Lección 112 — Transformaciones lineales

$T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$, $T(x, y) = (2x,\, 3y)$. Verifique que $T$ es lineal y encuentre su matriz.

$T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$, $T(x, y) = (x + 1,\, y)$. ¿Por qué $T$ no es transformación lineal?

$T: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $T(x) = x^2$. Dé un contraejemplo concreto para mostrar que $T$ no es lineal.

$T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$, $T(x, y) = (y,\, x)$. Muestre que es lineal y encuentre su matriz $2 \times 2$.

$T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$, $T(x, y, z) = (x + y,\, y + z)$. Muestre que es lineal y encuentre la matriz $2 \times 3$.

$D: \mathcal{P}_3 \to \mathcal{P}_3$, $D(p) = p'$. Encuentre la matriz $4 \times 4$ en la base $\{1, x, x^2, x^3\}$. ¿Qué es especial en esa matriz?

$I: \mathcal{P}_2 \to \mathcal{P}_3$, $I(p)(x) = \int_0^x p(t)\,dt$. Muestre que es lineal y encuentre la matriz $4 \times 3$ en las bases canónicas.

$T: \mathcal{M}_2 \to \mathcal{M}_2$, $T(A) = A^\top$. Muestre que es lineal y escriba la matriz $4 \times 4$ en la base canónica de $\mathcal{M}_2$.

Fije $B \in \mathcal{M}_n$. Defina $T: \mathcal{M}_n \to \mathcal{M}_n$ por $T(A) = AB$. Muestre que $T$ es lineal.

$T: \mathcal{M}_2 \to \mathbb{R}$, $T(A) = \det A$. ¿$T$ es transformación lineal?

$T: \mathcal{P}_2 \to \mathcal{P}_2$, $T(p)(x) = p(2x)$. Muestre que es lineal y encuentre la matriz diagonal en la base $\{1, x, x^2\}$.

$T: V \to W$, $T(v) = 0$ para todo $v \in V$. Muestre que $T$ es lineal. ¿Cuál es su matriz en cualquier base?

Encuentre la matriz $2 \times 2$ de la rotación de 45° en el plano. Verifique que su determinante es 1.

Encuentre la matriz $2 \times 2$ de la reflexión por la recta $y = x$. Verifique que $[T]^2 = I$.

Encuentre la matriz $2 \times 2$ de la proyección ortogonal en el eje $y$. Verifique que $P^2 = P$ (idempotencia).

Encuentre la matriz $2 \times 2$ de la proyección ortogonal en la recta $y = x$. Verifique idempotencia.

Encuentre la matriz de la escala no uniforme $(x,y) \mapsto (3x,\, 2y)$. ¿Cuál es el significado geométrico del determinante?

Encuentre la matriz del cisallamiento horizontal de factor 2: $T(x, y) = (x + 2y,\, y)$.

Composición: rotación de 30° seguida de escala por 2. Calcule la matriz producto $[E_2][R_{30}]$.

Composición: reflexión por la recta $y = x$ y luego rotación de 90°. Calcule la matriz producto e identifique la transformación resultante.

En $\mathbb{R}^3$, encuentre la matriz $3 \times 3$ de la rotación de 90° alrededor del eje $z$ (el eje $z$ queda fijo).

En $\mathbb{R}^3$, encuentre la matriz $3 \times 3$ de la proyección ortogonal en el plano $xy$.

$T: \mathcal{P}_2 \to \mathcal{P}_2$, $T(p) = p' + p$. Encuentre la matriz $3 \times 3$ en la base canónica.

$T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$, $T(v) = v \times (1,1,1)$ (producto vectorial con $(1,1,1)$ fijo). Encuentre la matriz $3 \times 3$.

$T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$, $T(x,y) = (x, -y)$ (reflexión en el eje $x$). Encuentre $[T]$ en la base canónica y en la base $\mathcal{B}' = \{(1,1),\,(1,-1)\}$. Confirme que son semejantes.

