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Lección 98 — Método de Euler (numérico)

Método de Euler explícito para EDOs: discretización, error local O(h²), error global O(h), implementación y comparación con Runge-Kutta.

Used in: Cálculo Numérico (UFRGS, USP, UNICAMP) · Spécialité Maths Terminale (Francia) · Mathematics 4 (IIT-JEE Advanced, India)

y_{n+1} = y_n + h\,f(x_n,\, y_n), \quad x_{n+1} = x_n + h

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Derivación y análisis de error

Problema de valor inicial

Dado el PVI:

$y' = f(x, y), \quad y(x_0) = y_0$

Deseamos aproximar $y(x)$ en $x \in [x_0, X]$ sin expresión cerrada.

Discretización

Divida el intervalo en $N$ subintervalos iguales:

$h = \frac{X - x_0}{N}, \qquad x_n = x_0 + n\,h, \quad n = 0, 1, \ldots, N$

"The simplest numerical method for solving $y' = f(x,y)$ , $y(x_0) = y_0$ , is Euler's method. We replace $y'$ with the difference quotient $(y_{n+1} - y_n)/h$ and evaluate $f$ at $x_n$ : this gives $y_{n+1} = y_n + hf(x_n, y_n)$ ." — Lebl, Notes on Diffy Qs §1.7

Análisis de error por serie de Taylor

Comparación de métodos

Comparación de métodos de un paso para EDOs. RK4 es el estándar industrial para precisión; Euler implícito para ecuaciones rígidas (stiff).

Ejemplos resueltos

Example— 98.1· Euler en 4 pasos — EDO exponencial

Problema. Use el método de Euler con $h = 0{,}1$ para aproximar $y(0{,}4)$ dado $y' = -y$ , $y(0) = 1$ . Compare con el valor exacto.

Estrategia. Aplique la recurrencia $y_{n+1} = y_n + h(-y_n) = y_n(1-h)$ cuatro veces.

Resolución.

$n$	$x_n$	$y_n$	$f = -y_n$	$y_{n+1}$
0	0	1,0000	-1,0000	0,9000
1	0,1	0,9000	-0,9000	0,8100
2	0,2	0,8100	-0,8100	0,7290
3	0,3	0,7290	-0,7290	0,6561

$y_4 = 0{,}6561$ . Exacto: $e^{-0{,}4} \approx 0{,}6703$ . Error relativo: $\approx 2{,}12\%$ .

Verificación. Cada paso, multiplicamos por $(1-h) = 0{,}9$ , por lo tanto $y_4 = (0{,}9)^4 = 0{,}6561$ ✓. El error crece con $h$ — para $h = 0{,}05$ , el error caería a $\approx 1{,}06\%$ .

Fuente. Lebl, Notes on Diffy Qs §1.7, Example 1.7.1 — CC-BY-SA

Example— 98.2· Euler en ecuación no lineal

Problema. Estime $y(1)$ para $y' = y^2$ , $y(0) = 0{,}5$ , usando Euler con $h = 0{,}25$ .

Estrategia. La solución exacta es $y = 1/(2-x)$ (blow-up en $x = 2$ ). Con 4 pasos hasta $x = 1$ .

Resolución.

$n=0$ : $f(0, 0{,}5) = 0{,}25$ . $y_1 = 0{,}5 + 0{,}25 \times 0{,}25 = 0{,}5625$ .

$n=1$ : $f(0{,}25, 0{,}5625) = 0{,}31641$ . $y_2 = 0{,}5625 + 0{,}25 \times 0{,}31641 = 0{,}6416$ .

$n=2$ : $f(0{,}5, 0{,}6416) = 0{,}4117$ . $y_3 = 0{,}6416 + 0{,}25 \times 0{,}4117 = 0{,}7445$ .

$n=3$ : $f(0{,}75, 0{,}7445) = 0{,}5543$ . $y_4 = 0{,}7445 + 0{,}25 \times 0{,}5543 = 0{,}8831$ .

Exacto: $y(1) = 1/(2-1) = 1$ . Error: $11{,}7\%$ .

