Lección 77 — Teorema Central del Límite

$X$ exponencial con $\mu = 1$ y $\sigma = 1$. Escribe la distribución aproximada de $\bar X_{100}$ y calcula $\sigma_{\bar X}$.

$X$ uniforme en $[0, 1]$. Determina $\mu$ y $\sigma^2$, y escribe la distribución aproximada de $\bar X_{50}$ por el TCL.

Lanza 100 dados no sesgados. Determina la distribución aproximada de la suma $S_{100}$, informando $E[S]$ y $\text{Var}(S)$.

$X \sim \text{Bernoulli}(0{,}3)$. Escribe la distribución aproximada de $\bar X_{200}$ por el TCL y calcula la desviación estándar de la proporción muestral.

Una población tiene $\mu = 50$ y $\sigma = 10$. Para $n = 25$, calcula la desviación estándar de $\bar X$ (en números enteros).

Usando los datos de 77.5 ($\mu = 50$, $\sigma = 10$, $n = 25$), calcula $P(\bar X > 53)$.

Con los mismos parámetros ($\mu = 50$, $\sigma = 10$, $n = 25$), calcula $P(\bar X < 47)$.

$X$ con $\mu = 100$, $\sigma = 20$, $n = 100$. Calcula $P(98 < \bar X < 102)$.

Suma de 50 v.a. iid con $\mu = 5$, $\sigma = 2$. Calcula $P(S_{50} > 270)$.

$X$ con $\mu = 10$, $\sigma = 3$. ¿Cuántas observaciones $n$ para un IC de 95% con margen de error $\pm 0{,}5$?

Cuando el tamaño de muestra $n$ se multiplica por 4, la desviación estándar de $\bar X$ ($= \sigma/\sqrt{n}$):

$X$ tiene distribución muy asimétrica (skewness = 3). ¿Para qué tamaño de $n$ el TCL es razonable?

Calificaciones con $\mu = 70$, $\sigma = 15$. Muestra $n = 36$. Calcula $P(\bar X > 75)$.

Con los mismos parámetros de 77.13 ($\mu = 70$, $\sigma = 15$, $n = 36$), calcula $P(\bar X < 65)$.

Con $\mu = 70$, $\sigma = 15$, $n = 36$ y $\bar X = 72$, construye un IC de 95% para $\mu$.

Peso de paquetes: $\mu = 500$ g, $\sigma = 50$ g. Muestra $n = 25$. Calcula $P(\bar X > 520)$.

Con los parámetros de 77.16 ($\mu = 500$ g, $\sigma = 50$ g, $n = 25$), calcula $P(485 < \bar X < 515)$.

Tiempo de respuesta: $\mu = 50$ ms, $\sigma = 10$ ms. Media de 100 mediciones. ¿Cuál es el límite de SLA de 95%?

Lanza un dado 1.000 veces. Calcula $P(\bar X > 3{,}6)$.

Usando la distribución de la suma $S_{1000}$ de 1.000 lanzamientos de dado, calcula $P(S_{1000} > 3600)$.

$X \sim \text{Exp}(1)$ ($\mu = 1$, $\sigma = 1$). Calcula $P(\bar X_{100} > 1{,}1)$.

Encuesta electoral: $p = 0{,}40$, $n = 1000$. Calcula $P(\hat p > 0{,}43)$.

Posees 50 acciones independientes; retorno diario de cada una: $\mu = 0{,}1\%$, $\sigma = 2\%$. ¿Cuál es la distribución del retorno promedio diario de la cartera?

Modelo de ML: error individual $\sigma = 0{,}5$. Calcula la desviación estándar del error promedio sobre 1.000 predicciones.

Determina el tamaño de muestra para detectar diferencia de proporciones de 5% con $\alpha = 0{,}05$ y poder de 80%.

Estimación de $\pi$ por Monte Carlo: $n$ puntos aleatorios en el cuadrado $[0,1]^2$, se cuentan los que caen en el cuarto de disco. ¿Cuál es la desviación estándar de la estimación de $\pi$ como función de $n$?

Lote de 500 piezas: $\mu = 100$ g, $\sigma = 5$ g. Determina la distribución de la masa total $S_{500}$.

Tiempo de espera de autobús: $\mathcal{U}[0, 30]$ min. Calcula $P(\bar T_{50} > 16)$ para la espera promedio de 50 pasajeros.

Gráfico de control X-barra con $n = 5$. Los límites de control son $\bar X \pm 3\sigma_{\bar X}$. Calcula el ancho del intervalo en términos de $\sigma$ del proceso.

Encuesta de satisfacción: margen de error $\pm 3\%$ a 95% de confianza, $p$ desconocido. ¿Cuál es el $n$ mínimo?

Tiempo de llamada: $\mu = 3$ min, $\sigma = 1{,}5$ min. 100 llamadas por hora. Determina la distribución del tiempo total y calcula $P(\text{total} > 330\text{ min})$.

Test A/B: 10.000 visitantes por variante; tasa de conversión A = 5%, B = 6%. ¿El lift de 1 punto porcentual es estadísticamente significativo? Calcula el valor $z$ y el $p$-valor.

¿Cuál de las siguientes opciones describe correctamente el Teorema Central del Límite?

¿Por qué el TCL clásico de Lindeberg-Lévy no se aplica a la distribución de Cauchy?

Simula el TCL en Python para distribución exponencial con $\lambda = 1$. Genera histogramas de 10.000 medias muestrales para $n \in \lbrace 1, 5, 30 \rbrace$ y compara visualmente con la curva normal teórica.

Esboza la demostración del TCL mediante función característica, indicando dónde cada hipótesis (varianza finita, iid) es usada.

Muestra que el TCL implica la Ley Débil de los Grandes Números: si $Z_n \xrightarrow{d} \mathcal{N}(0,1)$, entonces $\bar X_n \xrightarrow{P} \mu$.