Lección 74 — Variable aleatoria discreta

$X$ asume valores 1, 2, 3 con probabilidades 0,2; 0,5; 0,3. Calcula $E[X]$.

Misma $X$ del ejercicio anterior. Calcula $E[X^2]$.

Misma $X$. Calcula $\text{Var}(X)$.

Dado honesto ($X \in \{1,2,3,4,5,6\}$, $p = 1/6$). Calcula $E[X]$ y $\text{Var}(X)$.

Moneda honesta: $X = 1$ si cara, $X = 0$ si cruz. Calcula $E[X]$ y $\text{Var}(X)$.

Suma $S = X_1 + X_2$ de dos dados honestos. Calcula $E[S]$.

Suma $S = X_1 + X_2$ de dos dados independientes. Calcula $\text{Var}(S)$.

$X$ uniforme en $\{1, 2, \ldots, n\}$. Calcula $E[X]$ en función de $n$.

$P(X = k) = c \cdot k$ para $k \in \{1, 2, 3, 4\}$. Encuentra $c$ y calcula $E[X]$.

$P(X = k) = (1/2)^k$ para $k = 1, 2, \ldots$ Verifica que es FMP válida y calcula $E[X]$.

Lotería: ganas R$1 millón con prob.$10^$, cada billete cuesta R$ 5. Calcula $E[\text{ganancia}]$ por billete. ¿Vale la pena comprar?

Apuesta: ganas R$100 con prob. 0,4 y pierdes R$ 60 con prob. 0,6. Calcula $E[X]$.

$E[X] = 5$, $E[Y] = 3$. Calcula $E[2X + 3Y - 1]$.

$X$ tiene $E[X] = 4$ y $\text{Var}(X) = 9$. Calcula $E[X^2 + 1]$.

100 dados independientes. Esperanza de la suma total.

100 dados independientes. Varianza de la suma total.

$X \in \{0, 1, 2\}$ con probabilidades 0,3; 0,5; 0,2. Calcula $E[X^2]$.

Misma $X$. Calcula $E[3X + 2]$ vía linealidad.

Misma $X$. Calcula $E[(X-1)^2]$ vía LOTUS.

Extraes 5 cartas de una baraja sin reposición. Usa indicadores y linealidad para calcular la esperanza del número de ases.

Entre $n$ personas, esperanza del número de pares que comparten el mismo cumpleaños. Usa indicadores.

Urna con 5 bolas rojas y 15 azules. Extraes 10 sin reposición. Esperanza del número de rojas.

Seguro: 1% de probabilidad de pagar R$ 100 mil. Cuál es la prima actuarialmente justa?

Ruleta europea (37 casas): apuestas R$1 en un número, paga 35:1. Calcula$E[X]$ por rodada.

E-commerce: 10% de los visitantes compran; promedio de compra R$ 200. Calcula el ingreso esperado por 1.000 visitantes.

Modelo de ML con 95% de precisión. Cada error cuesta R$ 50. Esperanza de costo total en 1.000 clasificaciones.

Línea de producción: 2% de las piezas son defectuosas. Lote de 50 piezas. Esperanza y varianza del número de defectuosas.

Centro de llamadas: operador atiende 1, 2 o 3 clientes/min con probabilidades 0,2; 0,5; 0,3. Esperanza de atenciones por hora.

Lanzas una moneda honesta hasta que salga cara. Esperanza del número de lanzamientos.

Servidor recibe 5 solicitudes/s en promedio (Poisson). Esperanza de solicitudes en 1 minuto.

Trabajador autónomo: recibe R$1.500 (30$ 1.000 (70% del tiempo). Alícuota INSS simplificada: 7,5% sobre el salario mensual. Calcula la contribución esperada mensual.

Fondo de inversión: retorno mensual de +2% con prob. 0,6 o -1% con prob. 0,4. Calcula retorno esperado y varianza mensual.

Tienda con 3 proveedores: A (40% de los pedidos, 3 días), B (35%, 5 días), C (25%, 7 días). Calcula tiempo promedio de entrega y varianza.

Tarjeta con cashback aleatorio: R$5 en 20$ 0 en caso contrario. Con 50 compras/mes, calcula cashback esperado mensual y desviación estándar.

Por qué funciona LOTUS? Explica en 2–3 líneas sin usar fórmulas.

Por qué la linealidad de la esperanza $E[X+Y] = E[X] + E[Y]$ vale incluso cuando $X$ e $Y$ son dependientes?

Construye una v.a. discreta con solo 2 valores que satisfaga $E[X] = 0$ y $\text{Var}(X) = 1$.

Demuestra la identidad $\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2$ a partir de la definición $\text{Var}(X) = E[(X - \mu)^2]$.

Demuestra que si $X, Y$ son discretas e independientes, entonces $E[XY] = E[X]\,E[Y]$.

Demuestra las desigualdades de Markov ($P(X \geq a) \leq E[X]/a$ para $X \geq 0$) y Chebyshev ($P(|X - \mu| \geq k\sigma) \leq 1/k^2$).