Lição 78 — Correlação e regressão linear simples

$X = (1, 2, 3, 4)$, $Y = (2, 4, 6, 8)$. Calcule $r$ sem usar calculadora e justifique o resultado.

$X = (1, 2, 3, 4)$, $Y = (8, 6, 4, 2)$. Calcule $r$ e identifique o sinal esperado antes de computar.

$X = (1, 2, 3)$, $Y = (1, 4, 9)$. Calcule $r$ e discuta se a relação é linear.

Se $U = X + 5$ e $V = 2Y$, qual a relação entre $r(U, V)$ e $r(X, Y)$? Justifique com a definição.

Dados com $n = 5$ pares: $x = (1, 2, 3, 4, 5)$ e $y = (10, 7, 5, 4, 3)$. Calcule $r$.

$X = (1, 2, 3, 4, 5)$, $Y = (1, 4, 5, 9, 10)$. Calcule $r$ e a covariância $s_{xy}$.

$r = 0,85$, $\bar x = 10$, $\bar y = 50$, $s_x = 3$, $s_y = 12$. Encontre a reta de mínimos quadrados.

Usando a reta do exercício 78.7 ($\hat y = 16 + 3,4x$), preveja $Y$ para $x = 15$ e para $x = 5$.

Com $r = 0,85$ (exercício 78.7), calcule $r^2$ e interprete em termos de variância explicada.

Usando a reta de 78.7, calcule o resíduo do ponto $(10, 55)$.

O que significa $r = 0$?

Vendas de sorvete correlacionam positivamente com mortes por afogamento ($r \approx 0,8$). A melhor explicação é:

Com $r = 0,6$, $s_x = 2$, $s_y = 5$, calcule as inclinações das duas retas de regressão: $Y$ em $X$ e $X$ em $Y$. As retas coincidem?

Um modelo de regressão explica 64% da variância de gastos em função da renda. Qual é $|r|$?

Se $V = -Y$, qual a relação entre $r(X, V)$ e $r(X, Y)$?

Relação altura ($X$) vs. peso ($Y$): $\bar x = 170$ cm, $\bar y = 70$ kg, $s_x = 8$ cm, $s_y = 12$ kg, $r = 0,75$. Equação da reta e previsão para uma pessoa de 175 cm.

Um pesquisador encontrou $r = 0,82$ entre Índice de Percepção de Corrupção e PIB per capita em 120 países. Interprete $r^2$ e discuta limitações causais.

Um gráfico de resíduos vs. valores ajustados mostra um padrão em U (resíduos primeiro negativos, depois positivos). O que isso indica sobre o modelo linear?

$n = 25$, $r = 0,45$. Teste $H_0: \rho = 0$ vs. $H_1: \rho \neq 0$ ao nível 5%.

$n = 50$, $r = 0,60$. Construa um IC de 95% para $\rho$ usando a transformação de Fisher.

Para cada par, identifique se é correlação causal, espúria, ou de causalidade reversa: (a) chuva e vendas de guarda-chuva; (b) número de policiais e criminalidade por cidade.

Interprete $r^2 = 0,25$ em um estudo que relaciona anos de estudo com salário.

Explique o risco de extrapolar a reta de regressão para valores de $x$ fora do intervalo amostral.

Em finanças, o "beta" de uma ação é o coeficiente de regressão do retorno da ação sobre o retorno do mercado. Expresse beta em termos de $r$, $s_{r_i}$ e $s_{r_m}$.

Uma distribuidora de energia tem dados mensais de temperatura média (°C) e consumo (MWh) nos últimos 5 anos. Descreva o fluxo de análise de correlação e regressão para prever consumo.

Os quatro conjuntos de Anscombe têm $r \approx 0,82$ e mesma reta de regressão. Por que o modelo linear é adequado para o conjunto I mas não para os outros três?

Por que a correlação de Spearman é mais adequada que Pearson para dados ordinais (ex.: satisfação de 1 a 5) ou com outliers?

Diferencie confundidor, mediador e moderador em um estudo observacional.

$n = 22$ pares; $r^2 = 0,64$; SQT = 500. Calcule a Soma dos Quadrados dos Resíduos (SQR) e o RMSE.

Por que $R^2$ nunca decresce quando se adiciona uma variável ao modelo, e como $R^2$ ajustado resolve esse problema?

Qual propriedade define a reta de mínimos quadrados (OLS)?

Prove que $-1 \leq r \leq 1$ usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz.