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Lección 97 — Circuitos RLC

Ecuación diferencial del circuito RLC serie — análogo eléctrico de la masa-muelle. Respuesta libre, forzada y resonancia.

Used in: Spécialité Maths Terminale (Francia) · Leistungskurs Physik Klasse 12 (Alemania) · H3 Mathematics (Singapur)

L\frac{d^2Q}{dt^2} + R\frac{dQ}{dt} + \frac{Q}{C} = V(t)

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Derivación rigurosa y clasificación

Ley de Kirchhoff de las tensiones

En un circuito $RLC$ serie con fuente $V(t)$ , la suma de las caídas de tensión iguala la fuente:

$V_L + V_R + V_C = V(t)$

Usando $V_L = L\,\dot I$ , $V_R = RI$ , $V_C = Q/C$ e $I = \dot Q$ :

L\,\ddot{Q} + R\,\dot{Q} + \frac{Q}{C} = V(t)

what this means · Ecuación diferencial del circuito RLC serie — EDO lineal de 2º orden con coeficientes constantes.

"La ecuación $LQ'' + RQ' + Q/C = V(t)$ es la forma estándar de la ecuación del circuito RLC y tiene exactamente la misma forma matemática que el sistema masa-muelle amortiguado $mx'' + cx' + kx = F(t)$ , con $L$ jugando el papel de la masa, $R$ la constante de amortiguamiento, y $1/C$ la constante del muelle." — Lebl, Notes on Diffy Qs §2.6

Tabla de analogía electromecánica

Analogía electromecánica completa. Toda técnica de resolución de la masa-muelle se transfiere directamente al RLC.

Clasificación por la ecuación característica

Ecuación homogénea ( $V = 0$ ): $L\lambda^2 + R\lambda + 1/C = 0$ .

$\Delta = R^2 - 4L/C$

Definition· Tres regímenes de respuesta libre

Sobreamortiguado ( $\zeta > 1$ , $\Delta > 0$ ): dos $\lambda$ reales negativos. Retorno exponencial lento al equilibrio. $Q_h(t) = C_1 e^{\lambda_1 t} + C_2 e^{\lambda_2 t}$
Críticamente amortiguado ( $\zeta = 1$ , $\Delta = 0$ ): $\lambda$ doble $\lambda = -R/(2L)$ . Retorno más rápido sin oscilación. $Q_h(t) = (C_1 + C_2 t)\,e^{\lambda t}$
Subamortiguado ( $\zeta < 1$ , $\Delta < 0$ ): $\lambda = -\zeta\omega_0 \pm i\omega_d$ . Oscilación amortiguada. $Q_h(t) = e^{-\zeta\omega_0 t}\bigl(C_1\cos\omega_d t + C_2\sin\omega_d t\bigr)$

Respuesta en régimen permanente (forzada)

Para $V(t) = V_0\cos(\omega t)$ , solución particular:

$Q_p(t) = \frac{V_0/L}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2 + (2\zeta\omega_0\omega)^2}}\cos(\omega t - \phi)$

con $\tan\phi = \dfrac{2\zeta\omega_0\omega}{\omega_0^2-\omega^2}$ .

Ejemplos resueltos

Example— 97.1· Clasificación del régimen — datos de componentes

Problema. Circuito RLC serie: $L = 1$ H, $R = 6$ $\Omega$ , $C = 1/8$ F. Clasifique el régimen y escriba la solución homogénea general.

Estrategia. Calcule $\Delta = R^2 - 4L/C$ ; identifique el régimen; escriba $Q_h$ .

Resolución.

$\Delta = 36 - 4(1)(8) = 36 - 32 = 4 > 0$ — sobreamortiguado.

Ecuación característica: $\lambda^2 + 6\lambda + 8 = 0 \Rightarrow \lambda = (-6 \pm 2)/2$ , luego $\lambda_1 = -2$ , $\lambda_2 = -4$ .

$Q_h(t) = C_1 e^{-2t} + C_2 e^{-4t}$

Verificación. $Q_h' = -2C_1 e^{-2t} - 4C_2 e^{-4t}$ , $Q_h'' = 4C_1 e^{-2t} + 16C_2 e^{-4t}$ . Sustituyendo en $Q'' + 6Q' + 8Q$ : recogiendo $e^{-2t}$ : $4C_1 - 12C_1 + 8C_1 = 0$ ✓. Recogiendo $e^{-4t}$ : $16C_2 - 24C_2 + 8C_2 = 0$ ✓.

