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Lección 115 — Diagonalización

Descomposición A = PDP⁻¹. Condiciones de diagonalizabilidad, algoritmo de construcción, potencias matriciales, exponencial de matriz y aplicaciones en sistemas dinámicos.

Used in: 3.º año de EM avanzado · Equiv. Lineare Algebra LK alemán · Equiv. Math III japonés · Equiv. H2 Mathematics singapurense

A = PDP^{-1}

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Descomposición espectral — definición y teoría

Definición fundamental

"A matrix $A$ is diagonalizable if it is similar to a diagonal matrix — there exists an invertible $P$ such that $P^{-1}AP$ is diagonal." — Beezer, A First Course in Linear Algebra, §SD

Condiciones equivalentes

Theorem· Criterio de diagonalizabilidad

Las siguientes afirmaciones son equivalentes para $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ :

$A$ es diagonalizable.
$A$ posee $n$ vectores propios linealmente independientes.
La suma de las dimensiones de los espacios propios es igual a $n$ : $\sum_\lambda \dim E_\lambda = n$ .
Para cada valor propio $\lambda$ , la multiplicidad geométrica iguala a la multiplicidad algebraica: $m_g(\lambda) = m_a(\lambda)$ .
$\mathbb{K}^n = \bigoplus_\lambda E_\lambda$ — el espacio es suma directa de los espacios propios.

Demostración de la equivalencia 2 $\Leftrightarrow$ 1. Si $\{v_1, \ldots, v_n\}$ son $n$ vectores propios LI con valores propios $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ , forme $P = [v_1 \mid \cdots \mid v_n]$ . Como las columnas son LI, $P$ es invertible. Calculamos:

$AP = A[v_1 \mid \cdots \mid v_n] = [\lambda_1 v_1 \mid \cdots \mid \lambda_n v_n] = [v_1 \mid \cdots \mid v_n]\operatorname{diag}(\lambda_i) = PD$

Luego $P^{-1}AP = D$ . El recíproco es inmediato: si $A = PDP^{-1}$ , las columnas de $P$ son vectores propios LI. $\square$

"An $n \times n$ matrix $A$ is diagonalizable if and only if $A$ has $n$ linearly independent eigenvectors." — Beezer, A First Course in Linear Algebra, §SD Theorem DED

Casos que garantizan la diagonalizabilidad

Condiciones suficientes para la diagonalizabilidad. Simétrica real: P ortogonal (Teorema Espectral, L116). Normal: P unitaria.

Algoritmo de diagonalización

Calcule el polinomio característico $p_A(\lambda) = \det(A - \lambda I)$ y encuentre las raíces $\lambda_1, \ldots, \lambda_k$ con multiplicidades algebraicas $m_a(\lambda_i)$ .
Para cada $\lambda_i$ , resuelva $(A - \lambda_i I)v = 0$ y encuentre una base de $E_{\lambda_i} = \ker(A - \lambda_i I)$ . Verifique $m_g(\lambda_i) = \dim E_{\lambda_i}$ .
Si $\sum m_g(\lambda_i) = n$ : monte $P$ con los vectores propios como columnas y $D = \operatorname{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$ (respetando el orden de las columnas).
Si $\sum m_g(\lambda_i) < n$ : $A$ no es diagonalizable — recurra a la forma de Jordan.

Aplicaciones inmediatas

A^k = P D^k P^{-1}, \quad D^k = \operatorname{diag}(\lambda_1^k, \ldots, \lambda_n^k)

what this means · Potencia matricial mediante diagonalización: D^k tiene los valores propios elevados a k en la diagonal.

e^{At} = P e^{Dt} P^{-1}, \quad e^{Dt} = \operatorname{diag}(e^{\lambda_1 t}, \ldots, e^{\lambda_n t})

what this means · Exponencial de matriz: cada valor propio lambda_i genera e^{lambda_i t} en la diagonal.

Para cualquier función analítica $f$ : $f(A) = Pf(D)P^{-1}$ con $f(D) = \operatorname{diag}(f(\lambda_i))$ .

