Lección 108 — Prueba chi-cuadrado: bondad de ajuste e independencia

Un dado de seis caras es lanzado 60 veces. ¿Cuál es el número de grados de libertad en la prueba de bondad de ajuste a la distribución uniforme?

Para el dado del ejercicio anterior lanzado 60 veces, ¿cuál es la frecuencia esperada por cara?

Un dado es lanzado 60 veces: se observan 12, 8, 11, 9, 13, 7 para las caras 1 a 6. Calcula $\chi^2$ y concluye al 5%.

Calcula los grados de libertad para la prueba de independencia en una tabla de contingencia $3 \times 4$.

En una tabla de contingencia con $R_1 = 80$, $C_1 = 120$, $n = 300$, calcula $E_{11}$.

En una prueba de independencia, se obtuvo $\chi^2 = 8$ con $df = 2$. El valor crítico al 5% es 5,99. ¿Cuál es la conclusión?

Calcula el V de Cramér: $\chi^2 = 20$, $n = 200$, tabla $3 \times 4$ (luego $\min(r-1,c-1) = 2$).

¿En qué situaciones debe aplicarse la corrección de Yates en la prueba chi-cuadrado?

Un investigador tiene $E_i = 3$ en dos de las cinco celdas de una tabla. ¿Es apropiada la prueba chi-cuadrado? Justifica.

Se observa $O = (45, 35, 20)$ en $n = 100$ observaciones con proporciones esperadas $(0,5;\; 0,3;\; 0,2)$. Calcula $\chi^2$.

Para el ejercicio anterior (3 categorías, distribución completamente especificada), ¿cuál es el número de grados de libertad?

Un estudio mide presión arterial (alta/normal) en el mismo grupo de pacientes antes y después de un programa de ejercicios. ¿Por qué la prueba chi-cuadrado de independencia no es apropiada?

¿Cuál es el valor crítico $\chi^2_{0,05;\,1}$ (chi-cuadrado con 1 grado de libertad al nivel 5%)?

Calcula las frecuencias esperadas para la tabla $2 \times 2$ con celdas $a = 80$, $b = 20$, $c = 60$, $d = 40$.

Con los esperados del ejercicio anterior, calcula $\chi^2$ y concluye al 5%.

¿Por qué $df = 1$ en toda tabla de contingencia $2 \times 2$? Explica geométrica o algebraicamente.

¿Cuáles son la media y la varianza de $\chi^2_k$? Para $k = 20$, ¿es la distribución aproximadamente simétrica?

En prueba de bondad de ajuste con $k$ categorías, ¿cómo cambian los grados de libertad cuando estimamos $r$ parámetros de la distribución a partir de los propios datos?

Muestra que el estadístico chi-cuadrado $\chi^2 = \sum (O_i - E_i)^2 / E_i$ es siempre no-negativo.

¿La prueba chi-cuadrado de bondad de ajuste es unilateral (cola derecha) o bilateral? ¿Por qué?

$O = (10, 20, 30, 40)$ en $n = 100$ con distribución uniforme esperada. Calcula $\chi^2$ y concluye al 1%.

¿Cuál es la diferencia conceptual entre prueba de homogeneidad y prueba de independencia? ¿Cambia la fórmula de $\chi^2$?

$\chi^2 = 14,5$ con $df = 5$. ¿Cuál es la conclusión al 5% y al 1%? (Críticos: 11,07 y 15,09 respectivamente.)

¿Qué significaría obtener $\chi^2 = 0$ en una prueba de bondad de ajuste? ¿Es posible en datos reales?

¿Por qué muestras muy grandes hacen que el $\chi^2$ sea una medida problemática? ¿Qué alternativa usar?

Describe la forma de la curva chi-cuadrado para $df$ pequeño (ej. $df = 2$) vs. $df$ grande (ej. $df = 20$). ¿Cómo se relaciona esto con el origen de la distribución como suma de cuadrados?

¿Cuál de las fórmulas abajo es el estadístico chi-cuadrado de Pearson?

Explica por qué la regla de Cochran ($E_i \geq 5$) es necesaria para la validez de la prueba chi-cuadrado.

Cruzamiento dihíbrido de guisantes predice fenotipos en la proporción 9:3:3:1. En 160 descendientes se observan 95, 30, 27, 8. Prueba bondad de ajuste al 5%.

En encuesta con 400 estudiantes universitarios (200 hombres, 200 mujeres), se obtuvo la siguiente tabulación de opinión sobre cuotas (Favorable/Neutral/Contrario): hombres 70/60/70, mujeres 110/50/40. Prueba independencia al 5%.

Una muestra de 200 M&M's de un paquete presenta: 30 rojos, 35 naranjas, 22 amarillos, 40 verdes, 55 azules, 18 marrones. Según el fabricante, las proporciones son 13%, 20%, 14%, 16%, 24%, 13%. Prueba bondad de ajuste al 5%.

Test A/B/C en landing page: 200 visitantes por variación. Conversiones: A = 24, B = 30, C = 40. Prueba homogeneidad de tasas de conversión al 5%.

Cuatro máquinas producen defectos: 30, 40, 25, 35 defectos respectivamente (total 130). Prueba si la tasa de defectos es uniforme entre máquinas al nivel 5%.

Ensayo clínico con 50 pacientes (25 por grupo): vacuna resultó en 18 curas, placebo en 12 curas. Monta la tabla $2 \times 2$ y aplica la prueba chi-cuadrado con corrección de Yates al 5%.

¿Los datos de accidentes en carreteras del DNIT siguen distribución Poisson? Describe el procedimiento completo de la prueba de bondad de ajuste, incluyendo cómo tratar el parámetro desconocido.

¿Cuál de las condiciones abajo es necesaria para la validez de la prueba chi-cuadrado de independencia?

En un estudio antes-después, los mismos 80 pacientes se clasifican como hipertensos o normales antes y después de intervención. ¿Por qué usar McNemar en lugar del chi-cuadrado estándar?

Una encuesta con 500 brasileños registra región (Norte, Sudeste, Sur) y preferencia por pago (al contado vs. a plazos). ¿Cuál es la prueba más apropiada para verificar si preferencia y región son independientes?

Un servicio de urgencias registró 210 atendimientos en una semana (30 por día esperado). Se observó: Dom=18, Lun=40, Mar=28, Mié=25, Jue=29, Vie=42, Sab=28. ¿Es uniforme el flujo entre días? Prueba al 5%.

Encuesta electoral en 3 estados brasileños (SP, RJ, MG) con 600 electores (200 por estado) registra preferencia por candidato (A, B, C). Datos: SP=(80,70,50), RJ=(60,90,50), MG=(70,60,70). Prueba independencia entre estado y candidato al 5% y calcula V de Cramér.

Muestra que para $k = 2$ categorías, $\chi^2 = Z^2$ donde $Z$ es el estadístico $z$ de la prueba bilateral para proporción. Esto explica por qué $\chi^2_{0,05;\,1} = (1,96)^2 \approx 3,84$.

Demuestra la fórmula $df = (r-1)(c-1)$ para la prueba de independencia en tabla $r \times c$, explicando cuántas restricciones independientes los marginales imponen al vector de conteos.