v1 · padrão canônico

Lección 94 — Modelos poblacionales: Malthus y Verhulst

Crecimiento exponencial (Malthus) y logístico (Verhulst). Equilibrios, estabilidad, inflexión en K/2.

Used in: Spécialité Maths (France, Terminale) · AP Calculus BC (EUA) · Leistungskurs alemão

\dot P = rP\!\left(1 - \frac{P}{K}\right) \;\Longrightarrow\; P(t) = \frac{K}{1 + \left(\frac{K - P_0}{P_0}\right)e^{-rt}}

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Malthus, Verhulst y análisis de equilibrios

Modelo de Malthus (1798)

"If the rate of change of the population is proportional to the population itself, we get the Malthusian model." — Lebl, Notes on Diffy Qs, §1.8

Modelo logístico (Verhulst, 1838)

"The logistic equation is another separable equation... The assumption is that the rate of growth of the population is proportional to the current population, but decreases as the population approaches the carrying capacity." — OpenStax Calculus Volume 2, §4.4

Solución cerrada

Via descomposición en fracciones parciales:

$P(t) = \frac{K}{1 + \left(\dfrac{K - P_0}{P_0}\right)e^{-rt}}$

Análisis de equilibrios

Diagrama de fase

Diagrama de fase 1D: las flechas indican la dirección de variación de $P$ . $P = 0$ repele; $P = K$ atrae.

Ejemplos resueltos

Example— 1· Crecimiento malthusiano con duplicación

Problema. Una colonia bacteriana se duplica cada 20 minutos. ¿Cuántas bacterias hay después de 2 horas si $P_0 = 1000$ ?

Estrategia. Modelo de Malthus: $P(t) = P_0 e^{rt}$ . Calcule $r$ por el período de duplicación $T_2 = 20$ min.

Resolución.

$P(20) = 2P_0 \Rightarrow e^{20r} = 2 \Rightarrow r = \ln 2 / 20 \approx 0{,}0347\,\text{min}^{-1}$ .

En $t = 120$ min: $P(120) = 1000 \cdot e^{120 \cdot \ln 2/20} = 1000 \cdot 2^6 = 64\,000$ .

Verificación. En 2 horas = 6 períodos de duplicación: $1000 \times 2^6 = 64\,000$ . Correcto.

Fuente. Lebl, Notes on Diffy Qs, §1.3, Example 1.3.1 — CC-BY-SA.

Example— 2· Logística con capacidad de carga

Problema. Una población de venados en reserva tiene $K = 1200$ , $r = 0{,}4$ /año, $P(0) = 200$ . Encuentre $P(t)$ y calcule cuándo $P = 900$ .

Estrategia. Fórmula cerrada de la logística. Para $P = 900$ : resolver en $t$ .

Resolución.

$A = (K - P_0)/P_0 = (1200 - 200)/200 = 5$ .

$P(t) = \frac{1200}{1 + 5e^{-0{,}4t}}$

Para $P = 900$ : $900(1 + 5e^{-0{,}4t}) = 1200 \Rightarrow 1 + 5e^{-0{,}4t} = 4/3 \Rightarrow e^{-0{,}4t} = 1/15$ .

$t = \ln(15)/0{,}4 \approx 2{,}71/0{,}4 \approx 6{,}8$ años.

Verificación. $P(6{,}8) = 1200/(1 + 5e^{-2{,}71}) \approx 1200/(1 + 5 \times 0{,}0667) \approx 1200/1{,}333 \approx 900$ . Correcto.

Fuente. OpenStax Calculus Volume 2, §4.4, Example 4.14 — CC-BY-NC-SA.

Example— 3· Derivación de la solución logística por descomposición en fracciones parciales

Problema. Derive la fórmula cerrada de la logística a partir de $\dot P = rP(1 - P/K)$ , $P(0) = P_0$ .

Estrategia. Separe variables y descomponga en fracciones parciales.

Resolución.

$\frac{dP}{P(1-P/K)} = r\,dt \;\Rightarrow\; \frac{K\,dP}{P(K-P)} = r\,dt$

Fracciones parciales: $\dfrac{K}{P(K-P)} = \dfrac{1}{P} + \dfrac{1}{K-P}$ .

