Lección 110 — Consolidación Trim 11: Inferencia Estadística

$n = 64$, $\bar x = 50$, $\sigma = 8$ (conocida). Construye el IC 95% para $\mu$.

Con los datos del ejercicio anterior ($\bar x = 50$, $s = 8$, $n = 64$), prueba $H_0: \mu = 48$ vs $H_1: \mu \neq 48$ al nivel 5%. Calcula $T$ y decide.

Dos muestras independientes: $\bar x_1 = 100$, $s_1 = 10$, $n_1 = 50$; $\bar x_2 = 95$, $s_2 = 12$, $n_2 = 60$. Ejecuta la prueba Welch $t$ bilateral al nivel 5%.

Tres grupos con $n_i = 20$ plantas cada, medias $\bar X_1 = 10$, $\bar X_2 = 12$, $\bar X_3 = 14$. Asumiendo $\sigma^2 = 4$ (varianza intra-grupos), calcula $F$ de la ANOVA y decide al nivel 5%.

Modelo ajustado: $\hat Y = 5 + 2X$. ¿Cuál es la predicción puntual para $X = 10$?

$R^2 = 0{,}8$, $n = 50$, $p = 4$ predictores. Calcula $R^2_{\text{adj}}$.

Una tabla de contingencia $2 \times 3$ produjo $\chi^2 = 8$. ¿Cuántos grados de libertad? ¿Hay asociación al nivel 5%?

Prior $\theta \sim \text{Beta}(2, 2)$. Se observan $X = 8$ éxitos en $n = 10$ ensayos. ¿Cuál es la distribución posterior de $\theta$?

Con la posterior $\text{Beta}(10, 4)$ del ejercicio anterior, calcula la media posterior y el MAP (moda de la distribución posterior).

Localiza en la tabla de la distribución normal estándar: ¿cuál es $z_{0,025}$? (Resp: $1{,}960$.)

Localiza en la tabla $t$: $t_{0,025;\,19}$. (Resp: $2{,}093$.)

Localiza $F_{0,05;\,2,\,27}$ en la tabla F. (Resp: ${\approx}\,3{,}35$.)

Localiza $\chi^2_{0,05;\,4}$. (Resp: $9{,}488$.)

¿Cuál prueba es apropiada para comparar el salario medio de hombres y mujeres en una empresa, con muestras independientes y varianzas desconocidas?

Encuesta con 100 personas registra género (M/F) y partido preferido (A/B/C). ¿Cuál prueba verifica asociación entre las variables?

Un estudio prueba 4 dosis de un medicamento (dosis baja, media, alta, placebo) en la pérdida de peso (kg) en 20 pacientes por grupo. ¿Cuál es el método de análisis?

Se mide el peso de 20 personas antes y después de una dieta de 3 meses. Los datos son pareados. ¿Cuál es la prueba correcta?

Una estadística $Z = 2{,}1$ fue obtenida en una prueba bilateral. Calcula el p-valor y decide al nivel $\alpha = 5\%$.

Para un IC 95% con margen de error $E = 2$ y $\sigma = 10$, ¿cuál es el tamaño mínimo de muestra?

Cohen's $d = 0{,}5$. ¿Cuál es el tamaño del efecto según la convención de Cohen?

Una tabla de contingencia produjo Cramér's $V = 0{,}25$. Clasifica el tamaño del efecto.

Una ANOVA produjo $\eta^2 = 0{,}10$. ¿Cuál es el tamaño del efecto?

$BF_{10} = 5$. ¿Qué fuerza de evidencia a favor de $H_1$ representa esto, por la escala de Jeffreys?

En una oración cada: ¿cuál es la diferencia de interpretación entre un IC frecuentista (95%) y un IC creíble bayesiano (95%)?

Distingue en una oración: error tipo I vs error tipo II en una prueba de hipótesis.

Distingue: significancia estadística vs significancia práctica. ¿Por qué un resultado puede ser estadísticamente significativo pero prácticamente irrelevante?

Distingue: asociación estadística vs causalidad. ¿Por qué la regresión lineal mide asociación, no causa?

Distingue: datos pareados vs muestras independientes. Da un ejemplo de cada.

Distingue: $R^2$ vs $R^2_{\text{adj}}$ en regresión múltiple. ¿Por qué el segundo es más confiable para comparar modelos con número diferente de predictores?

Distingue: distribución prior vs distribución posterior en la inferencia bayesiana.

A/B testing: versión A obtuvo 80 conversiones en 1000 visitantes; versión B obtuvo 110/1000. Aplica la prueba z para proporciones (frecuentista) y estima $P(\theta_B > \theta_A)$ bayesianamente con prior $\text{Beta}(1,1)$.

Ensayo clínico: droga reduce presión. Para $n = 64$ pacientes, la diferencia pareada (antes$-$después) tiene $\bar D = 7$ mmHg y $s_D = 5$ mmHg. Haz la prueba $t$ pareada (unilateral: $H_1: \mu_D > 0$) y construye el IC 95% para la reducción media.

Regresión de precio de inmueble: modelo con solo $m^2$ tiene $R^2 = 0{,}70$ ($n = 200$). Al añadir número de habitaciones, $R^2 = 0{,}78$. Calcula $R^2_{\text{adj}}$ para cada modelo y decide si el predictor extra está justificado.

Cinco dietas, 30 personas por grupo. Esboza el protocolo de análisis completo: verificación de supuestos, ANOVA, post-hoc y qué reportar.

Encuesta electoral: 4 regiones (Norte, Nordeste, Sudeste, Sur) $\times$ 3 candidatos. Tabla de contingencia con $N = 400$. Calcula los grados de libertad, ejecuta el $\chi^2$, Cramér's $V$, e identifica las celdas con mayor residuo estandarizado.

Justifica por qué $p = 0{,}06$ no constituye evidencia de que $H_0$ es verdadera.

Demuestra que la regresión lineal simple con una variable dummy binaria (0/1 indicando grupo) produce exactamente el mismo resultado que la prueba $t$ de dos muestras independientes (varianzas iguales).

Demuestra que, cuando la ANOVA tiene solo $k = 2$ grupos, la estadística $F$ es igual al cuadrado de la estadística $T$ de la prueba $t$ bilateral. Explicita los grados de libertad.

Muestra que el estimador MAP con prior uniforme es idénticamente igual al estimador de máxima verosimilitud (MLE). Parte de la definición de MAP.

Describe, en pseudocódigo o lista estructurada, un pipeline completo de análisis A/B testing para una tasa de conversión de e-commerce: desde el análisis de poder (efecto mínimo detectable de 2 p.p., $\alpha = 5\%$, poder 80%) hasta el reporte final con todos los elementos que un revisor estadístico exigiría.

Compara en texto detallado (al menos 200 palabras) cuándo preferir enfoque frecuentista vs bayesiano en A/B testing online. Considera: interpretabilidad, toma de decisión secuencial, incorporación de priors, y garantías de error.

Demuestra por integración (o por identificación del núcleo) que si $\theta \sim \text{Beta}(\alpha, \beta)$ y $X \mid \theta \sim \text{Bin}(n, \theta)$, entonces $\theta \mid X \sim \text{Beta}(\alpha + X,\; \beta + n - X)$.