Ejemplos resueltos

Example— 1· Diagonalizando una matriz 2×2 (básico)

Problema: Diagonalice $A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ .

Estrategia: Encontrar valores propios y vectores propios, montar $P$ y $D$ , verificar $AP = PD$ .

Resolución:

Polinomio característico: $p_A(\lambda) = \det(A - \lambda I) = (4-\lambda)(3-\lambda) - 2 = \lambda^2 - 7\lambda + 10 = (\lambda - 5)(\lambda - 2)$ Valores propios: $\lambda_1 = 5$ , $\lambda_2 = 2$ .
Vectores propios:

Para $\lambda_1 = 5$ : $(A - 5I)v = 0 \Rightarrow \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}v = 0$ . Base: $v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ .

Para $\lambda_2 = 2$ : $(A - 2I)v = 0 \Rightarrow \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}v = 0$ . Base: $v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ .

Construcción: $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$

Verificación: $AP = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 5 & -4 \end{pmatrix}$ y $PD = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 5 & -4 \end{pmatrix}$ . Iguales. $\checkmark$

Fuente. Beezer, A First Course in Linear Algebra §SD, Ejemplo DMS22 — licencia GNU FDL.

Example— 2· Matriz no diagonalizable (comprensión)

Problema: Determine si $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ es diagonalizable. Justifique.

Estrategia: Calcular multiplicidades algebraica y geométrica del único valor propio.

Resolución:

Valores propios: $p_A(\lambda) = (3-\lambda)^2 = 0$ , luego $\lambda = 3$ con $m_a = 2$ .
Espacio propio: $(A - 3I) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ . El sistema $(A - 3I)v = 0$ exige $v_2 = 0$ , con $v_1$ libre. Base: $\left\{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\right\}$ . Por tanto $m_g(3) = 1$ .
Conclusión: $m_g(3) = 1 < 2 = m_a(3)$ . No hay dos vectores propios LI. $A$ no es diagonalizable.

Verificación: Si existiera $P$ con $P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = 3I$ , tendríamos $A = P(3I)P^{-1} = 3I$ . Pero $A \neq 3I$ . Contradicción. $\checkmark$

Fuente. Beezer, A First Course in Linear Algebra §SD, Ejemplo NDMS3 — licencia GNU FDL.

Example— 3· Potencia matricial mediante diagonalización (intermedio)

Problema: Calcule $A^{10}$ para $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ .

Estrategia: Diagonalizar $A$ , elevar $D$ a la potencia 10 (trivial), componer.

Resolución:

Valores propios: $p_A(\lambda) = (2-\lambda)(1-\lambda) = 0$ , luego $\lambda_1 = 2$ , $\lambda_2 = 1$ .
Vectores propios:

$\lambda_1 = 2$ : $(A - 2I)v = 0 \Rightarrow \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}v = 0$ . $v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ .

$\lambda_2 = 1$ : $(A - I)v = 0 \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}v = 0$ . $v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ .

Descomposición: $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ , $D = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ .

$P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ (verificar: $\det P = -1$ , luego $P^{-1} = \frac{1}{-1}\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ ).

Potencia: $D^{10} = \begin{pmatrix} 2^{10} & 0 \\ 0 & 1^{10} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1024 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ .

$A^{10} = PD^{10}P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1024 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1024 & 1023 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Verificación: $A^2 = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ . Por la fórmula: $A^2 = \begin{pmatrix} 2^2 & 2^2-1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ . $\checkmark$

Fuente. Hefferon, Linear Algebra, cap. 5 §II — licencia CC-BY-SA.

Example— 4· Fórmula de Binet para Fibonacci (avanzado)

Problema: Derive la fórmula cerrada de Binet $F_n = \dfrac{\phi^n - \psi^n}{\sqrt{5}}$ , donde $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ y $\psi = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$ .

Estrategia: Reescribir la recurrencia como iteración matricial, diagonalizar la matriz de transición.