Integrando: $\ln P - \ln(K-P) = rt + C_0 \Rightarrow \ln\!\left(\dfrac{P}{K-P}\right) = rt + C_0$ .

Sea $A = e^{C_0}$ : $\dfrac{P}{K-P} = A e^{rt}$ .

Resolviendo: $P = Ae^{rt}(K-P) \Rightarrow P(1 + Ae^{rt}) = KAe^{rt} \Rightarrow P = \dfrac{KAe^{rt}}{1+Ae^{rt}} = \dfrac{K}{1 + A^{-1}e^{-rt}}$ .

Para $t = 0$ : $P_0 = K/(1+1/A) \Rightarrow A = (K-P_0)/P_0$ .

$P(t) = \frac{K}{1 + \frac{K-P_0}{P_0}\,e^{-rt}}$

Verificación. $P(0) = K/(1+(K-P_0)/P_0) = KP_0/K = P_0$ . $\lim_{t\to\infty} P(t) = K$ . Correcto.

Fuente. Lebl, Notes on Diffy Qs, §1.7, Example 1.7.1 — CC-BY-SA.

Example— 4· Punto de inflexión y cosecha máxima sostenible

Problema. Para la logística con $r = 0{,}3$ /año, $K = 500$ , $P_0 = 50$ : (a) encuentre el instante de inflexión $t^*$ ; (b) calcule la tasa de cosecha máxima sostenible (RMS).

Estrategia. Inflexión cuando $P = K/2 = 250$ . RMS = valor máximo de $\dot P$ .

Resolución.

(a) Con $A = (500-50)/50 = 9$ : $P(t^*) = 250 \Rightarrow 500/(1+9e^{-0{,}3t^*}) = 250 \Rightarrow 9e^{-0{,}3t^*} = 1 \Rightarrow t^* = \ln(9)/0{,}3 \approx 7{,}3$ años.

(b) $\dot P_{\max} = rK/4 = 0{,}3 \times 500/4 = 37{,}5$ individuos/año (ocurre en $P = 250$ ).

Verificación. $\dot P(250) = 0{,}3 \times 250 \times (1-250/500) = 75 \times 0{,}5 = 37{,}5$ . Correcto.

Fuente. OpenStax Calculus Volume 2, §4.4, Exercise 186 — CC-BY-NC-SA.

Example— 5· Comparación Malthus vs logística en datos del IBGE

Problema. Brasil: $P_0 = 95$ M (1970), $r = 2{,}5\%$ /año. Usando $K = 250$ M, compare la predicción malthusiana con la logística para 2024 ( $t = 54$ años). Datos reales: 214 M.

Estrategia. Calcule ambas fórmulas para $t = 54$ .

Resolución.

Malthus: $P(54) = 95 \cdot e^{0{,}025 \times 54} = 95 \cdot e^{1{,}35} \approx 95 \times 3{,}857 \approx 366$ M.

Verhulst: $A = (250-95)/95 \approx 1{,}632$ . $P(54) = 250/(1 + 1{,}632\,e^{-1{,}35}) = 250/(1 + 1{,}632 \times 0{,}259) \approx 250/1{,}423 \approx 176$ M.

Error relativo: Malthus +71%; Verhulst +18%.

Observación. Ningún modelo captura migración, urbanización y caída de tasa de fecundidad. El logístico es mejor, pero el $r$ cambió a lo largo del tiempo.

Fuente. Lebl, Notes on Diffy Qs, §1.7, Exercise 1.7.4 — CC-BY-SA.

Exercise list

23 exercises · 5 with worked solution (25%)

