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Lección 107 — ANOVA one-way

Análisis de varianza (ANOVA one-way): descomposición SST = SSB + SSW, estadística F, tabla ANOVA, verificación de supuestos, post-hoc de Tukey, tamaño de efecto eta².

Used in: 3.º año EM — Estadística Inferencial · Stochastik LK alemán · H2 Math singaporiano (estadística) · Math B japonés

F = \frac{MS_{\text{entre}}}{MS_{\text{dentro}}} = \frac{SSB/(k-1)}{SSW/(N-k)}

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definición rigurosa

El problema: comparar k medias con una única prueba

Supongamos que tienes $k \geq 2$ grupos independientes y quieres saber si las medias poblacionales $\mu_1, \ldots, \mu_k$ son iguales. Hacer $\binom{k}{2}$ pruebas $t$ separadas infla el error tipo I. El ANOVA resuelve esto con una única prueba global.

Definition· Modelo ANOVA one-way (efectos fijos)

Cada observación $Y_{ij}$ (sujeto $j$ en el grupo $i$ ) sigue:

$Y_{ij} = \mu + \alpha_i + \varepsilon_{ij}, \quad i = 1, \ldots, k;\; j = 1, \ldots, n_i$

donde:

$\mu$ es la media general (gran media)
$\alpha_i$ es el efecto del grupo $i$ , con restricción $\sum_{i=1}^k n_i \alpha_i = 0$
$\varepsilon_{ij} \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2)$ i.i.d. — errores normales con varianza común

Las hipótesis son:

$H_0: \alpha_1 = \alpha_2 = \cdots = \alpha_k = 0 \quad \Leftrightarrow \quad \mu_1 = \mu_2 = \cdots = \mu_k$ $H_1: \text{existe al menos un } i \text{ tal que } \alpha_i \neq 0$

"In a one-way analysis of variance problem, we are interested in comparing the means of $k$ populations. If the means are all equal, we say the treatments, or factor levels, are not different from one another. If at least one mean differs, we say the treatments are different." — OpenStax Statistics §13.1

Descomposición de la varianza total

Definition· Suma de cuadrados: SST = SSB + SSW

Sea $\bar{Y} = \frac{1}{N}\sum_{i,j} Y_{ij}$ la gran media y $\bar{Y}_i = \frac{1}{n_i}\sum_j Y_{ij}$ la media del grupo $i$ . Se definen:

$SST = \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^{n_i} (Y_{ij} - \bar{Y})^2 \quad \text{(suma de cuadrados total)}$

$SSB = \sum_{i=1}^k n_i (\bar{Y}_i - \bar{Y})^2 \quad \text{(entre grupos — Between)}$

$SSW = \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^{n_i} (Y_{ij} - \bar{Y}_i)^2 \quad \text{(dentro de los grupos — Within)}$

Teorema (descomposición): $SST = SSB + SSW$ . La prueba resulta de la identidad algebraica

$Y_{ij} - \bar{Y} = \underbrace{(\bar{Y}_i - \bar{Y})}_{\text{efecto del grupo}} + \underbrace{(Y_{ij} - \bar{Y}_i)}_{\text{error intra-grupo}}$

al elevar al cuadrado y sumar — los términos cruzados se cancelan porque $\sum_j (Y_{ij} - \bar{Y}_i) = 0$ .

Tres grupos con medias distintas. Línea sólida punteada de color = media del grupo (). Línea gris punteada = gran media (). SSB mide cuánto las medias coloreadas se alejan de la gris; SSW mide la dispersión de los puntos alrededor de sus propias medias.

Estadística F y tabla ANOVA

Definition· Medias cuadráticas y estadística F

Dividiendo cada SS por su respectivo grado de libertad obtenemos las medias cuadráticas (mean squares):

$MS_B = \frac{SSB}{k-1}, \qquad MS_W = \frac{SSW}{N-k}$

donde $N = \sum_{i=1}^k n_i$ y $k - 1$ y $N - k$ son los grados de libertad entre y dentro.

La estadística de la prueba es:

$F = \frac{MS_B}{MS_W}$

Bajo $H_0$ , $F \sim F_{k-1,\, N-k}$ (distribución F de Snedecor). Rechazamos $H_0$ si $F > F_{\alpha;\, k-1,\, N-k}$ .