Resolución:

Forma matricial: $\begin{pmatrix} F_{n+1} \\ F_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} F_n \\ F_{n-1} \end{pmatrix}$ . Sea $M = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ .
Valores propios de $M$ : $\lambda^2 - \lambda - 1 = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ , luego $\lambda_1 = \phi$ , $\lambda_2 = \psi$ .
Vectores propios: $v_1 = \begin{pmatrix} \phi \\ 1 \end{pmatrix}$ , $v_2 = \begin{pmatrix} \psi \\ 1 \end{pmatrix}$ .
Descomposición: $\begin{pmatrix} F_{n+1} \\ F_n \end{pmatrix} = M^n \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = PD^nP^{-1}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ .

$P = \begin{pmatrix} \phi & \psi \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ , $\det P = \phi - \psi = \sqrt{5}$ . $P^{-1} = \frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix} 1 & -\psi \\ -1 & \phi \end{pmatrix}$ .

Segunda componente: $F_n = \frac{\phi^n(\phi - \psi + \psi \cdot \text{...}) - \psi^n(\ldots)}{\sqrt{5}}$ . Calculando explícitamente la segunda fila de $PD^nP^{-1}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$ :

$F_n = \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\phi^n \cdot 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}\sqrt{5} - \psi^n \cdot 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}\sqrt{5}\right) = \frac{\phi^n - \psi^n}{\sqrt{5}}$

Verificación: $F_1 = \frac{\phi - \psi}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = 1$ . $F_2 = \frac{\phi^2 - \psi^2}{\sqrt{5}} = \frac{(\phi-\psi)(\phi+\psi)}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5} \cdot 1}{\sqrt{5}} = 1$ . $\checkmark$

Fuente. Beezer, A First Course in Linear Algebra §SD — licencia GNU FDL.

Example— 5· Estabilidad de un sistema dinámico (modelización)

Problema: El sistema $\dot{x} = Ax$ con $A = \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}$ y $x(0) = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}$ . Determine $x(t)$ y clasifique la estabilidad.

Estrategia: Diagonalizar $A$ , resolver el sistema desacoplado, componer la solución.

Resolución:

Valores propios: $p_A(\lambda) = (-3-\lambda)^2 - 1 = \lambda^2 + 6\lambda + 8 = (\lambda+4)(\lambda+2) = 0$ . $\lambda_1 = -4$ , $\lambda_2 = -2$ .
Vectores propios:

$\lambda_1 = -4$ : $(A + 4I) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ . $v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ .

$\lambda_2 = -2$ : $(A + 2I) = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ . $v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ .

Solución general: $x(t) = c_1 e^{-4t}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} + c_2 e^{-2t}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ .
Condición inicial: $x(0) = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} \Rightarrow c_1 + c_2 = 2$ y $-c_1 + c_2 = 0$ , luego $c_1 = c_2 = 1$ .

$x(t) = e^{-4t}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} + e^{-2t}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

Estabilidad: Ambos valores propios son negativos ( $-4 < 0$ , $-2 < 0$ ), luego $x(t) \to 0$ cuando $t \to \infty$ . El sistema es asintóticamente estable.

Verificación: $x(0) = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}$ . $\checkmark$

Fuente. Hefferon, Linear Algebra, cap. 5 §II — licencia CC-BY-SA.

Exercise list

45 exercises · 11 with worked solution (25%)

