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Lección 102 — Intervalo de confianza para la media

Construcción e interpretación de intervalos de confianza para la media poblacional. Casos z (sigma conocido) y t de Student (sigma desconocido). Margen de error y tamaño de muestra.

Used in: 3.º año del Bachillerato (17-18 años) · Equiv. Stochastik LK alemán · Equiv. Math B japonés · H2 Statistics singapurense

\bar X \pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \quad \text{o} \quad \bar X \pm t_{\alpha/2,\,n-1}\,\frac{s}{\sqrt{n}}

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definición rigurosa

Estadística pivotal e IC para media

"Un intervalo de confianza del 95% significa que si construimos muchos intervalos de confianza a partir de muchas muestras diferentes, esperamos que 95% de esos intervalos contengan el verdadero parámetro de la población." — OpenStax Statistics, §8.1

Caso 1: $\sigma$ conocido (pivote z)

Definition· IC con sigma conocido

Por el TLC, $Z = (\bar X - \mu)/(\sigma/\sqrt{n}) \overset{\text{aprox.}}{\sim} \mathcal{N}(0,1)$ . Por lo tanto:

P\!\left(-z_{\alpha/2} \leq \frac{\bar X - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \leq z_{\alpha/2}\right) = 1 - \alpha

what this means · IC bilateral de nivel 1-alpha para mu cuando sigma es conocido.

Reorganizando alrededor de $\mu$ :

\mathrm{IC}_{1-\alpha}(\mu) = \left[\bar X - z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \bar X + z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]

what this means · El intervalo de confianza z para mu. Extremos son media muestral más y menos el margen de error.

Caso 2: $\sigma$ desconocido (pivote t)

Definition· IC con sigma desconocido — t de Student

Sustituyendo $\sigma$ por $s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum(X_i-\bar X)^2}$ , la estadística pivotal es:

T = \frac{\bar X - \mu}{s/\sqrt{n}} \sim t_{n-1}

what this means · Estadística t de Student: sigue la distribución t con n-1 grados de libertad cuando la población es normal.

El IC resultante es:

\mathrm{IC}_{1-\alpha}(\mu) = \left[\bar X - t_{\alpha/2,\,n-1}\frac{s}{\sqrt{n}},\ \bar X + t_{\alpha/2,\,n-1}\frac{s}{\sqrt{n}}\right]

what this means · IC t de Student para mu. Usa el cuantil t con n-1 grados de libertad.

La distribución $t_{n-1}$ tiene colas más pesadas que $\mathcal{N}(0,1)$ ; para $n \geq 30$ , las diferencias son pequeñas.

"Cuando la población no es normal pero $n$ es grande, la distribución t aproxima bien el comportamiento del pivote por la robustez del TLC." — OpenIntro Statistics, §4.2

Cuantiles de referencia

Nivel $(1-\alpha)$	$z_{\alpha/2}$	$t_{\alpha/2,\,29}$	$t_{\alpha/2,\,9}$
90%	1,645	1,699	1,833
95%	1,960	2,045	2,262
99%	2,576	2,756	3,250

Margen de error y tamaño muestral

Ejemplos resueltos

Example— 102.1· IC con sigma conocido (básico)

Problema. Un laboratorio mide la concentración de glucosa en muestras de sangre. El equipo tiene $\sigma = 5$ mg/dL (conocido por calibración). Una muestra de $n = 25$ pacientes da $\bar X = 98$ mg/dL. Construye el IC 95% para la concentración media real $\mu$ .

Estrategia. Como $\sigma$ es conocido, usa el pivote $z$ . El cuantil 95% bilateral es $z_{0{,}025} = 1{,}960$ .

Resolución.

$E = z_{0{,}025} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1{,}960 \cdot \frac{5}{\sqrt{25}} = 1{,}960 \cdot 1 = 1{,}96$

$\mathrm{IC}_{95\%}(\mu) = [98 - 1{,}96;\; 98 + 1{,}96] = [96{,}04;\; 99{,}96] \text{ mg/dL}$

Verificación. La amplitud del IC es $2 \times 1{,}96 = 3{,}92$ mg/dL. Para $n = 100$ (cuatro veces mayor), $E = 1{,}96 \cdot 5/10 = 0{,}98$ — mitad de la amplitud, coherente con $\mathrm{SE} \propto 1/\sqrt{n}$ .

Fuente. OpenStax Statistics, §8.1, Ejemplo 8.1 — CC-BY.

