Lección 79 — Teorema de Bayes profundizado

$P(A) = 0{,}3$, $P(B) = 0{,}5$, $P(A \cap B) = 0{,}15$. Calcula $P(A \mid B)$.

$P(A \mid B) = 0{,}6$, $P(B) = 0{,}5$. Calcula $P(A \cap B)$.

$P(A) = 0{,}1$, $P(B \mid A) = 0{,}8$, $P(B \mid \bar A) = 0{,}2$. Calcula $P(B)$.

Con los datos del ejercicio 79.3, calcula $P(A \mid B)$.

Enfermedad con prevalencia 0,5%. Test diagnóstico: sensibilidad 95%, especificidad 95%. Calcula el VPP usando frecuencias en 10 000 personas.

Mismos datos del ejercicio 79.5, pero con prevalencia 50%. Calcula el VPP y compáralo con el resultado anterior.

Filtro de spam: $P(\text{spam}) = 0{,}3$. La palabra "GRATIS" aparece en el 60% de los spams y en el 5% de los correos legítimos. Calcula $P(\text{spam} \mid \text{GRATIS})$.

Urna A: 2 rojas, 3 azules. Urna B: 5 rojas, 1 azul. Se escoge una urna al azar y se extrae una bola roja. ¿Cuál es la probabilidad de que la urna sea A?

3 monedas: 2 justas, 1 con dos caras. Se elige una al azar, se lanza una vez y sale cara. ¿Cuál es la probabilidad de que la moneda elegida sea la de dos caras?

$P(\text{fumador}) = 0{,}2$. $P(\text{cáncer} \mid \text{fumador}) = 0{,}1$. $P(\text{cáncer} \mid \neg\text{fumador}) = 0{,}01$. Dado que una persona tiene cáncer, ¿cuál es la probabilidad de que sea fumadora?

Actualización secuencial: dos tests positivos con sensibilidad 90% y especificidad 90%, aplicados a una enfermedad con prevalencia 1%. Usa el posterior del 1.er test como prior del 2.º. ¿Cuál es el VPP tras los dos tests positivos consecutivos?

Para un test con sensibilidad 90% y especificidad 95%, calcula la razón de verosimilitud positiva $\text{LR}^+ = \text{sens}/(1 - \text{espec})$.

Prior odds de 1:99 (prevalencia 1%). $\text{LR}^+ = 18$ (sensibilidad 90%, especificidad 95%). Calcula los posterior odds y el posterior.

¿Cuál de los siguientes valores es el posterior correcto en un contexto con prior odds 1:99 y $\text{LR}^+ = 18$?

Prior $\theta \sim \text{Beta}(2, 2)$. Se observan 7 caras en 10 lanzamientos. Determina el posterior.

Prior $\theta \sim \text{Beta}(1, 1)$ (uniforme). Se observan 0 caras en 5 lanzamientos. Determina el posterior y su media.

En el ejercicio 79.15, ¿cuál es la media del posterior?

Prior $\theta \sim \text{Beta}(2, 8)$. Nuevo lote: 30 piezas inspeccionadas, 6 defectuosas. Determina el posterior y la media posterior.

COVID-19 en fase endémica: prevalencia 5%. Test rápido: sensibilidad 80%, especificidad 95%. Calcula el VPP usando frecuencias en 10 000 personas. ¿Vale la pena aislar automáticamente a todos los positivos?

Naive Bayes para correo electrónico: $P(\text{spam}) = 0{,}3$. En el entrenamiento: "GRATIS" aparece en el 60% de los spams y en el 5% de los hams; "ganaste" aparece en el 50% de los spams y en el 10% de los hams. Un correo contiene ambas palabras. Clasifícalo asumiendo independencia condicional.

Tres enfermedades: A (10% en la población), B (5%), C (1%). El paciente presenta el síntoma S con $P(S|A) = 0{,}3$, $P(S|B) = 0{,}9$, $P(S|C) = 0{,}9$. ¿Cuál es la enfermedad más probable?