Verificación. El error es grande porque $f = y^2$ crece y las tangentes subestiman la curva. Reducir a $h = 0{,}1$ (10 pasos) reduciría a $\approx 5{,}8\%$ , confirmando el orden 1.

Fuente. OpenStax Calculus Volume 2, §4.2, Example 4.2 — CC-BY-NC-SA

Example— 98.3· Comparación Euler versus RK4

Problema. Para $y' = x + y$ , $y(0) = 1$ , aproxime $y(0{,}2)$ con $h = 0{,}1$ usando (a) Euler y (b) RK4. Solución exacta: $y = 2e^x - x - 1$ .

Estrategia. Aplique las fórmulas de cada método y compare errores.

Resolución.

Exacto: $y(0{,}2) = 2e^{0{,}2} - 0{,}2 - 1 \approx 2 \times 1{,}2214 - 1{,}2 = 1{,}2428$ .

(a) Euler:

$n=0$ : $f(0,1) = 1$ . $y_1 = 1 + 0{,}1 \times 1 = 1{,}1$ .

$n=1$ : $f(0{,}1, 1{,}1) = 0{,}1 + 1{,}1 = 1{,}2$ . $y_2 = 1{,}1 + 0{,}1 \times 1{,}2 = 1{,}22$ .

Error Euler: $|1{,}2428 - 1{,}22| = 0{,}0228$ .

(b) RK4 (paso $n=0 \to n=1$ , $h=0{,}1$ ):

$k_1 = 0 + 1 = 1$ ; $k_2 = (0{,}05) + (1 + 0{,}05) = 1{,}1$ ; $k_3 = 0{,}05 + (1 + 0{,}05) = 1{,}1$ ; $k_4 = 0{,}1 + (1 + 0{,}1) = 1{,}2$ .

$y_1 = 1 + (0{,}1/6)(1 + 2{,}2 + 2{,}2 + 1{,}2) = 1 + 0{,}1 \times 1{,}1\overline{0}\approx 1{,}1103$ .

Error RK4 (dos pasos): $< 10^{-6}$ — órdenes de magnitud mejor que Euler.

Verificación. Razón de los errores para $h$ reducido a la mitad: Euler 2:1 (1er orden); RK4 16:1 (4º orden) ✓.

Fuente. REAMAT UFRGS, Cálculo Numérico §8.3 — CC-BY-SA

Example— 98.4· Euler implícito — estabilidad en ecuación rígida

Problema. $y' = -100y$ , $y(0) = 1$ . Compare Euler explícito con $h = 0{,}03$ (inestable) y $h = 0{,}01$ (estable).

Estrategia. Analice $|1 + h\lambda|$ con $\lambda = -100$ .

Resolución.

Factor de amplificación Euler explícito: $r = 1 + h\lambda = 1 - 100h$ .

$h = 0{,}03$ : $r = 1 - 3 = -2$ . $|r| = 2 > 1$ — inestable: $y_n = (-2)^n \to \pm\infty$ .
$h = 0{,}01$ : $r = 1 - 1 = 0$ . $|r| = 0 < 1$ — estable (en la frontera), $y_n = 0$ en 1 paso (sobreamortiguamiento).
$h = 0{,}02$ : $r = 1 - 2 = -1$ . $|r| = 1$ — oscila sin amortiguamiento.

Región de estabilidad Euler: $h < 2/|\lambda| = 0{,}02$ para esta ecuación. La solución exacta $e^{-100x}$ decae en $x \sim 0{,}01$ — pasos mucho menores que la escala de interés.

Verificación. Euler implícito: $r_{imp} = 1/(1-h\lambda) = 1/(1+100h)$ . Para cualquier $h > 0$ : $|r_{imp}| < 1$ ✓ — siempre estable.

Fuente. REAMAT UFRGS, Cálculo Numérico §8.4 — CC-BY-SA

Example— 98.5· Euler para sistema de EDOs — oscilador

Problema. Sistema $x' = v$ , $v' = -x$ (oscilador armónico), CI: $x(0) = 1$ , $v(0) = 0$ , $h = 0{,}1$ , simule 3 pasos.