Fuente. Lebl, Notes on Diffy Qs §2.6, Example 2.6.1 — CC-BY-SA

Example— 97.2· Régimen subamortiguado con condiciones iniciales

Problema. $L = 1$ H, $R = 2$ $\Omega$ , $C = 1/2$ F, $V = 0$ . Condiciones: $Q(0) = 1$ C, $I(0) = 0$ A. Encuentre $Q(t)$ .

Estrategia. Calcule $\Delta$ , identifique régimen subamortiguado, aplique CI para determinar $C_1, C_2$ .

Resolución.

$\Delta = 4 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4 < 0$ — subamortiguado.

$\lambda = -1 \pm i$ , luego $\alpha = 1$ , $\omega_d = 1$ .

$Q_h(t) = e^{-t}(C_1 \cos t + C_2 \sin t)$

CI: $Q(0) = C_1 = 1$ .

$\dot Q = e^{-t}[(-C_1 + C_2\omega_d)\cos t + (-C_2 - C_1\omega_d)\sin t]$ ... con $\omega_d = 1$ :

$\dot Q(0) = -C_1 + C_2 = 0 \Rightarrow C_2 = 1$ .

$Q(t) = e^{-t}(\cos t + \sin t) = \sqrt{2}\,e^{-t}\cos\!\left(t - \frac{\pi}{4}\right)$

Verificación. $Q(0) = 1$ ✓; $\dot Q(0) = -1 + 1 = 0$ ✓. La amplitud decae como $\sqrt{2}e^{-t}$ ✓.

Fuente. Lebl, Notes on Diffy Qs §2.6, Exercise 2.6.2 — CC-BY-SA

Example— 97.3· Respuesta forzada — régimen permanente

Problema. $L = 0{,}1$ H, $R = 10$ $\Omega$ , $C = 10^{-3}$ F, $V(t) = 50\cos(100t)$ V. Encuentre la corriente en régimen permanente $I_p(t) = \dot Q_p$ .

Estrategia. Calcule $Z(j\omega)$ y use $\hat I = \hat V/Z$ .

Resolución.

$\omega = 100$ rad/s. $\omega_0 = 1/\sqrt{0{,}1 \times 10^{-3}} = 100$ rad/s — ¡resonancia!

$Z(j100) = 10 + j(100 \times 0{,}1 - 1/(100 \times 10^{-3})) = 10 + j(10 - 10) = 10$ $\Omega$ .

$I_p(t) = \frac{50}{10}\cos(100t) = 5\cos(100t)$ A.

En la resonancia, la impedancia es puramente resistiva y la corriente alcanza el valor máximo.

Verificación. $|Z|_{\omega=100} = 10$ $\Omega$ ✓; $I_{\max} = V_0/R = 50/10 = 5$ A ✓.

Fuente. OpenStax University Physics Vol. 2, §14.5 Example 14.5 — CC-BY

Example— 97.4· Factor de calidad y ancho de banda

Problema. Receptor de radio AM: $L = 0{,}5$ mH, $C = 25$ pF, $R = 5$ $\Omega$ . Calcule $f_0$ , $Q_f$ y $\Delta f$ (ancho de banda).

Estrategia. Aplique las fórmulas de $f_0$ , $Q_f$ y $BW$ directamente.

Resolución.

$\omega_0 = 1/\sqrt{0{,}5 \times 10^{-3} \times 25 \times 10^{-12}} = 1/\sqrt{1{,}25 \times 10^{-14}} \approx 8{,}94 \times 10^6$ rad/s.

$f_0 = \omega_0/(2\pi) \approx 1{,}42$ MHz (banda AM).

$Q_f = \omega_0 L/R = (8{,}94 \times 10^6 \times 0{,}5 \times 10^{-3})/5 = 4470/5 = 894$ .

$\Delta f = f_0/Q_f = 1{,}42 \times 10^6/894 \approx 1{,}59$ kHz.

El canal AM tiene 10 kHz de ancho — $Q_f = 894$ es demasiado selectivo para AM, pero adecuado para FM estéreo.

Verificación. $\zeta = 1/(2Q_f) = 1/1788 \approx 5{,}6 \times 10^{-4} \ll 1$ — fuertemente subamortiguado ✓.

