Lección 91 — Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Clasifique $y''' + y'' - y = 0$: determine el orden, si es lineal y si es homogénea.

Clasifique $y' + xy = 0$: orden, lineal/no-lineal, homogénea.

Clasifique $y' + y^2 = x$: orden y lineal/no-lineal.

Clasifique $y'' + y = \sin x$: orden, lineal/no-lineal, homogénea.

Verifique que $y = e^{2x}$ es solución de $y' = 2y$.

Verifique que $y = \sin x$ es solución de $y'' + y = 0$.

Verifique que $y = x^2 + 3$ es solución del PVI $y' = 2x$, $y(0) = 3$.

Verifique que $y = e^{-t}\cos t$ es solución de $y'' + 2y' + 2y = 0$.

Muestre que $y(t) = Ce^{-kt}$ es la solución general de $y' = -ky$.

La caída libre se modela por $y'' = -g$ (aceleración gravitacional constante). Encuentre la solución general por doble integración.

¿Cuál es la solución general de $y'' - y = 0$?

¿Qué determina una condición inicial en la solución de una EDO?

Resuelva $y' = 3x^2$, $y(0) = 5$.

Resuelva $y' = \sin x$, $y(0) = 1$.

Resuelva $y'' = 6x$, $y(0) = 1$, $y'(0) = 2$.

Resuelva $y' = ky$, $y(0) = y_0$. Exprese en términos de $k$ e $y_0$.

Resuelva $y' = 2y$, $y(0) = 5$. Calcule $y(3)$.

Resuelva $y' = -0{,}1\,y$, $y(0) = 100$. Calcule $y(20)$.

Resuelva $y' = e^x$, $y(0) = 0$.

Resuelva $y'' = 0$, $y(0) = 1$, $y'(0) = -3$.

Resuelva $y' = 1/x$, $y(1) = 0$ (dominio $x > 0$).

Resuelva $y'' = -y$, $y(0) = 1$, $y'(0) = 0$.

Resuelva $y'' + 2y' + 2y = 0$, $y(0) = 0$, $y'(0) = 1$.

Capacitor se descarga: $V' = -V/(RC)$. Para $V_0 = 12$ V y $RC = 1$ s, calcule $V(2)$.

Colonia de bacterias se dobla cada hora. Población inicial: 100. Escriba la EDO y calcule $N(5)$.

Inversión de R$ 1.000 a 5% a.a. con interés continuo. Escriba la EDO y calcule el monto en 10 años.

Café a 90 °C, sala 25 °C, $k = 0{,}04$ min$^{-1}$. Escriba la EDO, resuélvala, y determine en cuánto tiempo la temperatura llega a 50 °C.

Carbono-14 ($\tau_{1/2} = 5730$ años). Un fósil tiene 25% del C-14 inicial. Calcule su edad.

Medicamento: vida media de 6 h, dosis 200 mg. Escriba la EDO y calcule cuánto resta después de 18 h.

Aplicación financiera rinde Selic de 14,75% a.a. con capitalización continua. ¿En cuántos años el capital se dobla?

Epidemia simplificada: $I' = rI(1 - I/N)$ (ecuación logística). Identifique los equilibrios y describa el comportamiento de la solución.

Caída con resistencia del aire: $m\dot{v} = mg - kv$ ($k > 0$). Calcule la velocidad terminal $v_\infty$ (cuando la aceleración cesa).

Yodo-131 ($\tau_{1/2} = 8$ días). Escriba la EDO y calcule cuánto resta de 100 g después de 24 días.

Un activo se desvaloriza 3% al año de forma continua. Escriba la EDO y exprese el valor después de 5 años en términos del valor inicial $P_0$.

(Forense) Cuerpo encontrado a las 22 h con temperatura 32 °C. Sala a 21 °C, $k = 0{,}374$ h$^{-1}$. Temperatura normal del cuerpo: 37 °C. Escriba la EDO y encuentre $k$ usando las condiciones dadas.

¿Qué garantiza el Teorema de Picard-Lindelöf sobre la EDO $y' = f(x, y)$, $y(x_0) = y_0$?

¿Por qué la solución general de una EDO de orden $n$ tiene exactamente $n$ constantes arbitrarias? ¿Cómo se relaciona esto con el número de condiciones iniciales necesarias?

Explique por qué $y' = \sqrt{\lvert y \rvert}$, $y(0) = 0$ tiene infinitas soluciones. ¿Cuál hipótesis del Picard-Lindelöf es violada?

Demuestre que $y = Ce^{kx}$ es la única familia de soluciones de $y' = ky$ (a menos de elección de $C$). Pista: considere $z(x) = y(x)\,e^{-kx}$.

Demuestre que la solución de $y' = ky$, $y(0) = y_0$ es $y(t) = y_0 e^{kt}$, usando la técnica de separación de variables (preview de la Lección 92).