Lección 80 — Consolidación Trimestre 8 — Estadística y probabilidad aplicada

Muestra: 4, 6, 8, 8, 9, 10, 10, 11, 12, 22. Calcule mediana, $Q_1$, $Q_3$, RIC e identifique atípicos por la cerca de Tukey.

Misma muestra del ejercicio 80.1. Calcule la media y la desviación estándar muestral. Compare con la mediana: ¿cuál es más representativa de la posición central? ¿Por qué?

$X \sim \text{Bin}(20,\, 0{,}3)$. Calcule $E[X]$, $\text{Var}(X)$ y $\sigma$.

Para $X \sim \text{Bin}(20,\, 0{,}3)$: verifique el criterio de aproximación normal y, aunque sea limítrofe, use la aproximación con corrección de continuidad para estimar $P(X \geq 10)$.

$X \sim \mathcal{N}(50,\, 100)$. Calcule $P(X > 65)$.

Muestra $n = 100$ de población con $\mu = 10$, $\sigma = 3$. Calcule $P(\bar X > 10{,}3)$.

Pares $(x, y)$: (1, 2), (2, 4), (3, 5), (4, 4), (5, 7). Calcule el coeficiente de correlación de Pearson $r$ y la recta de regresión $\hat y = b_0 + b_1 x$.

Enfermedad con prevalencia 2%, prueba con sensibilidad 90% y especificidad 95%. Calcule el Valor Predictivo Positivo (VPP).

$Y = 2X + 5$ donde $X \sim \mathcal{N}(10,\, 4)$. Determine la distribución de $Y$.

Lanza un dado honesto 50 veces. Calcule la esperanza y la desviación estándar de la suma $S = X_1 + \cdots + X_{50}$.

¿Cuál de las afirmaciones sobre medidas de dispersión es correcta?

¿Cuál de las relaciones es verdadera para las probabilidades puntuales de las binomiales en la moda?

Explique en sus palabras: ¿el TLC afirma que, para $n$ grande, los datos individuales siguen distribución normal? Si no, ¿qué exactamente converge a normal?

¿Cuál afirmación sobre correlación de Pearson es correcta?

Tiempo de entrega de una pizzería: $T \sim \mathcal{N}(32,\, 5^2)$ min. ¿Cuál es el plazo máximo que cubre el 95% de las entregas?

Con el modelo del ejercicio 80.15 (SLA de 40,2 min, tasa de violación 5%), calcule la esperanza del número de violaciones en 100 entregas.

Mercado inmobiliario: correlación entre área y precio es $r = 0{,}8$. Medias $\bar x = 80\,\text{m}^2$, $\bar y = 450.000$ (R$); desviaciones$s_x = 20$,$s_y = 80.000$. Encuentre la recta de regresión y pronostique el precio para un inmueble de área media.

Cartera financiera: 100 acciones independientes, cada una con retorno diario $\sim \mathcal{N}(0{,}001,\; 0{,}02^2)$. Determine la distribución del retorno diario de la cartera equal-weighted.

Six Sigma: piezas con dimensión $X \sim \mathcal{N}(10,\; 0{,}02^2)$ mm. Tolerancia $10 \pm 0{,}1$ mm. Calcule la proporción de defectos y estime defectos por millón.

Encuesta electoral: $n = 2500$, $\hat p = 0{,}48$. Construya un intervalo de confianza de 95% para la proporción verdadera $p$.

Filtro de spam: el 80% de los spams contienen "GRÁTIS", el 5% de los hams contienen. $P(\text{spam}) = 0{,}3$. Un email contiene "GRÁTIS" — aplique Bayes y clasifique.

Línea de producción: tasa de defecto 2%, lote de 200 piezas. Estime $P(X \geq 5\text{ defectos})$ vía aproximación Poisson y vía aproximación normal. Compare los resultados.

Cartera financiera: activos A ($\sigma_A = 1\%$) y B ($\sigma_B = 2\%$) con correlación $\rho_{AB} = 0{,}3$. Calcule la desviación estándar de la cartera 50%/50%.

Dos pruebas diagnósticas independientes, ambas positivas: prueba 1 (sens 90%, espec 95%), prueba 2 (sens 85%, espec 90%). Prevalencia 1%. Aplique Bayes secuencialmente y calcule el VPP final.

Ensayo clínico de vacuna: 100 vacunados, 5 enfermos; 100 placebos, 25 enfermos. Calcule la eficacia vacunal y evalúe (informalmente) si la diferencia es estadísticamente significativa.

Central de atención: en cada minuto, cada uno de los 120 operadores recibe una llamada con probabilidad 2%. Modele el número de llamadas simultáneas en 1 minuto y calcule $P(\text{al menos 1 llamada})$.

Alturas de hombres adultos en Brasil: $\mu = 173$ cm, $\sigma = 7$ cm. ¿Qué porcentaje no pasa por una puerta de 180 cm? ¿Cuál altura de puerta cubre el 99% de la población masculina?

Explique, con ejemplo numérico, por qué en distribuciones muy asimétricas a la derecha la mediana es más informativa que la media, y el RIC más informativo que la desviación estándar.

Describa intuitiva y matemáticamente cómo la inferencia bayesiana converge a la inferencia frecuentista (MLE) cuando $n \to \infty$. ¿Cuál teorema formaliza esa convergencia?

Construya un ejemplo de datos donde $r > 0{,}8$ pero la relación entre $X$ y $Y$ está enteramente explicada por un confundidor $C$. Explicite el mecanismo matemático.

Genere (teóricamente) 100 variables aleatorias $X_i \sim \text{Uniforme}[0,1]$ independientes. Use el TLC para aproximar $P(X_1 + \cdots + X_{100} > 55)$.

ENEM: escuela pública tiene $\mu_1 = 520$, $\sigma_1 = 90$ (Mat.); escuela privada tiene $\mu_2 = 610$, $\sigma_2 = 80$. Muestras de $n=100$ de cada. ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral privada supere la pública en más de 80 puntos?

Demuestre que $\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2$ a partir de la definición $\text{Var}(X) = E[(X-\mu)^2]$.

Muestre que si $X_i \sim \text{Bernoulli}(p)$ son iid, entonces $S = \sum_{i=1}^n X_i \sim \text{Bin}(n,p)$. Concluya que $\bar X = S/n \xrightarrow{P} p$ por la Ley de los Grandes Números.

Pruebe que $E[aX + b] = aE[X] + b$ y $\text{Var}(aX + b) = a^2 \text{Var}(X)$ para cualesquiera $a, b \in \mathbb{R}$.

Derive la regla de Bayes $P(H \mid E) = P(E \mid H)\,P(H)/P(E)$ a partir de la definición de probabilidad condicional y de la ley de la probabilidad total.

Enuncie el TLC formalmente. Esboce la prueba vía función característica (basta indicar los pasos, no es necesario justificar el teorema de continuidad de Lévy).