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Lección 95 — EDOs lineales de 2ª orden con coeficientes constantes

ay'' + by' + cy = 0. Ecuación característica y tres regímenes: raíces reales distintas, raíz real dupla, raíces complejas conjugadas.

Used in: Spécialité Maths (France, Terminale) · Math III japonés (avanzado) · Leistungskurs alemán Klasse 12

ay'' + by' + cy = 0 \;\Longrightarrow\; a\lambda^2 + b\lambda + c = 0

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Ecuación característica — tres casos

Ansatz y ecuación característica

Sustituya $y = e^{\lambda x}$ : $y' = \lambda e^{\lambda x}$ , $y'' = \lambda^2 e^{\lambda x}$ .

$a\lambda^2 e^{\lambda x} + b\lambda e^{\lambda x} + c e^{\lambda x} = 0 \;\Rightarrow\; a\lambda^2 + b\lambda + c = 0$

Como $e^{\lambda x} \neq 0$ , todo se reduce a la ecuación algebraica cuadrática.

"If $b^2 - 4ac > 0$ , the characteristic equation has two distinct real roots $r_1, r_2$ , and the general solution of [the ODE] is $y = c_1 e^{r_1 x} + c_2 e^{r_2 x}$ ." — Lebl, Notes on Diffy Qs, §2.2

Diagrama cualitativo — comportamiento por caso

Perfiles cualitativos: caso 1 (exponencial puro), caso 2 (frontera crítica), caso 3 (oscilatorio).

Ecuaciones no-homogéneas

Para $ay'' + by' + cy = q(x)$ : solución general $y = y_h + y_p$ .

$y_h$ : solución de la ecuación homogénea (dos parámetros libres).

$y_p$ : cualquier solución particular — obtenida por coeficientes a determinar (cuando $q$ es combinación de polinomio, exponencial, seno/coseno) o variación de parámetros (general).

Ejemplos resueltos

Example— 1· Caso 1 — raíces reales distintas

Problema. Resuelva $y'' - 5y' + 6y = 0$ , $y(0) = 2$ , $y'(0) = 3$ .

Estrategia. $\Delta = 25 - 24 = 1 > 0$ : dos reales distintos.

Resolución.

Ecuación característica: $\lambda^2 - 5\lambda + 6 = (\lambda-2)(\lambda-3) = 0$ .

$\lambda_1 = 2$ , $\lambda_2 = 3$ . Solución general: $y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x}$ .

$y(0) = C_1 + C_2 = 2$ .

$y'(0) = 2C_1 + 3C_2 = 3$ .

Sistema: $C_1 = 3$ , $C_2 = -1$ .

$y = 3e^{2x} - e^{3x}$

Verificación. $y'' - 5y' + 6y = (12-15+6\cdot 3)e^{2x} + (-9+15-6)e^{3x} = 12e^{2x} \cdot 0 + 0 = 0$ . $y(0) = 3 - 1 = 2$ , $y'(0) = 6 - 3 = 3$ . Correcto.

Fuente. Lebl, Notes on Diffy Qs, §2.2, Example 2.2.1 — CC-BY-SA.

Example— 2· Caso 2 — raíz dupla

Problema. Resuelva $y'' - 4y' + 4y = 0$ , $y(0) = 1$ , $y'(0) = 0$ .

Estrategia. $\Delta = 16 - 16 = 0$ : raíz dupla.

Resolución.

$\lambda^2 - 4\lambda + 4 = (\lambda-2)^2 = 0$ . Raíz dupla $\lambda = 2$ .

$y = (C_1 + C_2 x)e^{2x}$ .

$y(0) = C_1 = 1$ .

$y'(x) = C_2 e^{2x} + 2(C_1 + C_2 x)e^{2x}$ .

$y'(0) = C_2 + 2C_1 = 0 \Rightarrow C_2 = -2$ .

$y = (1 - 2x)e^{2x}$

Verificación. $y' = -2e^{2x} + 2(1-2x)e^{2x} = (2-4x-2)e^{2x} = -4xe^{2x}$ . $y'' = -4e^{2x} - 8xe^{2x}$ . $y''-4y'+4y = (-4-8x)e^{2x} - 4(-4x)e^{2x} + 4(1-2x)e^{2x} = (-4-8x+16x+4-8x)e^{2x} = 0$ . Correcto.

Fuente. Lebl, Notes on Diffy Qs, §2.2, Example 2.2.2 — CC-BY-SA.

Example— 3· Caso 3 — complejas conjugadas (oscilación amortiguada)

Problema. Resuelva $y'' + 2y' + 5y = 0$ , $y(0) = 1$ , $y'(0) = 2$ .