Application 10Understanding 3Modeling 5Challenge 3Proof 2

Ex. 94.1ApplicationAnswer key
Resuelva $\dot P = 0{,}03P$ , $P(0) = 500$ .
Solve online
Ex. 94.2Application
Colonia bacteriana comienza con 500, se duplica cada 30 min. ¿Cuántas bacterias después de 3 horas? Encuentre $r$ .
Solve online
Ex. 94.3Application
Escriba la solución logística para $r = 0{,}2$ , $K = 5000$ , $P_0 = 200$ .
Solve online
Ex. 94.4Application
Para la logística del ejercicio anterior ( $K = 5000$ , $r = 0{,}2$ , $P_0 = 200$ ): ¿cuándo ocurre la inflexión?
Solve online
Ex. 94.5Application
Para la logística con $r = 0{,}2$ , $K = 5000$ : identifique los equilibrios y calcule la tasa máxima sostenible (RMS).
Solve online
Ex. 94.6Application
Especie amenazada: $\dot P = -0{,}015 P$ . Calcule el tiempo de media-vida de la población.
Solve online
Ex. 94.7Application
Logística: $K = 8000$ , $r = 0{,}3$ , $P(0) = 1000$ . Calcule $P(5)$ .
Solve online
Ex. 94.8Application
Logística: $K = 1000$ , $r = 0{,}5$ , $P(0) = 100$ . Calcule $P(8)$ .
Solve online
Ex. 94.9Application
Determine $r$ sabiendo que $P(0) = 100$ , $P(5) = 300$ , $K = 1000$ .
Solve online
Ex. 94.10Application
Carbono-14 tiene media-vida de 5730 años. Una muestra retiene 70% del carbono original. ¿Cuál es su edad?
Solve online
Ex. 94.11Understanding
¿Cuál es la tasa de crecimiento máxima $\dot P_{\max}$ de la ecuación logística $\dot P = rP(1-P/K)$ ?
Solve online
Ex. 94.12Understanding
Para la logística con $r, K > 0$ : ¿qué valores de $P_0$ conducen a $P(t) \to K$ ?
Solve online
Ex. 94.13Modeling
Reserva de venados: $K = 1200$ , $r = 0{,}4$ /año. ¿Cuál es la cosecha máxima anual sostenible? ¿A qué nivel de población mantener el rebaño?
Solve online
Ex. 94.14Modeling
Población mundial: $P_0 = 6$ mil millones (año 2000), $r = 1{,}2\%$ /año, $K = 10$ mil millones. Pronostique la población para 2050 con el modelo logístico.
Solve online
Ex. 94.15ModelingAnswer key
Logística con cosecha constante: $\dot P = 0{,}3P(1-P/1500) - 50$ . Encuentre los equilibrios y su estabilidad.
Solve online
Ex. 94.16ModelingAnswer key
Difusión de producto: mercado de 50 000 clientes, 500 en el primer mes, $r = 0{,}6$ /mes. ¿Cuándo el 90% del mercado adoptó?
Solve online
Ex. 94.17ModelingAnswer key
Al inicio de una epidemia ( $I$ pequeño, $S \approx N$ ), demuestre que $\dot I \approx (\beta N - \gamma)I$ . Para $\beta = 0{,}3$ , $\gamma = 0{,}1$ , $N = 1000$ : ¿hay epidemia?
Solve online
Ex. 94.18Understanding
Modelo de Gompertz: $\dot P = rP\ln(K/P)$ . Compare la posición de la inflexión con la logística.
Solve online
Ex. 94.19ChallengeAnswer key
Logística con cosecha: $\dot P = 0{,}4P(1-P/1200) - H$ . ¿Para qué valor de $H$ no existe equilibrio positivo? ¿Qué sucede con la población en este caso?
Solve online
Ex. 94.20Challenge
Efecto Allee: $\dot P = rP(P/A - 1)(1-P/K)$ con $0 < A < K$ . Encuentre los equilibrios y clasifíquelos. ¿Qué sucede si $P_0 < A$ ?
Solve online
Ex. 94.21Challenge
Lotka-Volterra: $\dot x = 2x - xy$ , $\dot y = -y + xy$ . Encuentre los equilibrios y demuestre que las trayectorias satisfacen $y - \ln y + x - 2\ln x = C$ .
Solve online
Ex. 94.22Proof
Demuestre que la solución logística $P(t)$ tiene punto de inflexión exactamente en $P = K/2$ .
Solve online
Ex. 94.23Proof
Demuestre via linealización que $P^* = K$ es equilibrio estable y $P^* = 0$ es inestable para la ecuación logística con $r, K > 0$ .
Solve online

Fuentes

Notes on Diffy Qs — Jiří Lebl · v6.6 · §1.3, §1.7–1.8 · EN · CC-BY-SA. Fuente primaria.
Calculus Volume 2 — OpenStax · §4.4 · EN · CC-BY-NC-SA.
Elementary Differential Equations — William F. Trench · §1.3 · EN · abierto.