Lección 93 — EDOs lineales de 1.ª orden

Resuelve $y' + y = 0$.

Resuelve $y' + 2y = 6$, $y(0) = 1$.

Resuelve $y' + 3y = e^{-x}$.

Resuelve $y' - y = e^{2x}$, $y(0) = 0$.

Resuelve $y' + 2xy = x$.

Resuelve $y' + \frac{1}{x}\,y = 1$, $y(1) = 0$.

Resuelve $x y' + 2y = x^3$.

Resuelve $y' - y\sin x = \sin x$.

Resuelve $y' + y\cot x = 2\cos x$.

Resuelve $y' - 2xy = x$, $y(0) = 1$.

Resuelve $y' + 4y = 8$ e indica el régimen estacionario.

Resuelve $y' + y = \sin x$.

Resuelve $y' - 3y = 6e^{3x}$.

Resuelve $y' + \frac{2}{x}\,y = x^2$.

Resuelve $y' + y\cos x = \cos x$.

Resuelve $(1+x^2)y' + 2xy = 4x$, $y(0) = 0$.

¿$y = e^{-x}$ resuelve $y' + y = 0$?

Resuelve $y' = 2y + 4$.

Halla $\mu(x)$ para $y' + (\sin x)y = \cos x$ y discute si la solución tiene forma cerrada.

Resuelve $y' + 2y = t^2$ (variable independiente $t$).

Circuito RC: $R = 2\,\text{k}\Omega$, $C = 50\,\mu\text{F}$, $V_s = 12\,\text{V}$ (escalón en $t = 0$), $V_C(0) = 0$. Encuentra $V_C(t)$ y $\tau$.

Circuito RL: $L = 0{,}5\,\text{H}$, $R = 10\,\Omega$, $V = 5\,\text{V}$, $i(0) = 0$. Encuentra $i(t)$ y $\tau = L/R$.

Reactor CSTR: caudal $Q = 2\,\text{L/min}$, volumen $V = 100\,\text{L}$, concentración de entrada $c_{in} = 5\,\text{g/L}$, $c(0) = 0$. Encuentra $c(t)$.

Termómetro a $20\,\text{°C}$ inmerso en agua a $80\,\text{°C}$. Constante de tiempo $\tau = 30\,\text{s}$. ¿Cuándo marca $70\,\text{°C}$?

Cuenta corriente: saldo inicial cero, rinde $r = 5\%$ al año (continuo) y recibe aporte continuo de R$ 12 000/año. Calcula el saldo después de 10 años.

Calentador: $\dot T = -k(T - T_{\text{amb}}) + P/C$, con $k = 0{,}1\,\text{min}^{-1}$, $T_{\text{amb}} = 20\,\text{°C}$, $P/C = 5\,\text{°C/min}$, $T(0) = 20\,\text{°C}$. Calcula $T_\infty$ y el tiempo para alcanzar el 90% de $T_\infty$.

Filtro RC paso-bajos con entrada $u(t) = \sin(\omega t)$. Calcula la amplitud de la respuesta estacionaria para $\omega\tau = 0{,}1$, $\omega\tau = 1$ y $\omega\tau = 10$.

Tanque de 200 L contiene 50 g de sal. Entra salmuera a 2 g/L a 4 L/min; sale mezcla a 4 L/min. Cantidad de sal después de 1 hora.

Muestra que, si $p$ y $q$ son continuas en $I$, el PVI $y' + p\,y = q$, $y(x_0) = y_0$ tiene solución única.

El factor integrante es único a menos de constante multiplicativa — ¿afecta esto la solución final?

Enuncia el principio de superposición para $\mathcal{L}y = y' + p\,y$.

Ecuación de Bernoulli: $y' + y = y^2$. Haz $u = 1/y$ para linealizar y resuelve.

Resuelve $y' + y\tan x = \sec x$ vía variación de parámetros y confirma que el resultado coincide con el del factor integrante.

Ecuación de Riccati: $y' = y^2 - 2xy + x^2 - 1$. Verifica que $y_1 = x + 1$ es solución particular y usa la sustitución $y = x + 1 + 1/v$ para reducir a una lineal en $v$.

Demuestra rigurosamente que $\mu(x) = e^{\int p(x)\,dx}$ transforma $y' + py = q$ en $(\mu y)' = \mu q$ y deduce la fórmula de solución general.

Demuestra que $y(x) = \int_{x_0}^{x} G(x,s)\,q(s)\,ds$, con $G(x,s) = e^{-\int_s^x p(t)\,dt}$, resuelve $y' + py = q$, $y(x_0) = 0$.