Estrategia. $\Delta = 4 - 20 = -16 < 0$ : complejas. $\alpha = -1$ , $\beta = 2$ .

Resolución.

$\lambda = (-2 \pm \sqrt{-16})/2 = -1 \pm 2i$ .

$y = e^{-x}(C_1\cos 2x + C_2\sin 2x)$ .

$y(0) = C_1 = 1$ .

$y'(x) = -e^{-x}(C_1\cos 2x + C_2\sin 2x) + e^{-x}(-2C_1\sin 2x + 2C_2\cos 2x)$ .

$y'(0) = -C_1 + 2C_2 = 2 \Rightarrow 2C_2 = 3 \Rightarrow C_2 = 3/2$ .

$y = e^{-x}\!\left(\cos 2x + \frac{3}{2}\sin 2x\right)$

Verificación. La ecuación característica tiene raíces $-1 \pm 2i$ , ambas con parte real $-1 < 0$ : solución decae exponencialmente. $y(0) = 1$ , $y'(0) = -1 + 3 = 2$ . Correcto.

Fuente. Lebl, Notes on Diffy Qs, §2.2, Example 2.2.3 — CC-BY-SA.

Example— 4· No-homogénea por coeficientes a determinar

Problema. Resuelva $y'' - y' - 2y = e^{3x}$ .

Estrategia. $y = y_h + y_p$ . Para $q = e^{3x}$ y 3 no es raíz de la característica: tentativa $y_p = Ae^{3x}$ .

Resolución.

$\lambda^2 - \lambda - 2 = (\lambda-2)(\lambda+1) = 0$ . $y_h = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-x}$ .

Tentativa: $y_p = Ae^{3x}$ . Sustituya:

$9Ae^{3x} - 3Ae^{3x} - 2Ae^{3x} = e^{3x} \Rightarrow 4A = 1 \Rightarrow A = 1/4$ .

$y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-x} + \frac{1}{4}e^{3x}$

Verificación. $y_p'' - y_p' - 2y_p = (9/4 - 3/4 - 2/4)e^{3x} = (9-3-2)/4\,e^{3x} = e^{3x}$ . Correcto.

Fuente. Lebl, Notes on Diffy Qs, §2.3, Example 2.3.1 — CC-BY-SA.

Example— 5· No-homogénea con resonancia (regla de modificación)

Problema. Resuelva $y'' - 3y' + 2y = e^{2x}$ .

Estrategia. Intente $y_p = Ae^{2x}$ — ¡pero $\lambda = 2$ es raíz característica! Regla de modificación: multiplique por $x$ .

Resolución.

$\lambda^2 - 3\lambda + 2 = (\lambda-1)(\lambda-2) = 0$ . $y_h = C_1 e^x + C_2 e^{2x}$ .

$\lambda = 2$ es raíz simple: intente $y_p = Axe^{2x}$ .

$y_p' = Ae^{2x} + 2Axe^{2x}$ , $y_p'' = 4Ae^{2x} + 4Axe^{2x}$ .

$y_p'' - 3y_p' + 2y_p = (4A + 4Ax)e^{2x} - (3A + 6Ax)e^{2x} + 2Axe^{2x} = Ae^{2x}$ .

$A = 1$ . Luego $y_p = xe^{2x}$ .

$y = C_1 e^x + C_2 e^{2x} + xe^{2x}$

Verificación. $y_p = xe^{2x}$ : $y_p'' - 3y_p' + 2y_p = (4+4x)e^{2x} - 3(1+2x)e^{2x} + 2xe^{2x} = (4+4x-3-6x+2x)e^{2x} = e^{2x}$ . Correcto.

Fuente. Lebl, Notes on Diffy Qs, §2.3, Example 2.3.2 — CC-BY-SA.

Exercise list

30 exercises · 7 with worked solution (25%)