Application 18Understanding 6Modeling 9Challenge 7Proof 5

Ex. 115.1Application
Diagonalice $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ .
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Ex. 115.2Application
Diagonalice $A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ .
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Ex. 115.3ApplicationAnswer key
$A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ ¿es diagonalizable? Justifique.
Solve online
Ex. 115.4Understanding
$A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ ¿es diagonalizable?
Solve online
Ex. 115.5Application
Verifique si $A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ es diagonalizable sobre $\mathbb{R}$ y sobre $\mathbb{C}$ .
Solve online
Ex. 115.6Application
Diagonalice $A = \begin{pmatrix} 5 & -1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$ .
Solve online
Ex. 115.7Application
Diagonalice la matriz simétrica $A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ y verifique que $P$ es ortogonal.
Solve online
Ex. 115.8Application
Diagonalice $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ .
Solve online
Ex. 115.9Application
Determine si $A = \operatorname{diag}(1, 2, 3)$ es diagonalizable.
Solve online
Ex. 115.10UnderstandingAnswer key
¿La proyección $P = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ es diagonalizable?
Solve online
Ex. 115.11UnderstandingAnswer key
¿Para qué valores de $a, b \in \mathbb{R}$ la matriz $\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}$ es diagonalizable?
Solve online
Ex. 115.12ChallengeAnswer key
Determine los valores propios de $C = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ y decida: ¿es diagonalizable sobre $\mathbb{R}$ ? ¿Sobre $\mathbb{C}$ ?
Solve online
Ex. 115.13ApplicationAnswer key
Use la diagonalización para calcular $A^{10}$ , con $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ .
Solve online
Ex. 115.14Application
Calcule $A^{100}$ para $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ (matriz de Fibonacci) mediante valores propios.
Solve online
Ex. 115.15Proof
Demuestre por inducción que $A^k = PD^kP^{-1}$ para todo $k \in \mathbb{N}$ .
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Ex. 115.16Application
Calcule $e^{At}$ para $A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ . Interprete geométricamente.
Solve online
Ex. 115.17Application
Calcule $\sqrt{A}$ para $A = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}$ .
Solve online
Ex. 115.18Application
Calcule $\cos A$ para $A = \begin{pmatrix} 0 & \pi \\ -\pi & 0 \end{pmatrix}$ .
Solve online
Ex. 115.19ApplicationAnswer key
Verifique que $A^k \to 0$ para $A = \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0 \\ 0 & 0{,}3 \end{pmatrix}$ .
Solve online
Ex. 115.20Application
Con $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ (valores propios 3 y 1), calcule $A^k \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}$ en términos de $k$ .
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Ex. 115.21ApplicationAnswer key
Resuelva $\dot{x} = Ax$ con $A = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$ , $x(0) = (1, 1)^T$ .
Solve online
Ex. 115.22Application
Resuelva $\dot{x} = Ax$ con $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{pmatrix}$ .
Solve online
Ex. 115.23Application
Muestre que $F_n = \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\phi^n - \psi^n\right)$ para la sucesión de Fibonacci, donde $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ .
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Ex. 115.24Challenge
Si $A$ es diagonalizable y $f$ es un polinomio, muestre que $f(A) = Pf(D)P^{-1}$ con $f(D) = \operatorname{diag}(f(\lambda_1), \ldots, f(\lambda_n))$ .
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Ex. 115.25Modeling
Cadena de Markov del clima: $M = \begin{pmatrix} 0{,}7 & 0{,}3 \\ 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix}$ . Calcule $M^{10}$ mediante diagonalización y encuentre la distribución estacionaria.
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Ex. 115.26Modeling
Sistema masa-resorte acoplado de 2 masas con matriz de rigidez $K = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ (masas unitarias). Encuentre los modos normales y las frecuencias naturales de vibración.
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Ex. 115.27ModelingAnswer key
