Lección 114 — Autovalores y autovectores

Calcula los autovalores y autovectores de $A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$.

Calcula los autovalores de $A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ y encuentra los autovectores correspondientes.

Calcula los autovalores de $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$.

Calcula los autovalores y autovectores de $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$.

Calcula los autovalores de $A = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$.

Calcula los autovalores y autovectores de $A = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$.

Analiza la diagonalizabilidad de $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$. Calcula multiplicidad algebraica y geométrica.

Calcula los autovalores de $A = \begin{pmatrix} 6 & -1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$.

Calcula los autovalores de $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$.

Calcula los autovalores de $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 4 \end{pmatrix}$.

Calcula los autovalores de $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ y determina si es diagonalizable.

Calcula los autovalores de $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$.

Si $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ tiene autovalores $1$ y $-1$, ¿cuáles son los autovalores de $A^{10}$? Calcula $A^{10}$.

Una matriz $A$ tiene autovalores $2$ y $3$. ¿Cuáles son los autovalores de $A^2 + I$?

Una matriz $3 \times 3$ tiene autovalores $1$, $2$, $4$. Calcula $\det A$ y $\operatorname{tr}(A)$.

Una matriz $2 \times 2$ tiene $\operatorname{tr}(A) = 5$ y $\det A = 6$. Calcula los autovalores.

Demuestra que si $\lambda$ es autovalor de $A$ invertible, entonces $1/\lambda$ es autovalor de $A^{-1}$.

Calcula los autovalores de la matriz de rotación $R_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ para $\theta \in (0, \pi)$.

Explica por qué una matriz con $\det A = 0$ necesariamente tiene $0$ como autovalor.

Muestra que $A$ y $A^T$ tienen el mismo polinomio característico (y por lo tanto los mismos autovalores).

Si $B = P^{-1}AP$ (matrices similares), ¿qué se puede concluir sobre los autovalores y autovectores de $A$ y $B$?

Si $A^2 = I$, ¿cuáles son los únicos autovalores posibles de $A$?

¿Cuáles son los autovalores de una proyección ortogonal $P$ (con $P^2 = P$)?

Demuestra que los autovectores de autovalores distintos son linealmente independientes (caso de dos autovectores).

Muestra que los autovalores reales de una matriz ortogonal $Q$ (con $Q^T Q = I$) satisfacen $|\lambda| = 1$.

Una cadena de Markov de dos regiones (Sudeste y Nordeste) tiene matriz de transición $P = \begin{pmatrix} 0{,}7 & 0{,}3 \\ 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix}$. Encuentra la distribución estacionaria vía autovector de $\lambda = 1$.

La secuencia de Fibonacci se genera por $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$. Calcula los autovalores y explica el crecimiento de la secuencia.

Para el sistema de control $\dot{x} = Ax$ con $A = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 0 & -3 \end{pmatrix}$: verifica la estabilidad analizando los autovalores.

Una matriz de Hessiana en punto crítico es $H = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -5 \end{pmatrix}$. Identifica los autovalores y clasifica el punto crítico (máximo/mínimo/silla).

Para el grafo camino de 3 nodos (1—2—3), monta el laplaciano $L = D - W$, calcula los autovalores e identifica el número de componentes conectadas.

Prueba que si $\lambda$ es autovalor de $A$ con autovector $\vec{v}$, entonces $\lambda + c$ es autovalor de $A + cI$ con el mismo autovector $\vec{v}$.

En finanzas, la matriz de covariancia de dos acciones idénticas con varianza $\sigma^2$ y correlación $\rho$ es $\Sigma = \sigma^2 \begin{pmatrix} 1 & \rho \\ \rho & 1 \end{pmatrix}$. Calcula los autovalores e interpreta.

Demuestra que si $\lambda$ es autovalor de $A$ con autovector $\vec{v}$, entonces $\lambda^k$ es autovalor de $A^k$ para todo entero positivo $k$.

Demuestra que los autovalores de una matriz idempotente ($A^2 = A$) son solo $0$ u $1$.

Construye una matriz $2 \times 2$ con autovalores $1$ y $-1$ tal que $(1, 1)$ sea autovector de $\lambda = 1$ y $(1, -1)$ sea autovector de $\lambda = -1$.

Demuestra que los autovectores de una matriz simétrica correspondientes a autovalores distintos son ortogonales.

Demuestra que una matriz triangular (superior o inferior) tiene sus autovalores iguales a los elementos de la diagonal principal.

Demuestra (por inducción) que los autovectores correspondientes a $k$ autovalores distintos son linealmente independientes.

Demuestra que toda matriz simétrica real tiene solo autovalores reales.