Lección 75 — Distribución binomial

$X \sim \text{Bin}(5, 0{,}5)$. Calcula $P(X = 3)$.

$X \sim \text{Bin}(10, 0{,}3)$. Calcula $P(X = 0)$.

$X \sim \text{Bin}(8, 0{,}25)$. Calcula $P(X = 2)$.

$X \sim \text{Bin}(6, 1/6)$. Calcula $P(X \geq 1)$ por complemento.

$X \sim \text{Bin}(4, 0{,}5)$. Construye la tabla completa de FMP para $k = 0, 1, 2, 3, 4$.

$X \sim \text{Bin}(20, 0{,}1)$. Calcula $E[X]$ y $\text{Var}(X)$.

$X \sim \text{Bin}(100, 0{,}5)$. Calcula $\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)}$.

Lanza 10 monedas. Calcula $P(\text{exactamente 5 caras})$.

Lanza 10 monedas. Calcula $P(\text{al menos 8 caras})$.

Lanza un dado 6 veces. Calcula $P(\text{exactamente 2 seises})$.

Lanza un dado 6 veces. Calcula $P(\text{ningún seis})$.

Para $X \sim \text{Bin}(n, p)$, calcula $P(X = 0) + P(X = n)$ en función de $n$ y $p$.

Para $X \sim \text{Bin}(n, p)$, deriva la razón $P(X = k)/P(X = k-1)$ en función de $n$, $p$ y $k$.

Muestra que la moda de $\text{Bin}(n, p)$ es $\lfloor (n+1)p \rfloor$. Calcula la moda de $\text{Bin}(10, 0{,}3)$.

$X \sim \text{Bin}(100, 0{,}3)$. Aproxima $P(X \leq 25)$ por la normal (usa corrección de continuidad).

$X \sim \text{Bin}(1000, 0{,}001)$. Usa la aproximación Poisson para $P(X = 0)$.

$X \sim \text{Bin}(50, 0{,}5)$. Aproxima $P(X \geq 30)$ por la normal con corrección de continuidad.

$X_1 \sim \text{Bin}(10, 0{,}3)$ y $X_2 \sim \text{Bin}(20, 0{,}3)$ independientes. ¿Cuál es la distribución de $X_1 + X_2$?

$X \sim \text{Bin}(50, 0{,}02)$. Usa aproximación Poisson para $P(X = 0)$, $P(X = 1)$ y $P(X = 2)$.

Elección: $p = 0{,}52$, $n = 1000$. Aproxima $P(\hat p < 0{,}50)$, la probabilidad de que la encuesta se equivoque en el líder.

Para $X \sim \text{Bin}(n, 0{,}5)$, ¿a partir de cuál $n$ se considera buena la aproximación normal? Justifica.

Muestra que la varianza de $\text{Bin}(n, p)$ se maximiza en $p = 0{,}5$ para $n$ fijo.

Filtro de spam con 90% de recall. En 500 emails de spam genuino, $P(\text{marcar} \geq 470)$.

¿Por qué la fórmula $\text{Var}(X) = np(1-p)$ se puede deducir por descomposición en variables de Bernoulli?

Línea de producción: 3% de defectuosas. Lote de 50 piezas. Calcula $P(\text{al menos 3 defectuosas})$.

Vacuna: eficacia 85%. En 100 vacunados, $P(\geq 90 \text{ protegidos})$. Usa aproximación normal.

Prueba A/B: variante A, 100 visitantes, 14 compraron. Variante B, 100 visitantes, 22 compraron. Calcula el p-valor del z-test para diferencia de proporciones.

Encuesta electoral: $n = 1500$, margen de error deseado $\pm 2{,}5\%$ a 95%. ¿Es suficiente el tamaño?

Genética: cruzamiento $Aa \times Aa$, cada descendiente tiene prob. $1/4$ de ser $AA$. En 8 hijos, $P(\text{exactamente 2 son } AA)$.

Centro de llamadas: 5% de las llamadas fallan. En 200 llamadas, calcula esperanza y $\sigma$ de fallos.

Six Sigma (con ajuste 1,5σ): tasa de 3,4 ppm. En 1 millón de piezas, usa aproximación Poisson para $P(0 \text{ defectos})$ y $E[\text{defectos}]$.

Apuesta: 30% de chance de ganar 100 pesos. Cada jugada cuesta 25 pesos. En 20 jugadas, ¿cuál es la ganancia esperada total?

Tasa de conversión de leads: 1%. Para cerrar en promedio 5 negocios al mes, ¿cuántos leads necesita generar?

ENEM: 60% de candidatos alcanzan nota mínima en la redacción. En clase de 20 alumnos, calcula $E[X]$, $\sigma$ y $P(X \geq 15)$.

Urna con 30% de bolas rojas. 50 sorteos con reposición. ¿Por qué se aplica la binomial? Calcula $E[X]$ y $P(X = 15)$.

Concurso público: 8% de tasa de aprobación. Clase de 30 alumnos. $E[\text{aprobados}]$ y $P(\text{al menos 1 aprobado})$.

¿Por qué la binomial no se aplica al sorteo sin reposición? Da un contraejemplo numérico donde usar binomial daría respuesta errada.

¿Cuál es la diferencia fundamental entre distribución binomial e hipergeométrica?

Demuestra $E[X] = np$ y $\text{Var}(X) = np(1-p)$ por descomposición $X = Y_1 + \cdots + Y_n$ en variables de Bernoulli.

Demuestra el límite Poisson: $\text{Bin}(n, \lambda/n) \to \text{Poisson}(\lambda)$ cuando $n \to \infty$ con $\lambda$ fijo.

Demuestra que $\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} = 1$ usando el Teorema Binomial.

Demuestra aditividad: si $X \sim \text{Bin}(n_1, p)$ e $Y \sim \text{Bin}(n_2, p)$ son independientes (mismo $p$), entonces $X + Y \sim \text{Bin}(n_1 + n_2, p)$.