Lección 76 — Distribución normal

$X \sim \mathcal N(70, 10^2)$. Calcule la puntuación z para $X = 85$.

$X \sim \mathcal N(100, 15^2)$. Calcule la puntuación z para $X = 80$.

Calcule $P(Z \leq 1{,}96)$.

Calcule $P(Z \geq 1{,}96)$.

Calcule $P(-1{,}96 \leq Z \leq 1{,}96)$.

Calcule $P(Z \leq -1{,}5)$.

Calcule $P(0 \leq Z \leq 2)$.

$X \sim \mathcal N(50, 10^2)$. Calcule $P(X > 65)$.

$X \sim \mathcal N(50, 10^2)$. Calcule $P(40 < X < 60)$.

$X \sim \mathcal N(0, 4)$ (varianza = 4). Calcule $P(X > 3)$.

Calcule el cuantil 90% de $\mathcal N(100, 15^2)$.

Calcule $Q_1$ (cuantil 25%) de $\mathcal N(100, 15^2)$.

CI $\sim \mathcal N(100, 15^2)$. ¿Qué % de la población tiene CI entre 85 y 115?

CI $\sim \mathcal N(100, 15^2)$. ¿Qué % tiene CI arriba de 130?

CI $\sim \mathcal N(100, 15^2)$. ¿Qué % tiene CI arriba de 145?

Alturas $\sim \mathcal N(170, 8^2)$ cm. ¿Qué % tiene altura arriba de 186 cm?

Notas $\sim \mathcal N(70, 10^2)$. ¿A partir de qué nota comienza el top 5%?

$X \sim \mathcal N(0, 1)$. Calcule $P(|X| > 3)$.

Para $X \sim \mathcal N(\mu, \sigma^2)$, ¿cuál es la relación entre mediana, moda y $\mu$?

$X \sim \mathcal N(20, 4^2)$ y $Y \sim \mathcal N(10, 3^2)$ independientes. ¿Cuál es la distribución de $X + Y$?

Salario mensual $\sim \mathcal N(5000, 1500^2)$ euros. ¿Cuál es el piso salarial del top 10%?

Duración de vuelo $\sim \mathcal N(120, 10^2)$ min. ¿Cuánto tiempo reservar para tener 99% de confianza de llegar a tiempo?

Retornos diarios de acción $\sim \mathcal N(0{,}001,\; 0{,}01^2)$. Calcule $P(\text{pérdida} > 2\%)$.

Voltaje $\sim \mathcal N(220, 5^2)$. El aparato falla si $V > 235$ V. Calcule la probabilidad de falla.

Piezas con diámetro $\mathcal N(10{,}00;\; 0{,}02^2)$ mm. Tolerancia $10{,}00 \pm 0{,}05$ mm. ¿Qué fracción se rechaza?

Encuesta con 1000 entrevistados estima proporción real $p = 0{,}50$. Construya IC 95% para $p$.

$\bar X = 105$, $n = 25$, $\sigma = 10$ (conocido). Construya IC 95% para $\mu$.

Prueba $H_0: \mu = 100$ vs. $H_1: \mu \neq 100$. $\bar X = 105$, $n = 25$, $\sigma = 10$. Calcule el p-valor y decida.

Tiempo de ejecución $\sim \mathcal N(50, 5^2)$ ms. Para garantizar SLA con 95% de las solicitudes abajo del límite, ¿qué threshold definir?

Six Sigma: especificación $\mu \pm 6\sigma$. Con ajuste de 1,5σ para deriva del proceso, calcule los defectos por millón. ¿Por qué el resultado es 3,4 ppm y no prácticamente cero?

Gráfico X-bar con $n = 5$, $\sigma = 2$ (conocido), $\bar{\bar{X}} = 100$. Calcule UCL y LCL a $\pm 3\sigma$.

Scores de modelo de ML $\sim \mathcal N(0{,}80,\; 0{,}05^2)$. ¿Cuál es el threshold para seleccionar el top 20% de los modelos?

Resistor 100Ω con tolerancia $\pm 5\%$. Asumiendo $\sigma = 5/3$ ohm (3$\sigma$ = tolerancia), calcule la fracción dentro de la especificación.

Retorno anual de cartera $\sim \mathcal N(5\%, 20\%^2)$. Calcule la probabilidad de retorno negativo en un año.

Notas del ENEM (Matemática) $\sim \mathcal N(520, 110^2)$. Calcule $P(\text{nota} > 700)$.

IPCA anual modelado como $\mathcal N(4{,}5\%,\; 1{,}5\%^2)$. Meta de inflación: hasta 6,5%. ¿Cuál es la probabilidad de desbordar la meta?

¿Por qué estandarizamos a la normal estándar? ¿Qué justifica la existencia de una única tabla $\Phi(z)$?

¿Cómo es la cola de la normal — "fina" o "pesada"? ¿Por qué es importante en modelado de riesgo financiero?

Demuestre que si $X \sim \mathcal N(0, 1)$, entonces $Y = X^2$ tiene distribución chi-cuadrado con 1 grado de libertad.

Demuestre que si $X \sim \mathcal N(\mu, \sigma^2)$ y $Y = aX + b$ (con $a > 0$), entonces $Y \sim \mathcal N(a\mu + b,\; a^2\sigma^2)$.

Demuestre que $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2/2}\,dx = \sqrt{2\pi}$ por el truco de coordenadas polares.

Demuestre (esbozo) que la distribución normal maximiza la entropía diferencial entre todas las distribuciones continuas con media $\mu$ y varianza $\sigma^2$ fijas.