Example— 102.2· IC con sigma desconocido — t de Student (intermedio)

Problema. Una investigación con $n = 16$ estudiantes sobre horas semanales de estudio para el ENEM produjo $\bar X = 18$ h y $s = 4$ h. Construye el IC 95% para la media real.

Estrategia. $\sigma$ desconocido, $n$ pequeño: usa $t_{n-1} = t_{15}$ . Cuantil: $t_{0{,}025,\,15} = 2{,}131$ .

Resolución.

$E = t_{0{,}025,\,15} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} = 2{,}131 \cdot \frac{4}{\sqrt{16}} = 2{,}131 \cdot 1 = 2{,}131$

$\mathrm{IC}_{95\%}(\mu) = [18 - 2{,}13;\; 18 + 2{,}13] = [15{,}87;\; 20{,}13] \text{ horas}$

Verificación. Si hubiéramos usado $z_{0{,}025} = 1{,}960$ erróneamente, $E = 1{,}96$ — subestimando la incertidumbre de estimar $\sigma$ . La diferencia $2{,}131 - 1{,}960 = 0{,}171$ es el "costo" de desconocer $\sigma$ .

Fuente. OpenIntro Statistics, §4.2, Ejemplo 4.4 — CC-BY-SA.

Example— 102.3· Tamaño de muestra para margen de error prescrito (intermedio)

Problema. Una auditoría fiscal quiere estimar el valor medio de facturas electrónicas con margen de error máximo de R$ 50 a 99% de confianza. Estudios anteriores indican $\sigma \approx R\$ ,300$. ¿Cuál es el tamaño mínimo de muestra?

Estrategia. Usa la fórmula $n \geq (z_{\alpha/2}\,\sigma/E)^2$ con $z_{0{,}005} = 2{,}576$ .

Resolución.

$n \geq \left(\frac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2 = \left(\frac{2{,}576 \times 300}{50}\right)^2 = (15{,}456)^2 = 238{,}9$

Redondeando hacia arriba: $n = 239$ facturas.

Verificación. Con $n = 239$ : $E = 2{,}576 \times 300/\sqrt{239} = 2{,}576 \times 19{,}41 = 50{,}0$ — exactamente en el límite prescrito. Correcto.

Fuente. OpenStax Statistics, §8.1, Ejemplo 8.4 — CC-BY.

Example— 102.4· Interpretación correcta del IC — trampa conceptual (avanzado)

Problema. Un ingeniero calcula el IC 95% para la resistencia media de barras de acero: $[425;\; 435]$ MPa. Su colega afirma: "Hay 95% de probabilidad de que $\mu$ esté entre 425 y 435 MPa." ¿Esa afirmación es correcta?

Estrategia. Identificar qué es aleatorio y qué es fijo en la interpretación frecuentista.

Resolución.

La afirmación está incorrecta en la visión frecuentista. Después de calculado, el intervalo $[425;\; 435]$ es determinístico — o contiene $\mu$ o no lo contiene. El parámetro $\mu$ es fijo; no tiene distribución de probabilidad.

La afirmación correcta es: el procedimiento que generó este intervalo tiene propiedad de cobertura del 95%. Si repitiéramos el experimento muchas veces y calculáramos un IC cada vez, esperaríamos que 95% de ellos contuvieran $\mu$ .

Una versión válida: "Estamos 95% confiados de que $\mu \in [425;\; 435]$ " — siempre que "confiado" se entienda como referencia al procedimiento, no a la probabilidad del parámetro específico.

Verificación. En el enfoque bayesiano, con prior no-informativa de Jeffreys, el credible interval 95% tendría la misma amplitud y sería interpretable como "probabilidad 95% de que $\mu$ esté en este intervalo dado los datos" — pero eso requiere especificación de prior.

Fuente. OpenIntro Statistics, §4.2, Sección "Common misconceptions" — CC-BY-SA.

Example— 102.5· IC por la distribución t con comparación de niveles (avanzado)

Problema. Ingreso mensual de $n = 10$ familias de una favela: 1200, 850, 1500, 970, 1100, 800, 1350, 1050, 920, 1080 (en R$). Construye los ICs del 90%, 95% y 99% para el ingreso medio.

Estrategia. Calcula $\bar X$ y $s$ de la muestra; aplica la fórmula $t$ con 9 grados de libertad.

Resolución.

Suma: $1200+850+1500+970+1100+800+1350+1050+920+1080 = 10\,820$ . Media: $\bar X = 1082$ R$.

