Lección 92 — EDOs separables

Resuelva $\dfrac{dy}{dx} = 5y$.

Resuelva el PVI $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{y}{2}$, $y(0) = 4$.

Resuelva $\dfrac{dy}{dx} = xy$.

Resuelva $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x}{y}$, $y(0) = 2$.

Resuelva $\dfrac{dy}{dx} = e^{x-y}$.

Resuelva $\dfrac{dy}{dx} = (1 + y^2)\cos x$.

Resuelva $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x^2}{y}$, $y(1) = 2$.

Resuelva $y' = y\sqrt{x}$.

Resuelva $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\cos x}{y}$.

Resuelva $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{e^{2x}}{y}$.

Resuelva $\dfrac{dy}{dx} = -2xy^2$.

Resuelva $\dfrac{dy}{dx} = y^2 - 1$ por fracciones parciales.

Resuelva $y' = (1-y)/x$, $y(1) = 0$.

Verifique que $y = \dfrac{1}{1+e^{-x}}$ resuelve $y' = y(1-y)$.

Resuelva $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{2x}{1+y^2}$.

Resuelva $y'\sin x = y\cos x$.

Resuelva $\dfrac{dy}{dx} = y\tan x$, $y(0) = 1$.

Resuelva $y'\,e^x = y$.

Resuelva $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{y}{x^2}$, $y(1) = e$.

Resuelva $y' = \sqrt{1 - y^2}$. Discuta el dominio y las soluciones singulares.

Decaimiento radiactivo: el ${}^{14}$C tiene vida media de 5730 años. ¿Qué porcentaje resta después de 10 000 años?

Capacitor RC en descarga: $V(0) = 12$ V, $R = 1\,\text{k}\Omega$, $C = 100\,\mu\text{F}$. Encuentre $V(t)$.

Tanque de 100 L con agua pura recibe 5 L/min de salmuera a 10 g/L y drena 5 L/min. ¿Cuál es la concentración después de 30 min?

Colonia de bacterias se duplica cada 3 h. ¿Cuánto tiempo para crecer 100 veces?

Enfriamiento de Newton: café a 90°C en una sala a 20°C llega a 70°C en 5 min. ¿Cuándo alcanza 30°C?

Caída con resistencia lineal: $\dot v = g - kv$, $v(0) = 0$. Resuelva y determine la velocidad terminal $v_\infty$.

Concentración de droga: $\dot C = -0{,}1C$, $C(0) = C_0$. ¿En cuánto tiempo cae al 50% de la dosis inicial?

Inversión con interés continuo a 5% a.a.: $\dot S = 0{,}05 S$. ¿En cuánto tiempo se duplica el capital?

Muestre que $y \equiv 0$ es solución de $y' = y^2$. ¿Pertenece a la familia general? Justifique.

Para $y' = y^{2/3}$, $y(0) = 0$, muestre que existen infinitas soluciones. ¿Por qué falla la unicidad de Picard?

¿Por qué $\displaystyle\int \dfrac{dy}{y} = \ln|y| + C$ usa el valor absoluto?

Para $\dot y = y(1-y)$, identifique los equilibrios y clasifíquelos como estables o inestables.

¿Cuál de las formas abajo para $dy/dx = F(x,y)$ corresponde a una EDO separable?

Resuelva $y' = (x+y)^2$ por sustitución $u = x+y$.

Muestre que $\dot y = y^2$, $y(0) = y_0 > 0$ explota en tiempo finito $T = 1/y_0$. Confirme con el criterio de Osgood.

Ecuación de Bernoulli $y' + P(x)y = Q(x)y^n$. Muestre que la sustitución $u = y^{1-n}$ la transforma en una EDO lineal.

Esboce la prueba del teorema de Picard-Lindelöf para $y' = f(x,y)$, $y(x_0) = y_0$, con $f$ continua y Lipschitz en $y$, por iteración de Picard.

Para $\dot y = h(y)$ con $h(y) > 0$ para todo $y \geq y_0$, muestre que la solución es global si y solo si $\displaystyle\int_{y_0}^{+\infty} \dfrac{dy}{h(y)} = +\infty$ (criterio de Osgood).

Resuelva $\dfrac{dy}{dx} = y^2 e^x$.

Resuelva $\dfrac{dy}{dx} = y^2 - 4$ por fracciones parciales. Identifique las soluciones singulares.

Resuelva $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x^2}{1+y^2}$.

Resuelva $\dfrac{dy}{dx} = e^{-y}\sin x$.

Crecimiento logístico: $\dot P = 0{,}06\,P(1 - P/500)$, $P(0) = 50$. ¿Cuándo la población alcanza la mitad de la capacidad de soporte?

Analice cualitativamente $\dot y = y(2-y)$ sin resolver explícitamente: identifique equilibrios, estabilidad y comportamiento de soluciones para diferentes condiciones iniciales.

Para $\dot y = y^p$ con $y(0) = y_0 > 0$, determine para cuáles valores de $p$ ocurre blow-up en tiempo finito. Calcule $T$ en ese caso.