Fuente. OpenStax University Physics Vol. 2, §14.6 — CC-BY

Example— 97.5· Circuito LC sin resistencia — oscilación pura

Problema. $L = 4$ H, $C = 1/16$ F, $R = 0$ , $V = 0$ . $Q(0) = 0$ , $I(0) = 2$ A. Encuentre $Q(t)$ y la energía total.

Estrategia. Caso sin amortiguar: $\ddot Q + \omega_0^2 Q = 0$ , solución general seno/coseno.

Resolución.

$\omega_0 = 1/\sqrt{4 \times 1/16} = 1/\sqrt{1/4} = 2$ rad/s.

$Q(t) = A\cos(2t) + B\sin(2t)$ .

$Q(0) = A = 0 \Rightarrow Q(t) = B\sin(2t)$ .

$\dot Q(0) = 2B = 2 \Rightarrow B = 1$ .

$Q(t) = \sin(2t), \quad I(t) = 2\cos(2t)$

Energía: $E = \frac{1}{2}L I^2 + \frac{Q^2}{2C} = \frac{1}{2}(4)(4\cos^2 2t) + \frac{\sin^2 2t}{2(1/16)} = 8\cos^2 2t + 8\sin^2 2t = 8$ J (constante ✓).

Fuente. Trench, Elementary Differential Equations §6.2, Exercise 6.2.3 — abierto

Exercise list

34 exercises · 8 with worked solution (25%)