Desviación: $s^2 = \frac{\sum(X_i - \bar X)^2}{n-1}$ . Calculando los desvios al cuadrado: $(118)^2 + (-232)^2 + (418)^2 + (-112)^2 + (18)^2 + (-282)^2 + (268)^2 + (-32)^2 + (-162)^2 + (-2)^2$ :

$= 13924 + 53824 + 174724 + 12544 + 324 + 79524 + 71824 + 1024 + 26244 + 4 = 433960$

$s^2 = 433960/9 \approx 48218$ , $s \approx 219{,}6$ R$.

$\mathrm{SE} = 219{,}6/\sqrt{10} \approx 69{,}4$ R$.

Nivel	$t_{\alpha/2,\,9}$	Margen	IC
90%	1,833	127,2	$[954{,}8;\; 1209{,}2]$
95%	2,262	157,0	$[925{,}0;\; 1239{,}0]$
99%	3,250	225,6	$[856{,}4;\; 1307{,}6]$

Verificación. Los tres intervalos están anidados: IC 99% $\supset$ IC 95% $\supset$ IC 90%. Más confianza implica intervalo más amplio. Coherente con la teoría.

Fuente. OpenIntro Statistics, §4.2, Ejercicio 4.11 — CC-BY-SA.

Exercise list

30 exercises · 7 with worked solution (25%)