Estrategia. Aplique Euler en cada componente simultáneamente.

Resolución.

Estado: $x_n$ , $v_n$ . Funciones $f_1 = v$ y $f_2 = -x$ .

Paso 0: $x_0 = 1$ , $v_0 = 0$ . Pendientes: $\dot x = 0$ , $\dot v = -1$ .

$x_1 = 1 + 0.1 \times 0 = 1$ ; $v_1 = 0 + 0.1 \times (-1) = -0.1$ .

Paso 1: $x_1 = 1$ , $v_1 = -0.1$ . Pendientes: $\dot x = -0.1$ , $\dot v = -1$ .

$x_2 = 1 + 0.1 \times (-0.1) = 0.99$ ; $v_2 = -0.1 + 0.1 \times (-1) = -0.2$ .

Paso 2: $x_2 = 0.99$ , $v_2 = -0.2$ . Pendientes: $\dot x = -0.2$ , $\dot v = -0.99$ .

$x_3 = 0.99 + 0.1 \times (-0.2) = 0.97$ ; $v_3 = -0.2 + 0.1 \times (-0.99) = -0.299$ .

Exacto en $t = 0.3$ : $x = \cos(0.3) \approx 0.9553$ , $v = -\sin(0.3) \approx -0.2955$ . Euler sobreestima $x$ — no conserva energía. El Euler simpléctico resuelve: calcula $v_{n+1}$ primero, después usa-lo para $x_{n+1}$ .

Fuente. Lebl, Notes on Diffy Qs §1.7, Exercise 1.7.4 — CC-BY-SA

Exercise list

28 exercises · 7 with worked solution (25%)