Fuente	SS	gl	MS	F
Entre grupos	$SSB$	$k-1$	$MS_B = SSB/(k-1)$	$MS_B / MS_W$
Dentro de los grupos	$SSW$	$N-k$	$MS_W = SSW/(N-k)$	—
Total	$SST$	$N-1$	—	—

"The one-way ANOVA test statistic $F$ is the ratio of two independent chi-square variables divided by their respective degrees of freedom... Under the null hypothesis, $F$ follows an $F$ distribution with $k-1$ and $N-k$ degrees of freedom." — OpenStax Statistics §13.2

Supuestos del modelo

Tamaño de efecto

Ejemplos resueltos

Example— 1· Grados de libertad y tabla ANOVA (aplicacion)

Problema: Un investigador compara 4 dietas. Cada grupo tiene 15 participantes. Rellene los grados de libertad en la tabla ANOVA.

Estrategia: Los grados de libertad siguen directamente de las fórmulas: $df_B = k - 1$ , $df_W = N - k$ , $df_T = N - 1$ .

Resolución:

$k = 4$ grupos, $n_i = 15$ cada uno, $N = 4 \times 15 = 60$ .

Fuente	SS	gl	MS	F
Entre	$SSB$	$4 - 1 = 3$	$SSB/3$	$MS_B/MS_W$
Dentro	$SSW$	$60 - 4 = 56$	$SSW/56$	—
Total	$SST$	$60 - 1 = 59$	—	—

Verificación: $3 + 56 = 59$ ✓

Verificación: $df_T = df_B + df_W$ . Siempre se verifica $3 + 56 = 59$ . Si no cierra, hay error de cálculo.

Fuente. OpenStax — Statistics §13.2 — CC-BY 4.0.

Example— 2· Calcular F y decidir (aplicacion)

Problema: Tres grupos con $n_1 = n_2 = n_3 = 10$ . $SSB = 60$ y $SSW = 135$ . Calcule $F$ y decida a $\alpha = 0{,}05$ (crítico $F_{2,\, 27} \approx 3{,}35$ ).

Estrategia: Calcular $MS_B = SSB/df_B$ y $MS_W = SSW/df_W$ , luego $F = MS_B/MS_W$ .

Resolución:

$k = 3$ , $N = 30$ . $df_B = 2$ , $df_W = 27$ .
$MS_B = 60/2 = 30$ .
$MS_W = 135/27 = 5$ .
$F = 30/5 = 6{,}0$ .
$6{,}0 > 3{,}35$ — rechaza $H_0$ . Evidencia de que al menos una media difiere.

Verificación: $SST = 60 + 135 = 195$ . $\eta^2 = 60/195 \approx 0{,}31$ — efecto grande. Tiene sentido con $F$ alto.

Fuente. OpenStax — Statistics §13.3 — CC-BY 4.0.

Example— 3· Calcular SSB a partir de las medias de los grupos (intermediario)

Problema: Cuatro grupos con $n = 20$ cada uno. Medias: $\bar{Y}_1 = 8$ , $\bar{Y}_2 = 10$ , $\bar{Y}_3 = 12$ , $\bar{Y}_4 = 10$ . Calcule $SSB$ .

Estrategia: Calcular la gran media $\bar{Y}$ y usar $SSB = \sum_i n_i(\bar{Y}_i - \bar{Y})^2$ .

Resolución:

Gran media: $\bar{Y} = (8 + 10 + 12 + 10)/4 = 40/4 = 10$ (grupos balanceados: media de las medias).
Desvíos al cuadrado ponderados:
- Grupo 1: $20 \cdot (8 - 10)^2 = 20 \cdot 4 = 80$
- Grupo 2: $20 \cdot (10 - 10)^2 = 0$
- Grupo 3: $20 \cdot (12 - 10)^2 = 20 \cdot 4 = 80$
- Grupo 4: $20 \cdot (10 - 10)^2 = 0$
$SSB = 80 + 0 + 80 + 0 = 160$ .

Verificación: Los grupos 2 y 4 tienen medias iguales a la gran media, contribuyendo cero a SSB. Los grupos 1 y 3, simétricos, contribuyen igualmente. Tiene sentido estructural.

Fuente. OpenIntro Statistics §7.5 — CC-BY-SA 3.0.

