Lección 113 — Núcleo e imagen

Determina el núcleo de $T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$, $T(x, y) = (x + y, \; x + y)$.

Determina la imagen de $T(x,y) = (x+y, x+y)$ y su dimensión.

Verifica el teorema rango-nulidad para $T(x,y) = (x+y,\; x+y)$ usando los resultados de los dos ejercicios anteriores.

Para $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$, determina núcleo, imagen, rango y nulidad.

Para $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$, determina núcleo e imagen.

Determina el rango de $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$. (Resp: 2.)

Determina el núcleo del operador derivación $D: \mathcal{P}_3 \to \mathcal{P}_3$, $D(p) = p'$. (Resp: polinomios constantes.)

Determina la imagen de $D: \mathcal{P}_3 \to \mathcal{P}_3$, $D(p) = p'$. (Resp: $\mathcal{P}_2$.)

Verifica el teorema rango-nulidad para $D: \mathcal{P}_3 \to \mathcal{P}_3$.

Para $T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$, $T(x,y,z) = (x-y,\; y-z)$, determina núcleo e imagen.

Determina el rango de la matriz de Vandermonde $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 9 \end{pmatrix}$.

Determina el núcleo y la imagen de la proyección ortogonal de $\mathbb{R}^2$ sobre la recta $y = x$.

$A$ es una matriz $3 \times 5$ con rango 3. ¿Cuál es la dimensión del núcleo? (Resp: 2.)

Sistema $4 \times 4$ con $\det A = 0$. ¿Puede tener solución única?

Resuelve $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} x = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix}$ y describe la familia de soluciones.

Para $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$, ¿el vector $b = (1, 0)^T$ está en la imagen de $A$? Justifica.

Sistema $5 \times 3$ con más ecuaciones que incógnitas: ¿tiene más soluciones únicas o soluciones infinitas? Discute los casos.

Demuestra que si $Ax = b$ tiene solución particular $x_p$, entonces el conjunto completo de soluciones es $\{x_p + h : h \in \ker A\}$.

En $\mathbb{R}^4$, encuentra un vector $v$ que no pertenece a la imagen de $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$.

¿Cuándo $A^T A$ es invertible?

Demuestra: $A$ cuadrada $n \times n$ es invertible $\iff$ $\operatorname{rango}(A) = n$ $\iff$ $\ker A = \{0\}$.

Demuestra que el sistema $\begin{cases} x + y = 1 \\ 2x + 2y = 3 \end{cases}$ no tiene solución, verificando que $b = (1,3)^T \notin \operatorname{Im}(A)$.

Para $T: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3$ con $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$, determina rango, nulidad y clasifica la inyectividad y sobreyectividad de $T$.

En ML, regresión con 50 características y 5 muestras: $X$ es $5 \times 50$. ¿Cuál es el rango máximo de $X$? Discute la consecuencia para $X^T X$ y la solución de mínimos cuadrados.

En computación gráfica, la proyección perspectiva $\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ descarta la coordenada de profundidad. ¿Cuál es el núcleo? ¿Por qué esto está relacionado con el problema de z-fighting?

En control, el sistema $\dot{x} = Ax + Bu$ es controlable si y solo si la matriz de controlabilidad $\mathcal{C} = [B, AB, \ldots, A^{n-1}B]$ tiene rango $n$. Interpreta esto en términos de núcleo e imagen.

En finanzas, portafolio de activos perfectamente correlacionados lleva a matriz de covarianza de rango reducido. ¿Cuáles son las consecuencias prácticas para el análisis de riesgo?

Demuestra que autovectores correspondientes a autovalores distintos de $T: V \to V$ son linealmente independientes. (Pre-visualización de Lección 114.)

Demuestra: $\operatorname{rango}(A) = \operatorname{rango}(A^T)$.

Construye una matriz $A$ de tamaño $3 \times 3$ con rango exactamente 2 y un vector $b$ tal que $Ax = b$ tenga infinitas soluciones.

Demuestra que $\ker T$ es un subespacio del dominio $V$.

Demuestra que $\operatorname{Im}(T)$ es un subespacio del contradominio $W$.

Muestra que $\operatorname{rango}(AB) \leq \min(\operatorname{rango}(A), \operatorname{rango}(B))$.

Demuestra: $\operatorname{Col}(A) \perp \ker(A^T)$.