Application 19Understanding 3Modeling 4Challenge 2Proof 2

Ex. 102.1ApplicationAnswer key
Altura de reclutas militares: $\sigma = 10$ cm, $n = 100$ , $\bar X = 165$ cm. Construye el IC 95% para la altura media.
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Ex. 102.2Application
Usando los mismos datos del ejercicio 102.1, construye los ICs del 90% y 99% y compara los tres niveles.
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Ex. 102.3ApplicationAnswer key
Horas de trabajo semanal: $n = 25$ , $\bar X = 45$ h, $s = 8$ h. Construye el IC 95% usando la distribución t.
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Ex. 102.4Application
Un equipo de medición tiene $\sigma = 15$ unidades (conocido). ¿Cuál es el $n$ mínimo para estimar la media con margen de error máximo de 3 unidades a 95% de confianza?
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Ex. 102.5Application
Mensualidad de $n = 12$ universidades privadas de una ciudad: $\bar X = R\$ ,1,500 $,$ s = R$,200$. IC 95%.
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Ex. 102.6Application
Con $\sigma = 10$ e IC 95% actual con $n = 16$ (amplitud 9,8), ¿cuál $n$ es necesario para reducir la amplitud a 5?
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Ex. 102.7Application
Si doblas el tamaño de la muestra, ¿cuál es el efecto porcentual en el margen de error? ¿Y si quieres reducir el margen a la mitad, cuánto debes multiplicar $n$ ?
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Ex. 102.8ApplicationAnswer key
Tiempo de batería de notebooks: $n = 36$ , $\bar X = 200$ min, $s = 30$ min. IC 95%.
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Ex. 102.9Application
Peso de perros de una raza específica: $n = 9$ , $\bar X = 15$ kg, $s = 1{,}2$ kg. IC 95%.
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Ex. 102.10Understanding
La afirmación "el IC 95% para $\mu$ es [45; 55]" significa:
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Ex. 102.11UnderstandingAnswer key
¿Cuál de las siguientes acciones produce simultáneamente un IC más estrecho Y mayor confianza?
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Ex. 102.12ApplicationAnswer key
Un auditor fiscal quiere estimar el valor medio de facturas con $\sigma = R\$ ,500 $, margen de error$ R$,100 $y confianza del 99%. ¿Cuál es el$ n$ mínimo?
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Ex. 102.13Application
Gastos con alimentación mensual de $n = 20$ familias: $\bar X = R\$ ,500 $,$ s = R$,50$. IC 95% con t de Student.
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Ex. 102.14Application
Compara los cuantiles t para $n = 9$ y $n = 100$ a 95% de confianza. Explica por qué los ICs con muestras pequeñas son mucho más anchos.
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Ex. 102.15Application
Consumo diario de agua de $n = 8$ apartamentos (en litros): 5,2 | 4,8 | 5,5 | 4,9 | 5,1 | 5,3 | 4,7 | 5,0. Construye el IC 95%.
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Ex. 102.16ApplicationAnswer key
Glucemia: $\sigma = 25$ mg/dL (de estudios anteriores). ¿Cuál $n$ garantiza margen de error de 5 mg/dL a 95%?
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Ex. 102.17Modeling
Un sindicato de trabajadores metalúrgicos recopiló salarios de $n = 25$ empleados: $\bar X = R\$ ,1,800 $,$ s = R$,200 $. El sindicato alega que el salario medio real está por debajo de R$ 1.883. ¿El IC 95% soporta esa alegación?
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Ex. 102.18ModelingAnswer key
Temperatura corporal de $n = 30$ adultos sanos: $\bar X = 36{,}8$ °C, $s = 0{,}5$ °C. IC 95%. ¿El valor clásico de 37°C es compatible con esos datos?
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Ex. 102.19Modeling
Un economista quiere estimar el crecimiento medio del PIB trimestral con margen de error de 0,5 punto porcentual a 95%. Si $\sigma \approx 2$ pp (variabilidad histórica), ¿cuántos trimestres de datos son necesarios? Discute la viabilidad práctica.
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Ex. 102.20Application
Un IC del 90% tiene amplitud $A_{90}$ . ¿Cuántas veces más ancho es el IC del 99% para la misma muestra y el mismo $\sigma$ ?
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Ex. 102.21Application
Horas semanales de pantalla de adolescentes: $\sigma = 3$ h, $n = 49$ , $\bar X = 12$ h. IC 95%. ¿El valor 10 h/semana es plausible?
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Ex. 102.22Application
Colesterol: $\sigma = 8$ mg/dL. ¿Cuál $n$ para IC 99% con margen de 2 mg/dL?
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Ex. 102.23Application
Duración de baterías: $n = 40$ , $\bar X = 520$ h, $s = 60$ h. IC 95%. El fabricante afirma que la duración media es de 500 horas. ¿Los datos soportan esa afirmación?
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Ex. 102.24Understanding
¿Qué sucede con el IC 95% cuando aumentas $n$ de 25 a 100, manteniendo todo lo demás constante?
Solve online
Ex. 102.25Modeling
El INSS recopiló $n = 100$ procesos de jubilación: $\bar X = 37$ días, $s = 15$ días. La meta legal es 45 días. Construye el IC 95% e interpreta en relación a la meta.
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Ex. 102.26Challenge
Para datos de ingreso mensual de $n = 20$ trabajadores, compara el IC 95% para la media (usando t) con el IC 95% para la mediana (usando estadísticas de orden). ¿Cuál es más adecuado para describir el ingreso "típico"? ¿Por qué?
Solve online
Ex. 102.27Proof
Deriva formalmente el IC $(1-\alpha)$ para $\mu$ con $\sigma$ conocido a partir de la propiedad de simetría de la distribución normal estándar. Identifica claramente qué es aleatorio y qué es fijo en $P(L \leq \mu \leq U) = 1 - \alpha$ .
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Ex. 102.28Proof
Demuestra que $T = (\bar X - \mu)/(S/\sqrt{n}) \sim t_{n-1}$ cuando $X_i \overset{\text{iid}}{\sim} \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ . ¿Cuáles son las tres propiedades que necesitas establecer?
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Ex. 102.29Challenge
Muestra la dualidad entre IC y prueba de hipótesis: "rechazar $H_0: \mu = \mu_0$ al nivel $\alpha$ es equivalente a que $\mu_0$ esté fuera del IC $(1-\alpha)$ ". Usa esa dualidad para explicar cómo un IC puede usarse como prueba bilateral simultánea para todos los valores de $\mu_0$ .
Solve online
Ex. 102.30Application
En $n = 200$ estudiantes del ENEM de una escuela pública, 65 obtuvieron nota arriba de 700 en el ensayo. Construye el IC 95% para la proporción real.
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Fuentes

OpenIntro Statistics (4.ª ed.) — Diez, Çetinkaya-Rundel, Barr · CC-BY-SA. Secciones §4.2–4.4 (IC para medias, dualidad con pruebas, tamaño muestral).
Statistics (OpenStax) — Illowsky, Dean · CC-BY. Capítulo 8 (IC para media con z y con t de Student, margen de error).
Statistical Thinking for the 21st Century — Russell Poldrack · CC-BY-NC. Capítulo 9 (interpretación frecuentista vs. bayesiana del IC).

Definición rigurosa

Estadística pivotal e IC para media

Caso 1: σ\sigmaσ conocido (pivote z)

Caso 2: σ\sigmaσ desconocido (pivote t)

Cuantiles de referencia

Margen de error y tamaño muestral

Ejemplos resueltos

Fuentes

Caso 1: $\sigma$ conocido (pivote z)

Caso 2: $\sigma$ desconocido (pivote t)