Muestre que las matrices semejantes tienen el mismo determinante y el mismo trazo.

Muestre que si $A \sim B$ (semejantes), entonces $A^k \sim B^k$ para todo $k \geq 1$. Concluya: la nilpotencia es invariante por semejanza.

En computación gráfica, la traslación por $(a, b)$ en $\mathbb{R}^2$ no es transformación lineal. ¿Cómo las coordenadas homogéneas permiten representarla como transformación lineal en $\mathbb{R}^3$? Escriba la matriz $3 \times 3$.

Portafolio con $n$ activos, pesos $w \in \mathbb{R}^n$, retornos esperados $\mu \in \mathbb{R}^n$. ¿El retorno esperado $r_p = w^\top \mu$ es transformación lineal en $w$? ¿Y la varianza $\sigma_p^2 = w^\top \Sigma w$?

Escriba la matriz Toeplitz $3 \times 5$ que realiza convolución lineal 1D con kernel $k = (1, 2, 1)$ sobre una señal de largo 5 (salida válida, largo 3).

En aprendizaje de máquina, una capa densa es $y = Wx + b$. ¿Cuál parte es transformación lineal? ¿Por qué adicionar $b$ no hace la capa lineal? ¿De dónde viene la no-linealidad de una red neuronal?

Sistema LTI: $\dot{x} = Ax$, solución $x(t) = e^{At}x_0$. Muestre que la aplicación $x_0 \mapsto x(t)$ es transformación lineal. ¿Qué es la matriz $e^{At}$?

El operador de derivación $D: \mathcal{P}_n \to \mathcal{P}_n$ tiene matriz nilpotente. Explique por qué $D^{n+1} = 0$, y qué significa esto en términos de polinomios.

¿Por qué $\dim \mathcal{L}(V, W) = (\dim V)(\dim W)$? ¿Qué dice esto sobre el espacio de todas las matrices $m \times n$?

$T(0) = 0$ es condición necesaria para linealidad. Dé un ejemplo de $T$ con $T(0) = 0$ que no sea lineal. ¿Por qué $T(0) = 0$ no es suficiente?

Si $A = [T]_{\mathcal{B}}$ representa $T$ en $\mathcal{B}$, explique el significado geométrico de la fórmula $[T]_{\mathcal{B}'} = P^{-1}AP$. ¿Qué hace cada factor?

Explique, sin calcular, por qué el producto matricial $[T][S]$ es exactamente la composición $T \circ S$. ¿Cuál es la relación entre la definición de producto matricial y la definición de composición?

Muestre que $\mathcal{L}(V, W)$ (conjunto de todas las transformaciones lineales de $V$ en $W$) es él mismo un espacio vectorial, con las operaciones $(T_1 + T_2)(v) = T_1(v) + T_2(v)$ y $(aT)(v) = a\,T(v)$.

Encuentre $T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ con $T^2 = -I$ (el negativo de la identidad). Se sugiere rotación de 90°. ¿Cuál es la conexión con los números complejos?

Demuestre: toda transformación lineal $T: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tiene la forma $T(x) = ax$ para algún $a \in \mathbb{R}$.

Demostración. Pruebe que la composición de transformaciones lineales es lineal. Sea $S: U \to V$ y $T: V \to W$ ambas lineales. Muestre que $T \circ S: U \to W$ es lineal.

Demostración. Pruebe por inducción que toda transformación lineal preserva combinaciones lineales arbitrarias: $T\!\left(\sum c_i v_i\right) = \sum c_i T(v_i)$.

Demostración. Pruebe: $T$ lineal es inyectiva $\iff \ker T = \{0\}$.

Demostración. Pruebe el teorema de extensión lineal: dados espacios vectoriales $V$ (dim $n$) y $W$, y vectores $w_1, \ldots, w_n \in W$ arbitrarios, existe única transformación lineal $T: V \to W$ con $T(v_i) = w_i$ para $i = 1, \ldots, n$.