión y simetría de los dos conjuntos.

Distribución con cola larga a la derecha. ¿Dónde está la media en relación a la mediana?

Conjunto A tiene $RIC = 5$, conjunto B tiene $RIC = 20$. ¿En cuál hay más dispersión en los datos centrales?

Mediana de $A = B = 50$. $Q_3$ de $A = 55$, de $B = 80$. ¿Cuál de los dos tiene distribución más asimétrica a la derecha?

$P_{90}$ de salarios de la empresa = R$ 30 mil. Interpreta esta información.

Un estudiante está en el $P_{85}$ del ENEM. ¿Qué significa eso?

Si $Q_1 = Q_2 = Q_3$, ¿qué se puede concluir sobre los datos?

¿La afirmación "la regla 1,5 RIC señala el 5% de los datos como valores atípicos" es correcta para datos normales?

Edades (años): 40, 52, 55, 58, 62, 66, 72. Calcula el resumen de 5 números y verifica si hay valores atípicos.

Calificaciones de 10 estudiantes: 3, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10, 10. Diagrama de caja completo (con verificación de valores atípicos).

Clase de 100 estudiantes: $Q_1 = 5$, $Q_3 = 8$. Un estudiante sacó 9,5 — ¿está en el top 25%?

¿Por qué el IBGE divulga mediana de ingresos, y no solo la media, en los reportes sobre desigualdad en Brasil?

Piezas producidas con diámetro: $Q_1 = 9{,}98$ mm, $Q_3 = 10{,}02$ mm. Especificación: $10{,}00 \pm 0{,}05$ mm. ¿El proceso está centrado? ¿Hay riesgo de rechazo significativo?

Test A/B de sitio: variante A tiene mediana 1,2 s e $IQR = 0{,}3$; variante B tiene mediana 1,1 s e $IQR = 1{,}5$. ¿Cuál preferirías para lanzar en producción? Justifica usando las estadísticas de dispersión.

Detectas un valor atípico en transacciones financieras que parece ser fraude. ¿Debes removerlo antes de analizar los datos? Justifica con argumentos estadísticos.

Tiempos de respuesta (ms): 120, 130, 135, 140, 142, 145, 148, 150, 155, 380. Calcula el resumen de 5 números y evalúa si el sistema cumple SLA de 200 ms basado en los cuartiles.

Hospital con 4 alas. Tiempos de internación (días): Ala A: 5, 8, 9, 10, 12; Ala B: 3, 4, 4, 5, 20; Ala C: 7, 8, 8, 9, 10; Ala D: 2, 3, 15, 18, 25. Construye los resúmenes de 5 números e identifica cuál ala es más predecible en gestión de camas.

Notas del ENEM por escuela. Escuela A: mediana 650, $RIC = 80$. Escuela B: mediana 620, $RIC = 200$. ¿Cuál escuela tiene desempeño más uniforme? ¿Qué patrón sugiere cada uno para la política pedagógica?

Precipitación mensual media en São Paulo (mm): 234, 181, 130, 83, 68, 52, 44, 47, 82, 122, 145, 201. Calcula el resumen de 5 números e interpreta la estacionalidad.

Precios de inmuebles en un barrio (R$ miles): 250, 280, 310, 320, 340, 350, 380, 390, 420, 1800. Calcula mediana y media. ¿Por qué un comprador debe usar la mediana como referencia de precio típico?

Explica, en tus propias palabras, por qué mediana e RIC son "robustos" mientras que media y desviación estándar no lo son. Usa un ejemplo concreto.

¿Un diagrama de caja puede esconder una distribución bimodal? Construye un ejemplo concreto de distribución bimodal que tiene el mismo diagrama de caja que una distribución unimodal.

Para $X \sim \text{Uniforme}(0, 1)$, el $RIC$ es:

Calcula analíticamente el $RIC$ de $X \sim \text{Exponencial}(\lambda)$. Expresa en función de $\lambda$.

Argumenta por qué el punto de ruptura del $RIC$ es 25%, el de la mediana es 50% y el de la media es 0%.

Demuestra: si $X$ es v.a. continua con densidad simétrica en torno a $\mu$, entonces $\mu$ es la mediana de $X$.

Muestra que para $n \to \infty$ y muestras iid de Uniforme(0,1), el estimador muestral de $Q_1$ converge a 0,25. Usa propiedades de estadísticas de orden.

Demuestra que la mediana minimiza $E[|X - c|]$ sobre todos los valores $c \in \mathbb{R}$.