Lección 99 — Ley de Newton del Enfriamiento

$T_0 = 100$ °C, $T_{\text{amb}} = 22$ °C, $k = 0{,}04$ min$^{-1}$. Escriba $T(t)$ y calcule $T(15)$.

$T_0 = 100$ °C, $T_{\text{amb}} = 20$ °C, $T(10) = 55$ °C. Determine $k$.

$T_0 = 5$ °C (objeto frío), $T_{\text{amb}} = 25$ °C, $k = 0{,}06$ min$^{-1}$. Calcule $T(20)$.

$T_0 = 90$ °C, $T_{\text{amb}} = 20$ °C, $k = 0{,}05$ min$^{-1}$. Calcule la semidesintegración de la diferencia de temperatura y la temperatura en ese instante.

$T_0 = 80$ °C, $T_{\text{amb}} = -10$ °C, $k = 0{,}03$ min$^{-1}$. Calcule $\tau$ y $T(\tau)$.

$T_0 = 100$ °C, $T_{\text{amb}} = 20$ °C, $k = 0{,}05$ min$^{-1}$. ¿En cuánto tiempo $T = 40$ °C?

$k = 0{,}04$ min$^{-1}$. ¿En cuánto tiempo la diferencia de temperatura cae a menos del 1% del valor inicial?

Cuerpo encontrado a las 22h: $T = 33$ °C. $T_{\text{amb}} = 18$ °C, $T_{\text{normal}} = 37$ °C, $k = 0{,}06$ h$^{-1}$. Estime la hora de la muerte.

Recipiente con líquido: $h = 20$ W/(m²K), $A = 0{,}04$ m², $m = 0{,}3$ kg, $c_p = 4000$ J/(kgK). Calcule $k$ y la constante de tiempo $\tau$.

Derive la fórmula de $k$ a partir de dos medidas de temperatura $T_1$ (en $t_1$) y $T_2$ (en $t_2$) con $T_{\text{amb}}$ conocida.

$T_0 = 100$ °C, $T_{\text{amb}} = 25$ °C, $k = 0{,}05$ min$^{-1}$. Use Euler con $h = 5$ min para estimar $T(15)$ y compare con el exacto.

La diferencia de temperatura entre objeto y ambiente cae de 80 °C a 40 °C en 10 min. ¿En cuánto tiempo adicional cae de 40 a 20 °C?

Muestre que si $T_0 = T_{\text{amb}}$, la solución es constante. Interprete físicamente.

Leche: $T_0 = 72$ °C, $T_{\text{amb}}^{\text{frío}} = 0$ °C, $k = 0{,}15$ s$^{-1}$. ¿En cuánto tiempo se enfría a 4 °C?

Caso forense. Cuerpo encontrado a las 23h con $T = 30$ °C. $T_{\text{amb}} = 20$ °C, $k = 0{,}07$ h$^{-1}$. Estime la hora de la muerte. Discuta las incertidumbres del método.

Objeto con fuente de calor interna constante: $T' = -k(T - T_a) + H$, donde $H = Q/(mc_p)$. Con $T_a = 22$ °C, $k = 0{,}05$ min$^{-1}$, $H = 5$ °C/min. ¿Cuál es la temperatura de equilibrio?

Objeto calentándose: mediciones $T(0) = 20$, $T(30) = 40$, $T(60) = 55$ °C. Estime $T_{\text{amb}}$ y $k$ asumiendo que una de las tres ecuaciones puede estar ruidosa.

Procesador con disipación $H = 2$ °C/min, $T_a = 25$ °C. Para mantener $T \leq 40$ °C, ¿cuál es el mínimo de $k$ necesario en el sistema de enfriamiento?

¿Cómo varía la tasa de enfriamiento $|T'(t)|$ a lo largo del tiempo para un objeto con $T_0 > T_{\text{amb}}$?

¿Cómo depende $k$ de las propiedades físicas del sistema? ¿Qué le sucede a la constante de tiempo $\tau$ cuando $k$ aumenta?

¿En qué situaciones la ley de Newton del enfriamiento deja de ser válida?

Dos mediciones: $T(0) = 30$ °C, $T(1) = 28$ °C, $T_{\text{amb}} = 20$ °C. Determine $k$ y estime $T(5)$.

$T(0) = 30$ °C, $T(1) = 28$ °C, $T_{\text{amb}} = 20$ °C. Determine $k$ y calcule $T(5)$.

Servidor: $P = 2000$ W, $hA = 200$ W/K, $T_a = 24$ °C. ¿Cuál es la temperatura de equilibrio? ¿Qué es necesario para mantener por debajo de 27 °C?

$T_a(t) = 20 + 8\cos(\pi t/12)$ °C (variación diaria con período 24 h). Escriba la solución formal de $T' = -k(T - T_a(t))$ y discuta cómo la amplitud de las oscilaciones de $T$ se compara con la de $T_a$.

Muestre que el PVI $T' = -k(T - T_a)$, $T(0) = T_0$ tiene solución única para todo $t \geq 0$.

Verifique por sustitución directa que $T(t) = T_{\text{amb}} + (T_0 - T_{\text{amb}})e^{-kt}$ satisface la EDO y la condición inicial.

Enfriamiento mutuo. Dos objetos intercambian calor entre sí: $T_1' = -k_1(T_1-T_2)$, $T_2' = -k_2(T_2-T_1)$. $T_1(0) = 100$ °C, $T_2(0) = 20$ °C. Halle la temperatura de equilibrio y la tasa de aproximación.

Pieza de acero: $T_0 = 850$ °C, $T_{\text{amb}} = 30$ °C, $k = 0{,}02$ min$^{-1}$. ¿Cuánto tiempo para enfriarse a 200 °C?

Compare la ley de Newton del enfriamiento con el decaimiento radiactivo. ¿Cuáles son las similitudes matemáticas? ¿Cuál es la diferencia en el equilibrio?