Example— 4· Verificar supuestos y decidir sobre prueba alternativa (intermediario)

Problema: Un investigador tiene 3 grupos con $n = 8$ cada uno. Las desviaciones estándar son $s_1 = 3$ , $s_2 = 3{,}2$ , $s_3 = 9{,}5$ . El Shapiro-Wilk en uno de los grupos da $p = 0{,}012$ . ¿Qué prueba usar?

Estrategia: Verificar los dos supuestos críticos: normalidad y homocedasticidad. Si ambos o uno de ellos falla seriamente con $n$ pequeño, elegir alternativa.

Resolución:

Normalidad: Shapiro-Wilk $p = 0{,}012 < 0{,}05$ — evidencia de no-normalidad. Con $n = 8$ , el TLC no ayuda.
Homocedasticidad: razón de varianzas $s_3^2/s_1^2 = 9{,}5^2/3^2 = 90{,}25/9 \approx 10$ — muy por encima del límite tolerable de 4:1.
Decisión: Dos supuestos violados con $n$ pequeño. El ANOVA paramétrico no es adecuado.
Alternativa: Kruskal-Wallis — prueba no-paramétrica análoga al ANOVA one-way, basada en rankings. No asume normalidad ni homocedasticidad.

Verificación: Si solo la homocedasticidad fallara (normalidad ok), Welch's ANOVA sería suficiente. Con no-normalidad adicional y $n$ pequeño, la no-paramétrica es la opción correcta.

Fuente. OpenIntro Statistics §7.5 — CC-BY-SA 3.0.

Example— 5· Análisis completo: tres marcas de baterías (modelaje real)

Problema: Un ingeniero de calidad prueba la duración (en horas) de tres marcas de batería AA. Cada marca se prueba en 12 aparatos idénticos. Medias: marca P = 18,5 h, marca Q = 22,0 h, marca R = 19,8 h. $SSB = 183{,}6$ y $SSW = 396{,}0$ . Conduzca el ANOVA completo a $\alpha = 0{,}05$ e interprete.

Estrategia: Calcular gl, MS, F; comparar con crítico; si rechaza, identificar cuál marca difiere usando las medias.

Resolución:

$k = 3$ , $n_i = 12$ , $N = 36$ . $df_B = 2$ , $df_W = 33$ .
$MS_B = 183{,}6 / 2 = 91{,}8$ .
$MS_W = 396{,}0 / 33 = 12{,}0$ .
$F = 91{,}8 / 12{,}0 = 7{,}65$ .
$F_{0{,}05;\, 2,\, 33} \approx 3{,}28$ (interpolación de tabla). $7{,}65 > 3{,}28$ — rechaza $H_0$ .
$\eta^2 = 183{,}6 / (183{,}6 + 396{,}0) = 183{,}6 / 579{,}6 \approx 0{,}317$ — efecto grande.
Post-hoc (inspección de medias): La marca Q tiene media 22,0 h, claramente por encima de las demás. Un análisis formal de Tukey HSD confirmaría cuál(es) diferencias son significativas.

Verificación: Reporte formal: $F(2, 33) = 7{,}65$ , $p < 0{,}01$ , $\eta^2 = 0{,}32$ . La marca Q presenta duración significativamente mayor que P; la diferencia entre Q y R requiere post-hoc formal.

Fuente. Navarro — Learning Statistics with R cap. 14 — CC-BY-SA 4.0.

Exercise list

42 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 17Understanding 10Modeling 5Challenge 6Proof 4