Application 18Understanding 4Modeling 9Challenge 1Proof 2

Ex. 97.1ApplicationAnswer key
Circuito RLC con $L = 1$ H, $R = 4$ $\Omega$ , $C = 1/4$ F, $V = 0$ . Identifique el régimen y escriba la solución homogénea general.
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Ex. 97.2Application
$L = 1$ H, $R = 1$ $\Omega$ , $C = 1/2$ F, $V = 0$ . Clasifique y escriba $Q_h$ .
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Ex. 97.3Application
$L = 1$ H, $R = 2$ $\Omega$ , $C = 1/2$ F, $V = 0$ , $Q(0) = 1$ C, $I(0) = 2$ A. Resuelva el PVI.
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Ex. 97.4ApplicationAnswer key
Calcule la frecuencia natural $\omega_0$ y $f_0$ de un circuito LC con $L = 2$ H y $C = 0{,}02$ F.
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Ex. 97.5ApplicationAnswer key
¿Qué condición sobre $R$ , $L$ y $C$ garantiza amortiguamiento crítico?
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Ex. 97.6Application
$L = 0{,}1$ H, $R = 10$ $\Omega$ , $C = 10^{-3}$ F. Calcule $\zeta$ y clasifique el régimen.
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Ex. 97.7ApplicationAnswer key
$V_0 = 100$ V, $R = 20$ $\Omega$ . ¿Cuál es la corriente máxima en la resonancia?
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Ex. 97.8Application
$L = 10$ mH, $C = 100$ $\mu$ F, $R = 5$ $\Omega$ . Calcule el factor de calidad $Q_f$ y el ancho de banda.
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Ex. 97.9Application
En cierto instante: $L = 0{,}5$ H, $I = 4$ A, $C = 1$ $\mu$ F, $Q = 2$ mC. Calcule la energía total almacenada.
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Ex. 97.10Application
$L = 1$ H, $R = 6$ $\Omega$ , $C = 1/8$ F, $V = 0$ , $Q(0) = Q_0$ , $I(0) = 0$ . Bosqueje la solución $Q(t)$ y explique por qué no oscila.
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Ex. 97.11Application
$\omega_0 = 4$ rad/s, $\zeta = 0{,}5$ . Calcule la frecuencia de oscilación amortiguada $\omega_d$ .
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Ex. 97.12Application
Circuito subamortiguado con $\alpha = 1$ s $^{-1}$ y $\omega_d = 3$ rad/s. ¿Cuál es el período de oscilación y por qué factor decae la amplitud cada ciclo?
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Ex. 97.13ModelingAnswer key
Derive la expresión general de la solución particular $Q_p(t)$ para $V(t) = V_0\cos(\omega t)$ .
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Ex. 97.14Modeling
Para $V(t) = 120\cos(2\pi \times 60\,t)$ V y $|Z| = 40$ $\Omega$ con ángulo de fase 30 grados, calcule la potencia media disipada.
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Ex. 97.15Modeling
Radio AM: $L = 0{,}25$ mH. ¿Qué capacitancia sintoniza 1000 kHz?
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Ex. 97.16Modeling
Filtro RC: $R = 10$ k $\Omega$ , $C = 10$ $\mu$ F, $V_s = 5$ V. ¿Cuánto tiempo hasta $V_C = 3{,}16$ V?
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Ex. 97.17ModelingAnswer key
Circuito RL: $L = 2$ H, $R = 4$ $\Omega$ , fuente DC $V_0 = 12$ V, $I(0) = 0$ . Encuentre $I(t)$ y el valor de régimen permanente.
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Ex. 97.18ModelingAnswer key
Circuito LC ideal ( $R = 0$ ) con $L = 0{,}1$ H, $C = 100$ pF, $I(0) = 5$ mA, $Q(0) = 0$ . ¿Cuál es la carga máxima en el capacitor?
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Ex. 97.19Understanding
¿Qué sucede con la amplitud de la respuesta forzada de un circuito LC (sin resistencia) cuando $\omega \to \omega_0$ ?
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Ex. 97.20Understanding
Para aumentar el período de oscilación libre de un circuito RLC subamortiguado, ¿qué se debe hacer?
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Ex. 97.21Understanding
¿Cuál es la expresión correcta para el factor de calidad $Q_f$ y qué representa físicamente?
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Ex. 97.22UnderstandingAnswer key
En la analogía electromecánica entre el circuito RLC y la masa-muelle, ¿a cuál componente eléctrico corresponde la masa $m$ ?
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Ex. 97.23Application
Encuentre los polos del circuito RLC con $R = 5$ $\Omega$ , $L = 0{,}5$ H, $C = 0{,}02$ F. Represente en el plano complejo.
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Ex. 97.24Application
$R = 10$ $\Omega$ , $L = 0{,}1$ H, $C = 100$ $\mu$ F, $f = 50$ Hz. Calcule la impedancia $|Z|$ .
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Ex. 97.25Application
Circuito RLC subamortiguado con $L = 1$ H, $R = 2$ $\Omega$ . ¿En cuánto tiempo la amplitud de la oscilación libre cae a la mitad?
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Ex. 97.26Application
EDO: $\ddot Q + 6\dot Q + 25Q = 0$ , $Q(0) = 0$ , $\dot Q(0) = 2$ . Resuelva.
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Ex. 97.27Application
$\ddot Q + 4\dot Q + 13Q = 0$ . Encuentre la solución general y la frecuencia de oscilación amortiguada.
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Ex. 97.28Modeling
Muestre que el circuito RLC con $L, R, C > 0$ y $V = 0$ es siempre asintóticamente estable (todos los transitorios decaen a cero).
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Ex. 97.29Modeling
¿Por qué la respuesta completa de un circuito RLC con $R > 0$ siempre converge al régimen permanente $Q_p$ independientemente de las condiciones iniciales?
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Ex. 97.30Modeling
Receptor FM (88–108 MHz), $L = 0{,}1$ mH. ¿Cuál es el rango de capacitancias necesario? Discuta la viabilidad.
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Ex. 97.31Application
$\ddot Q + 4\dot Q + 13Q = 10\cos(2t)$ . Encuentre la solución particular por el método de coeficientes indeterminados.
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Ex. 97.32Challenge
Muestre que la tensión en el capacitor de un circuito RLC en la resonancia puede superar la tensión de la fuente por un factor $Q_f$ . Calcule para $Q_f = 100$ , $V_0 = 5$ V.
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Ex. 97.33Proof
Demuestre que la potencia media disipada por un circuito RLC con fuente senoidal es maximizada en la resonancia e igual a $V_0^2/(2R)$ .
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Ex. 97.34Proof
Pruebe que la energía $E(t) = \frac{1}{2}LI^2 + \frac{Q^2}{2C}$ es monótonamente no creciente en el circuito RLC libre ( $V = 0$ , $R > 0$ ).
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Fuentes

Lebl, Jiří. Notes on Diffy Qs: Differential Equations for Engineers. Versión 6.4. CC-BY-SA. jirka.org/diffyqs — Referencia principal; §2.6 cubre RLC como aplicación de EDOs de 2º orden.
Trench, William F. Elementary Differential Equations with Boundary Value Problems. Brooks-Cole (abierto). digitalcommons.trinity.edu/mono/9 — Cap. 6 trata circuitos RL, RC y RLC con abordaje clásico.
OpenStax. University Physics Volume 2. CC-BY. openstax.org/details/books/university-physics-volume-2 — §14.5–14.6: resonancia, factor de calidad, ancho de banda, perspectiva física.