Matriz de Leslie de población de 2 grupos de edad: $L = \begin{pmatrix} 0 & 1{,}2 \\ 0{,}4 & 0 \end{pmatrix}$ . Calcule el valor propio dominante e interprételo como tasa de crecimiento poblacional.
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Ex. 115.28Modeling
PageRank simplificado: 4 páginas con matriz de transición $P = \frac{1}{4}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ . Encuentre la distribución estacionaria (vector propio de $\lambda = 1$ ).
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Ex. 115.29Modeling
Matriz de covarianza de 2 activos: $\Sigma = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ . Diagonalice $\Sigma$ e interprete los vectores propios como direcciones principales de riesgo.
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Ex. 115.30Modeling
Sistema de control discreto $x_{k+1} = Ax_k$ con $A = \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}3 \\ 0{,}1 & 0{,}4 \end{pmatrix}$ . Determine si el sistema es estable verificando el radio espectral $\rho(A) = \max|\lambda_i|$ .
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Ex. 115.31Modeling
En redes neuronales recurrentes, los gradientes explosivos/evanescentes ocurren cuando el radio espectral $\rho(J)$ del jacobiano de la capa es mayor que 1 o menor que 1. Explique el mecanismo mediante diagonalización y sugiera una solución arquitectónica.
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Ex. 115.32Modeling
Modelo de vaciado de dos tanques acoplados: $A = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ . Resuelva $\dot{x} = Ax$ con $x(0) = (1, 2)^T$ y determine cuándo $\|x(t)\| < 0{,}01$ .
Solve online
Ex. 115.33Modeling
En una red de difusión de información, la dinámica discreta es $x_{k+1} = Wx_k$ donde $W$ es simétrica con valores propios $1, 0{,}8, 0{,}2$ . Interprete qué ocurre con $x_k$ para $k$ grande.
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Ex. 115.34Understanding
¿Por qué una matriz $n \times n$ con $n$ valores propios distintos (sobre $\mathbb{C}$ ) es siempre diagonalizable?
Solve online
Ex. 115.35ProofAnswer key
Demuestre que los vectores propios correspondientes a valores propios distintos son linealmente independientes.
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Ex. 115.36Proof
¿Toda matriz $2 \times 2$ con $\det A = 0$ y $\operatorname{tr} A \neq 0$ es diagonalizable? Justifique.
Solve online
Ex. 115.37Challenge
Encuentre una matriz $2 \times 2$ no diagonalizable con valor propio 5 de multiplicidad algebraica 2.
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Ex. 115.38Proof
Demuestre que matrices similares tienen el mismo polinomio característico (y por tanto los mismos valores propios).
Solve online
Ex. 115.39ChallengeAnswer key
Muestre que si $A$ es diagonalizable y $f$ es un polinomio, entonces $f(A)$ es diagonalizable con valores propios $f(\lambda_i)$ .
Solve online
Ex. 115.40Challenge
Si $A$ es diagonalizable, pruebe que $A^T$ también lo es (con los mismos valores propios).
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Ex. 115.41Understanding
Si $A = QDQ^T$ con $Q$ ortogonal y $D$ diagonal real, pruebe que $A$ es simétrica.
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Ex. 115.42Understanding
Si $A$ es diagonalizable con valores propios $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ , ¿cuál es la relación entre $\operatorname{tr} A$ , $\det A$ y los valores propios?
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Ex. 115.43Challenge
Muestre que $AB$ y $BA$ tienen los mismos valores propios no nulos (aunque $AB \neq BA$ ).
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Ex. 115.44ProofAnswer key
Si $A$ es diagonalizable e invertible, demuestre que $A^{-1}$ también es diagonalizable con valores propios $1/\lambda_i$ .
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Ex. 115.45Challenge
Sistema de reacciones químicas $A \rightleftharpoons B$ con ecuaciones $\dot{c}_A = -k_1 c_A + k_{-1}c_B$ , $\dot{c}_B = k_1 c_A - k_{-1}c_B$ . Resuelva mediante diagonalización y encuentre el equilibrio.
Solve online

Fuentes

A First Course in Linear Algebra — Robert A. Beezer · 2022 · EN · GNU FDL. Referencia primaria: §SD (Similar Matrices and Diagonalization) con definiciones rigurosas y ejercicios numerados.
Linear Algebra Done Right (4.ª ed) — Sheldon Axler · 2024 · EN · CC-BY-NC. Cap. 5C–5D: operadores diagonalizables, polinomios y funciones de operadores.
Linear Algebra — Jim Hefferon · 2022 · EN · CC-BY-SA. Cap. 5 §II: diagonalización, forma de Jordan introductoria, ejemplos de sistemas dinámicos.