Falacia del fiscal: la evidencia de ADN tiene una frecuencia de 1/1000 en la población. El fiscal afirma que la probabilidad de inocencia es 1/1000. ¿Por qué este razonamiento es incorrecto? Calcula el posterior correcto asumiendo que hay 100 000 sospechosos plausibles en la ciudad.

Clasificador de fraude: sensibilidad 95%, especificidad 99,9%. Fraudes: 0,1% de las transacciones. Calcula el VPP. ¿Cuántos falsos positivos hay por cada verdadero positivo?

Test de embarazo: sensibilidad 99%, especificidad 98%. Mujer con probabilidad previa de embarazo del 30%. Calcula el VPP.

Polígrafo: sensibilidad 70%, especificidad 80%. En un interrogatorio con un sospechoso que tiene prior de culpa del 5%. Calcula el posterior tras un resultado positivo. ¿Es el resultado admisible como prueba suficiente para condenar?

Dos tests independientes positivos (sens$_1$ = 0,9, espec$_1$ = 0,95; sens$_2$ = 0,85, espec$_2$ = 0,90). Prevalencia 2%. Calcula el posterior tras ambos resultados positivos mediante actualización secuencial.

En una rueda de reconocimiento, uno de los sospechosos tiene el pelo rojo (H) con probabilidad 70% de ser el culpable. Un testigo identifica al de pelo rojo con probabilidad 90% cuando el culpable es H, y erróneamente el 15% de las veces cuando el culpable no es H. Dado que el testigo señaló a H, ¿cuál es el posterior de culpabilidad?

Control de calidad con 3 líneas (A: 40% de la producción, 2% defecto; B: 35%, 3%; C: 25%, 5%). Se encuentra una pieza defectuosa. Determina la probabilidad de que cada línea sea el origen.

¿Qué es la base rate fallacy (falacia de la tasa base)?

¿Por qué importa el prior incluso en la "ciencia objetiva"? ¿A qué supuesto implícito equivale un análisis que ignora el prior?

Dos tests positivos independientes con razones de verosimilitud $r_1$ y $r_2$. ¿Cuál es el efecto en la forma de odds?

¿Cuál es la diferencia práctica entre usar un prior Beta(1,1) y un prior Beta(10,10) para una moneda? ¿En qué caso el posterior será más sensible a los nuevos datos?

Demuestra que dos tests positivos condicionalmente independientes dado $H$ dan lugar a un posterior odds igual a $r_1 \times r_2 \times$ prior odds, donde $r_i = \text{LR}_i^+$.

Demuestra que el posterior del modelo Bernoulli-Beta es Beta($\alpha + k$, $\beta + n - k$) cuando el prior es Beta($\alpha$, $\beta$) y se observan $k$ éxitos en $n$ ensayos.

Demuestra el teorema de Bayes a partir de la definición de probabilidad condicional y la ley de la probabilidad total.

Demuestra que $P(A \mid B) = P(B \mid A)\,P(A)/P(B)$ usando solo la definición de probabilidad condicional. Identifica por qué $P(A \mid B) \neq P(B \mid A)$ en general.

Problema de Monty Hall con 3 puertas. Usa Bayes para calcular la probabilidad de que el coche esté en cada puerta después de que Monty (que sabe dónde está el coche) abra una puerta vacía. ¿Conviene cambiar?

En Naive Bayes con características binarias, demuestra que el clasificador es equivalente a multiplicar los LRs individuales de cada característica. ¿Qué ocurre cuando se viola el supuesto de independencia condicional?

Demuestra que la forma de odds de Bayes, posterior odds = LR $\times$ prior odds, se deduce directamente de la forma usual del teorema de Bayes para dos eventos complementarios $H$ y $\neg H$.

Demuestra que la media del posterior Beta($\alpha + k$, $\beta + n - k$) converge al estimador de máxima verosimilitud $k/n$ cuando $n \to \infty$, para cualquier prior fijo Beta($\alpha$, $\beta$). ¿Qué implica esto sobre la relación entre Bayes y el frecuentismo para muestras grandes?