Application 18Understanding 3Modeling 4Challenge 3Proof 2

Ex. 95.1Application
Resuelva $y'' - 3y' + 2y = 0$ .
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Ex. 95.2Application
Resuelva $y'' + 4y' + 4y = 0$ .
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Ex. 95.3ApplicationAnswer key
Resuelva $y'' + 9y = 0$ .
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Ex. 95.4Application
Resuelva $y'' + 2y' + 10y = 0$ .
Solve online
Ex. 95.5Application
Resuelva $y'' + 4y' + 3y = 0$ , $y(0) = 1$ , $y'(0) = 0$ .
Solve online
Ex. 95.6Application
Resuelva $y'' - 2y' + y = 0$ , $y(0) = 2$ , $y'(0) = -1$ .
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Ex. 95.7Application
Resuelva $y'' + 4y = 0$ , $y(0) = 0$ , $y'(0) = 1$ .
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Ex. 95.8Application
Resuelva $y'' - y' - 6y = 0$ .
Solve online
Ex. 95.9Application
Resuelva $y'' + 2y' + 5y = 0$ .
Solve online
Ex. 95.10ApplicationAnswer key
Resuelva $y'' + 6y' + 9y = 0$ .
Solve online
Ex. 95.11UnderstandingAnswer key
¿Cuál es la forma correcta de la solución general de $y'' - 2y' + 2y = 0$ ?
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Ex. 95.12Understanding
$y'' + by' + cy = 0$ con $a = 1$ . ¿Para cuál(es) condiciones sobre $b, c$ la solución decae a cero?
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Ex. 95.13Application
Resuelva $y'' - y = e^{2x}$ .
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Ex. 95.14Application
Resuelva $y'' + 4y = 3\sin x$ .
Solve online
Ex. 95.15ApplicationAnswer key
Resuelva $y'' + 2y' = 4x^2$ .
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Ex. 95.16ApplicationAnswer key
Resuelva $y'' + 4y = \sin 2x$ (caso de resonancia).
Solve online
Ex. 95.17Application
Calcule el Wronskiano de $y_1 = e^x$ e $y_2 = e^{2x}$ y confirme que forman un conjunto fundamental de soluciones de $y'' - 3y' + 2y = 0$ .
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Ex. 95.18Application
Circuito LC: $L\ddot q + q/C = 0$ , $q(0) = Q_0$ , $\dot q(0) = 0$ . Encuentre $q(t)$ y $\omega_0$ .
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Ex. 95.19Understanding
¿Es $\{\cos 3x, \sin 3x\}$ un conjunto fundamental de soluciones de $y'' + 9y = 0$ ?
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Ex. 95.20Modeling
Resorte-masa sin fricción: $m = 2\,\text{kg}$ , $k = 500\,\text{N/m}$ , $y(0) = 0{,}1\,\text{m}$ , $y'(0) = 0$ . Encuentre $\omega_0$ , período y desplazamiento $y(t)$ .
Solve online
Ex. 95.21Modeling
Oscilador amortiguado: $y'' + 5y' + 6y = 0$ , $y(0) = 1$ , $y'(0) = 0$ . Clasifique (sub/sobre/crítico) y resuelva.
Solve online
Ex. 95.22ModelingAnswer key
Amortiguamiento crítico: $2y'' + 4y' + 2y = 0$ , $y(0) = 1$ , $y'(0) = -1$ . Resuelva y clasifique.
Solve online
Ex. 95.23Modeling
Sistema subamortiguado: $y'' + 4y' + 13y = 0$ , $y(0) = 1$ , $y'(0) = 0$ . Resuelva e identifique frecuencia amortiguada $\omega_d$ .
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Ex. 95.24Application
Resuelva $y'' + 4y' + 3y = 5e^{-x}$ (regla de modificación necesaria).
Solve online
Ex. 95.25Application
Resuelva $y'' - 4y' + 4y = e^{2x}$ (raíz dupla — tentativa sube a $x^2$ ).
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Ex. 95.26Challenge
Aplique variación de parámetros a $y'' - y = \sec x$ . ¿El resultado tiene forma cerrada?
Solve online
Ex. 95.27Challenge
Ecuación de Cauchy-Euler: $x^2 y'' + xy' + y = 0$ . Intente $y = x^m$ y resuelva para $m$ .
Solve online
Ex. 95.28Challenge
Use reducción de orden con $y_1 = e^{3x}$ para encontrar la segunda solución de $y'' - y' - 6y = 0$ .
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Ex. 95.29Proof
Demuestre que, cuando $\lambda$ es raíz dupla de $a\lambda^2 + b\lambda + c = 0$ , la función $y_2 = xe^{\lambda x}$ satisface $ay'' + by' + cy = 0$ .
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Ex. 95.30ProofAnswer key
Enuncie y justifique el teorema de existencia-unicidad para $ay'' + by' + cy = q(x)$ , $y(x_0) = y_0$ , $y'(x_0) = y_1$ .
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Fuentes

Notes on Diffy Qs — Jiří Lebl · v6.6 · §2.2–2.3 · EN · CC-BY-SA. Fuente primaria.
Calculus Volume 2 — OpenStax · §7.1–7.2 · EN · CC-BY-NC-SA.
Elementary Differential Equations — William F. Trench · §5.1–5.2, §5.6–5.7 · EN · abierto.

Lección 95 — EDOs lineales de 2ª orden con coeficientes constantes

Ecuación característica — tres casos

Problema general

Ansatz y ecuación característica

El caso de la raíz dupla

Diagrama cualitativo — comportamiento por caso

Ecuaciones no-homogéneas

Ejemplos resueltos

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