Ex. 107.1Application
Un experimento compara 3 grupos con 10 observaciones cada uno. Determine $df_B$ y $df_W$ .
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Ex. 107.2ApplicationAnswer key
Un investigador usa 5 grupos con 10 participantes cada uno. Determine $df_B$ y $df_W$ .
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Ex. 107.3Application
En un experimento con 3 grupos, $SSB = 40$ ( $df_B = 2$ ) y $SSW = 150$ ( $df_W = 30$ ). Calcule $MS_B$ y $MS_W$ .
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Ex. 107.4ApplicationAnswer key
A partir de los valores del ejercicio 107.3, calcule la estadística $F$ .
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Ex. 107.5Application
El valor $F = 4{,}0$ con $df = (2, 30)$ y $\alpha = 0{,}05$ (crítico $\approx 3{,}32$ ). ¿Cuál es la conclusión correcta?
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Ex. 107.6Application
$SST = 200$ y $SSB = 80$ . Calcule $\eta^2$ y clasifique el tamaño del efecto.
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Ex. 107.7Application
Usando los datos del ejercicio 107.6 ( $SST = 200$ , $SSB = 80$ ), determine $SSW$ .
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Ex. 107.8ApplicationAnswer key
¿Por qué, bajo $H_0$ , se espera que $F \approx 1$ ? Explique en términos de lo que $MS_B$ y $MS_W$ estiman.
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Ex. 107.9Application
Tres grupos con $n = 15$ cada uno. Medias de los grupos: 9, 11 y 13. Calcule la gran media $\bar{Y}$ .
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Ex. 107.10Application
Usando los datos del ejercicio 107.9, calcule $SSB$ .
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Ex. 107.11Understanding
¿Por qué no hacer múltiples pruebas $t$ para comparar 4 grupos? Calcule la probabilidad de al menos un falso positivo con $\alpha = 0{,}05$ .
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Ex. 107.12Understanding
Liste los tres supuestos del ANOVA one-way. Con $n = 8$ por grupo y desviaciones estándar $s_1 = 3$ , $s_2 = 3$ , $s_3 = 9$ , ¿cuál supuesto es más sospechoso?
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Ex. 107.13Understanding
Un estudio tiene $k = 3$ grupos con $n = 8$ . Shapiro-Wilk rechaza normalidad en un grupo ( $p = 0{,}008$ ). Razón de varianzas: 9:1. ¿Qué prueba usar?
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Ex. 107.14UnderstandingAnswer key
¿Para qué sirve la prueba de Levene antes del ANOVA? ¿Qué conclusión sacar de $p = 0{,}38$ ?
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Ex. 107.15Understanding
El ANOVA rechaza $H_0$ en un experimento con 5 grupos. ¿Qué significa eso? ¿Qué hacer a continuación?
Solve online
Ex. 107.16UnderstandingAnswer key
Compare Tukey HSD y Bonferroni: ¿cuál es más conservador? ¿Cuándo usar cada uno?
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Ex. 107.17Understanding
Para $k = 2$ grupos, ¿cómo se relacionan $F$ del ANOVA y $t$ de la prueba de dos muestras? ¿Coinciden los p-valores?
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Ex. 107.18UnderstandingAnswer key
Describa la forma de la distribución $F$ con grados de libertad pequeños. ¿Por qué $F$ nunca es negativo?
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Ex. 107.19Understanding
Convierta $\eta^2 = 0{,}09$ a Cohen's $f$ y clasifique el tamaño del efecto.
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Ex. 107.20Understanding
¿Por qué $E[MS_W] = \sigma^2$ incluso bajo $H_1$ , pero $E[MS_B] > \sigma^2$ bajo $H_1$ ?
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Ex. 107.21Application
Tres grupos con $n = 8$ cada uno. Medias: 12, 15 y 18. Calcule $SSB$ y $MS_B$ .
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Ex. 107.22ApplicationAnswer key
Continuación del ejercicio 107.21: $SSW = 336$ y $df_W = 21$ . Calcule $F$ y decida a $\alpha = 0{,}05$ (crítico $\approx 3{,}47$ ).
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Ex. 107.23Application
Usando los datos de los ejercicios 107.21–107.22 ( $SSB = 144$ , $SSW = 336$ ), calcule $\eta^2$ .
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Ex. 107.24Application