Application 17Understanding 3Modeling 5Challenge 1Proof 2

Ex. 98.1Application
Use Euler con $h = 0{,}5$ para aproximar $y(1)$ dado $y' = y^2$ , $y(0) = 0$ .
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Ex. 98.2Application
Use Euler con $h = 0{,}1$ para aproximar $y(0{,}2)$ , dado $y' = x + y$ , $y(0) = 1$ . Compare con el valor exacto $y = 2e^x - x - 1$ .
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Ex. 98.3ApplicationAnswer key
Use Euler con $h = 0{,}25$ para aproximar $y(1)$ , dado $y' = -y$ , $y(0) = 1$ . Exacto: $e^{-1}$ .
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Ex. 98.4Application
Repita el ejercicio 98.3 con $h = 0{,}1$ . Compare los errores y verifique el orden 1 del método.
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Ex. 98.5Application
Use Euler con $h = 0{,}5$ para $y' = 2x$ , $y(0) = 0$ , y estime $y(2)$ . Compare con el exacto.
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Ex. 98.6Application
Use Euler con $h = 0{,}2$ para $y' = y - x^2 + 1$ , $y(0) = 0{,}5$ , y estime $y(0{,}4)$ .
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Ex. 98.7ApplicationAnswer key
Para $y' = y$ , $y(0) = 1$ , estime el error local del método de Euler con $h = 0{,}1$ en $[0, 1]$ .
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Ex. 98.8Application
Determine el paso máximo $h_{\max}$ para estabilidad del Euler explícito en $y' = -2y$ .
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Ex. 98.9Application
Aplique el Euler implícito con $h = 0{,}5$ para $y' = -y$ , $y(0) = 1$ , y estime $y(1)$ .
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Ex. 98.10ApplicationAnswer key
Aplique el método de Heun (RK2) con $h = 0{,}5$ para $y' = -y$ , $y(0) = 1$ , y estime $y(0{,}5)$ .
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Ex. 98.11Application
Para $y' = x + y$ , $y(0) = 1$ : calcule los errores en $y(0{,}2)$ con Euler para $h = 0{,}1$ y $h = 0{,}05$ . Verifique el orden 1.
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Ex. 98.12Application
¿Cuántos pasos de Euler son necesarios para $y' = y$ , $y(0) = 1$ , con error global menor que $10^{-4}$ en $[0, 1]$ ?
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Ex. 98.13ApplicationAnswer key
Simule el oscilador $x'' + x = 0$ , $x(0) = 1$ , $x'(0) = 0$ con Euler y $h = 0{,}1$ . Calcule $(x_1, v_1)$ , $(x_2, v_2)$ , $(x_3, v_3)$ .
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Ex. 98.14Application
Verifique que el método de Euler no conserva la energía del oscilador $x'' + x = 0$ . Compare con el Euler simpléctico.
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Ex. 98.15Modeling
$P' = 0{,}3P(1 - P/1000)$ , $P(0) = 100$ . Use Euler con $h = 1$ para estimar $P(12)$ (12 meses). Esboce el gráfico de los puntos calculados.
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Ex. 98.16ModelingAnswer key
Circuito RLC: $L = 1$ H, $R = 0{,}5$ Ω, $C = 1$ F, $Q(0) = 1$ , $I(0) = 0$ . Use Euler con $h = 0{,}1$ para simular $Q(t)$ por 3 pasos.
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Ex. 98.17Modeling
$T' = -0{,}1(T - 20)$ , $T(0) = 90$ °C. Use Euler con $h = 5$ min para estimar $T(10)$ .
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Ex. 98.18Modeling
Carbono-14 tiene media vida 5730 años. Use Euler con $h = 500$ años para estimar la fracción restante después de 5000 años.
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Ex. 98.19Understanding
¿Por qué el método de Euler tiene error global $O(h)$ si cada paso tiene error local $O(h^2)$ ?
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Ex. 98.20Understanding
¿En cuál situación el método de Euler explícito se vuelve impracticable por inestabilidad numérica?
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Ex. 98.21Understanding
¿Cuál es la principal ventaja de RK4 sobre el método de Euler?
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Ex. 98.22ApplicationAnswer key
Use Euler con $h = \pi/4$ para aproximar $y(\pi/2)$ dado $y' = \cos x$ , $y(0) = 0$ . Compare con $\sin(\pi/2) = 1$ .
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Ex. 98.23Application
Use Euler con $h = 0{,}5$ para $y' = \sqrt{y}$ , $y(0) = 1$ . Estime $y(1)$ y compare con el exacto $(1{,}5)^2 = 2{,}25$ .
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Ex. 98.24Application
Para $y' = \sqrt{y}$ , $y(0) = 1$ , compare Euler y Heun (RK2) con $h = 0{,}5$ para estimar $y(0{,}5)$ . Exacto: $y(0{,}5) = (1{,}25)^2 = 1{,}5625$ .
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Ex. 98.25Modeling
Describa cómo verificar experimentalmente el orden de un método numérico comparando errores para $h$ y $h/2$ .
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Ex. 98.26Proof
Derive el error local del método de Euler usando la serie de Taylor de $y(x_{n+1})$ en torno a $x_n$ .
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Ex. 98.27Proof
Derive la región de estabilidad del método de Euler explícito en el plano $h\lambda$ y muestre que es el disco $|1 + h\lambda| < 1$ .
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Ex. 98.28ChallengeAnswer key
Aplique RK4 con $h = 0{,}1$ a $y' = y$ , $y(0) = 1$ . Compare el error con el del Euler y confirme que RK4 es de 4º orden.
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Fuentes

Lebl, Jiří. Notes on Diffy Qs: Differential Equations for Engineers. Versión 6.4. CC-BY-SA. jirka.org/diffyqs — §1.7 cubre método de Euler con análisis de error por Taylor.
UFRGS Reamat. Cálculo Numérico (versión Python). CC-BY-SA. ufrgs.br/reamat/CalculoNumerico — Cap. 8: Euler, Heun, RK4, estabilidad y análisis de error en PT-BR con código Python.
OpenStax. Calculus Volume 2. CC-BY-NC-SA. openstax.org/details/books/calculus-volume-2 — §4.2: campos de dirección y método de Euler con interpretación gráfica.