Lección 101 — Muestreo: tipos, sesgos y distribución muestral

Una fábrica produce tornillos con peso medio $\mu$ y desviación típica $\sigma = 50$ g. Se recoge una muestra de $n = 100$ tornillos. Calcula el error estándar de la media muestral.

Una encuesta comienza con $n = 25$. ¿Cuántas veces hay que aumentar $n$ para reducir el error estándar a la mitad? Explícalo usando la fórmula.

El tiempo de espera en una sucursal bancaria tiene distribución normal con $\mu = 120$ s y $\sigma = 15$ s. Se recoge una muestra de $n = 9$ clientes. ¿Cuál es la probabilidad de que $\bar X > 125$ s?

Un hospital quiere estimar la satisfacción de los pacientes con la atención. La directora sabe que el género y la franja de edad influyen mucho en la percepción. ¿Qué tipo de muestreo es más adecuado? Justifica tu respuesta.

Una tienda online envía un correo electrónico pidiendo una valoración tras cada compra. Solo el 12% de los clientes responde. Identifica el tipo de sesgo más probable y explica su efecto sobre la estimación.

Una encuesta quiere estimar la proporción de hogares con acceso a internet en zona rural, con margen de error del 4% al 95% de confianza. ¿Cuál es el tamaño mínimo de muestra?

Un consultor analiza el crecimiento medio de 50 startups fundadas hace 5 años que aún están activas, concluyendo que "las startups crecen de media un 120% al año". ¿Qué sesgo está presente?

Muestra que la media muestral $\bar X$ es (a) insesgada, (b) consistente y (c) eficiente para $\mu$, en la clase de los estimadores lineales.

Un estudio sobre gasto en transporte público recoge $n = 400$ registros. La desviación típica histórica es \sigma = R\,40$ (en reales). Calcula el error estándar e interpreta su significado.

El INE quiere estimar la renta media de las empresas. Describe cómo serían un MAS, un estratificado por sector y uno por conglomerado. ¿Cuál sería más eficiente? ¿Por qué?

Para la media muestral $\bar X$ con $n$ fijo y población iid, ¿cuál afirmación es correcta?

¿Por qué, en muchas encuestas prácticas, la media muestral tiene distribución aproximadamente normal, aunque no se conozca la distribución exacta de la población?

Afirmación: "En el muestreo aleatorio simple, cada individuo tiene la misma probabilidad de ser elegido. Esto equivale a decir que cada conjunto de $n$ individuos tiene la misma probabilidad de ser la muestra." ¿Es correcta la afirmación?

La nota media histórica de un examen es $\mu = 3{,}5$ con $\sigma = 1{,}5$. Para un grupo de $n = 36$ estudiantes, ¿cuál es la probabilidad de que la media del grupo sea menor que 3,2?

El INE necesita estimar el acceso al saneamiento básico en municipios de toda España, con presupuesto limitado. La lista de hogares no está disponible, pero sí la de municipios y calles. Propón un plan de muestreo.

Una encuesta con $n = 400$ votantes encontró $\hat p = 60\%$ de aprobación al gobierno municipal. Calcula el error estándar y el margen de error al 95% de confianza.

Calcula los tamaños mínimos de muestra para estimar una proporción con margen de error del (a) 5% y (b) 2,5%, ambos con 95% de confianza. Explica la relación entre los resultados.

Una empresa tiene 3000 clientes registrados en orden de número de contrato. Quiere seleccionar 300 para una encuesta. Describe el procedimiento de muestreo sistemático y analiza cuándo puede introducir sesgo.

El peso de paquetes de arroz tiene $\mu = 70$ kg y $\sigma = 10$ kg. Para una muestra de $n = 64$, calcula $P(68 \leq \bar X \leq 72)$.

Una universidad hace una encuesta de satisfacción con alumnos actualmente matriculados. ¿Cuál es el sesgo más relevante en este enfoque?

Sin conocimiento previo de $p$, ¿cuál es el tamaño mínimo de muestra para estimar una proporción con margen de error del 2% al 95%?

Un investigador entrevista a vecinos de una ciudad llamando a puertas entre las 9h y las 17h de días laborables. Quiere estimar la renta media familiar. Identifica el sesgo y describe su dirección (¿subestima o sobreestima la renta media?).

El tiempo de consulta médica tiene $\sigma = 12$ min. Calcula el error estándar de la media para $n = 25$ y $n = 100$, y compáralos.

El consumo mensual de electricidad de una ciudad tiene $\mu = 500$ kWh y $\sigma = 80$ kWh. Para $n = 100$ hogares sorteados, calcula $P(\bar X > 510)$.

El INE usa unas 65 000 familias en la EPA. La tasa de desempleo nacional es de aproximadamente el 12%. (a) ¿Cuál sería el $n$ mínimo teórico para estimar el desempleo con margen de $\pm 0{,}5\%$ al 95%? (b) ¿Por qué el INE usa un $n$ mucho mayor?

Un banco quiere estimar la morosidad media en su cartera de crédito de 500 000 clientes. La variabilidad de la morosidad varía mucho según el nivel de renta. Propón un plan de muestreo eficiente y justifica la asignación de entrevistas por estrato.

Un analista financiero compara el rendimiento medio histórico de fondos de inversión activos y concluye que los gestores activos superan al índice. Los datos incluyen únicamente fondos que aún existen hoy. Identifica el sesgo y explica cómo afecta a la conclusión.

Muestra algebraicamente que $S^2 = \frac{1}{n-1}\sum(X_i - \bar X)^2$ es insesgado para $\sigma^2$. ¿Por qué el divisor es $n-1$ y no $n$?

Aplica la desigualdad de Hoeffding para $X_i \in [0, 1]$: $P(|\bar X - \mu| > t) \leq 2\exp(-2nt^2)$. Para $t = 0{,}05$, calcula la cota para $n = 100$ y $n = 1000$. Interpreta el resultado.

Prueba formalmente que la media muestral $\bar X = \frac{1}{n}\sum X_i$ es (a) insesgada y (b) consistente para $\mu$, usando la desigualdad de Chebyshev para la parte (b).