4 grupos con $n = 12$ cada uno. $SSB = 120$ y $SSW = 440$ . Conduzca el ANOVA completo a $\alpha = 0{,}05$ (crítico $F_{3,44} \approx 2{,}82$ ) y calcule $\eta^2$ .
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Ex. 107.25Application
Complete la tabla ANOVA: $MS_B = 12$ , $MS_W = 2$ . Calcule $F$ .
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Ex. 107.26ModelingAnswer key
Un profesor quiere comparar tres métodos de enseñanza (A, B, C) con 20 alumnos cada uno, evaluados por prueba. Formalice el modelo ANOVA, las hipótesis y los supuestos necesarios.
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Ex. 107.27Modeling
Un estudio clínico compara 4 dietas para pérdida de peso con 40 participantes cada uno. Describa cómo verificar los supuestos del ANOVA antes de conducir la prueba.
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Ex. 107.28Modeling
Un investigador compara 3 algoritmos de ML probados en los mismos 30 datasets. ¿Es adecuado usar ANOVA one-way? Justifique.
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Ex. 107.29Modeling
Cinco tiendas tienen ventas semanales monitoreadas por 30 semanas. Usted quiere usar ANOVA. Esboce: $df_B$ , $df_W$ , y si $n = 30$ es suficiente para detectar efecto medio (Cohen's $f = 0{,}25$ , poder 80%).
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Ex. 107.30Modeling
Un laboratorio de química compara cuatro concentraciones de catalizador (0, 5, 10, 20 g/L) en el rendimiento de una reacción, con 10 replicaciones cada una. Justifique el uso de ANOVA one-way y liste los supuestos a verificar.
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Ex. 107.31Application
4 dietas, 25 personas cada una. Pérdidas de peso (kg) — medias por dieta: 3, 4, 5 y 4,5. Calcule $SSB$ .
Solve online
Ex. 107.32ApplicationAnswer key
$SST = 300$ y $\eta^2 = 0{,}5$ . Determine $SSB$ y $SSW$ .
Solve online
Ex. 107.33ChallengeAnswer key
Derive algebraicamente la descomposición $SST = SSB + SSW$ . Muestre explícitamente por qué los términos cruzados se cancelan.
Solve online
Ex. 107.34Challenge
Muestre que, para $k = 2$ grupos balanceados, la estadística $F$ del ANOVA es igual al cuadrado de la estadística $t$ de la prueba de dos muestras con varianza pooled.
Solve online
Ex. 107.35Challenge
Argumente (sin demostración completa) por qué, bajo $H_0$ , $SSB/\sigma^2 \sim \chi^2_{k-1}$ y $SSW/\sigma^2 \sim \chi^2_{N-k}$ son independientes. ¿Cómo esto implica que $F \sim F_{k-1, N-k}$ ?
Solve online
Ex. 107.36Challenge
¿Qué pasa con el ANOVA cuando los grupos tienen tamaños muy diferentes (desbalance extremo)? ¿La prueba sigue siendo válida?
Solve online
Ex. 107.37Challenge
Para detectar efecto medio ( $f = 0{,}25$ ) entre 4 grupos a $\alpha = 0{,}05$ con poder 80%, ¿cuántos sujetos por grupo son necesarios (aproximadamente)? ¿Con $n = 25$ por grupo, el estudio está adecuadamente dimensionado?
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Ex. 107.38Challenge
¿Qué es el factor de Bayes $BF_{10}$ en el ANOVA bayesiano? ¿Cómo interpretar $BF_{10} = 15$ versus $BF_{10} = 0{,}08$ ?
Solve online
Ex. 107.39Proof
Demuestre que $SST = SSB + SSW$ , mostrando que los términos cruzados se cancelan al sumar sobre $j$ para cada $i$ fijo.
Solve online
Ex. 107.40Proof
Muestre que $E[MS_B] = \sigma^2$ bajo $H_0$ (para grupos balanceados, $n_i = n$ ).
Solve online
Ex. 107.41Proof
Derive la estadística de la prueba de Kruskal-Wallis y explique por qué es el análogo no-paramétrico del ANOVA one-way.
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Ex. 107.42Proof
Derive la estadística $F^*$ de Welch's ANOVA para varianzas desiguales. Explique cómo se ajustan los grados de libertad del denominador.
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Fuentes

OpenStax — Statistics — Illowsky, Dean · CC-BY 4.0 · §13.1–13.4. Fuente primaria de esta lección. Definición del modelo, estadística F, tabla ANOVA, ejercicios aplicados.
OpenIntro Statistics (4.ª ed.) — Diez, Çetinkaya-Rundel, Barr · CC-BY-SA 3.0 · §7.5. Supuestos del modelo, homocedasticidad, post-hoc de Tukey y Bonferroni.
Learning Statistics with R — Navarro · CC-BY-SA 4.0 · cap. 14. Intuición geométrica para F, tamaño de efecto $\eta^2$ , Welch's ANOVA, ANOVA bayesiano.