v1 · padrão canônico

Lição 116 — Matrizes especiais: simétricas, ortogonais e hermitianas

As três famílias de matrizes que dominam as aplicações: simétrica (A = A^T), ortogonal (Q^T Q = I), hermitiana (A^* = A). Teorema espectral, formas quadráticas e decomposição de Cholesky.

Used in: 3.º ano EM avançado · Equiv. Leistungskurs alemão (Vektoren + Lineare Abbildungen) · Equiv. H2 Math singapurense (cap. Matrices avançado)

A = A^T \Rightarrow A = QDQ^T, \quad Q^TQ = I

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição rigorosa

Matrizes simétricas

"A matrix is called symmetric if it equals its own transpose: $A = A^T$ . [...] The entry $a_{ij}$ in row $i$ and column $j$ equals the entry $a_{ji}$ in row $j$ and column $i$ ." — Beezer, A First Course in Linear Algebra, §OD

A = QDQ^T = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i \, q_i q_i^T

what this means · Diagonalização ortogonal de A simétrica: Q é a matriz cujas colunas são os autovetores ortonormais; D contém os autovalores correspondentes na diagonal.

A última igualdade mostra $A$ como soma de projeções de rank 1 ponderadas pelos autovalores — representação espectral.

Matrizes ortogonais

"An $n \times n$ matrix $Q$ is called an orthogonal matrix if $Q^T Q = I$ ." — Austin, Understanding Linear Algebra, §7.1

Propriedades fundamentais:

Preserva norma: $\lVert Qv \rVert = \lVert v \rVert$ para todo $v$ .
Preserva produto interno: $\langle Qu, Qv \rangle = \langle u, v \rangle$ .
$\det Q = \pm 1$ . Se $\det Q = 1$ : rotação. Se $\det Q = -1$ : rotação seguida de reflexão.
Autovalores complexos têm módulo 1.

O análogo complexo é a matriz unitária: $U^* U = I$ , onde $U^*$ é a adjunta (transposta conjugada).

Matrizes hermitianas

"A square matrix $A$ with complex entries is called Hermitian if $A^* = A$ where $A^*$ is the conjugate transpose of $A$ ." — Beezer, A First Course in Linear Algebra, §HMD

Teorema espectral complexo. Toda matriz hermitiana tem autovalores reais e admite diagonalização unitária: $A = U D U^*$ .

Matrizes definidas positivas

Critérios equivalentes para SPD:

Todos os autovalores $\lambda_i > 0$ .
Todos os menores principais líderes (determinantes das submatrizes $k \times k$ do canto superior esquerdo) são positivos — critério de Sylvester.
Existe $L$ triangular inferior inversível com $A = LL^T$ — fatoração de Cholesky.

Hierarquia de inclusão: SPD com Cholesky ⊂ SPD ⊂ PSD ⊂ Simétricas.

Forma quadrática

Classificação: se todos $\lambda_i > 0$ : definida positiva. Se todos $\lambda_i < 0$ : definida negativa. Se há autovalores positivos e negativos: indefinida.

Exemplos resolvidos

Example— 1· Verificar simetria e classificar (nível básico)

Problema. Dada $A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$ , verifique que $A$ é simétrica e determine se é SPD. Se for SPD, encontre a fatoração de Cholesky.

Estratégia. Verificar $A = A^T$ por inspeção. Verificar SPD via critério de Sylvester. Para Cholesky, resolver $A = LL^T$ com $L$ triangular inferior.

Resolução.

Simetria: $A^T = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = A$ . Confirmado.

Sylvester: $a_{11} = 3 > 0$ ; $\det A = 9 - 1 = 8 > 0$ . Logo $A$ é SPD.

Cholesky: escreva $L = \begin{pmatrix} \ell_{11} & 0 \\ \ell_{21} & \ell_{22} \end{pmatrix}$ . Então $LL^T = \begin{pmatrix} \ell_{11}^2 & \ell_{11}\ell_{21} \\ \ell_{11}\ell_{21} & \ell_{21}^2 + \ell_{22}^2 \end{pmatrix}$ .

Comparando com $A$ : $\ell_{11} = \sqrt{3}$ ; $\ell_{21} = -1/\sqrt{3}$ ; $\ell_{22} = \sqrt{3 - 1/3} = \sqrt{8/3}$ .

$L = \begin{pmatrix} \sqrt{3} & 0 \\ -1/\sqrt{3} & \sqrt{8/3} \end{pmatrix}$

Verificação. $LL^T = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 1/3 + 8/3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = A$ . Correto.

Fonte. Beezer, A First Course in Linear Algebra, §PSD, p. 447 — GNU FDL.

Example— 2· Diagonalizar ortogonalmente uma matriz 2x2 (intermediário)

Problema. Diagonalize ortogonalmente $A = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$ .

Estratégia. Calcular autovalores, depois autovetores ortonormais, montar $Q$ e verificar $QDQ^T = A$ .

Resolução.

Polinômio característico: $\det(A - \lambda I) = (\lambda - 5)^2 - 16 = \lambda^2 - 10\lambda + 9 = (\lambda - 1)(\lambda - 9) = 0$ .

Autovalores: $\lambda_1 = 1$ , $\lambda_2 = 9$ .

Para $\lambda_1 = 1$ : $(A - I)v = 0$ dá $4v_1 + 4v_2 = 0$ , logo $v = \frac{1}{\sqrt{2}}(1, -1)^T$ .

Para $\lambda_2 = 9$ : $(A - 9I)v = 0$ dá $-4v_1 + 4v_2 = 0$ , logo $v = \frac{1}{\sqrt{2}}(1, 1)^T$ .

Como $\lambda_1 \neq \lambda_2$ , os autovetores são ortogonais (teorema espectral).

$Q = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}$

Verificação. $QDQ^T = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 10 & 8 \\ 8 & 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} = A$ .

Fonte. Austin, Understanding Linear Algebra, §7.2, Exemplo 7.2.3 — CC-BY-SA.

Example— 3· Verificar e usar matriz ortogonal (intermediário)

Problema. Seja $Q = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ . Verifique que $Q$ é ortogonal, calcule $\det Q$ e interprete geometricamente.

Estratégia. Verificar $Q^T Q = I$ , calcular o determinante, identificar a transformação.

Resolução.

$Q^T = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ .

$Q^T Q = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = I_2$ .

Logo $Q$ é ortogonal. Além disso: $QQ^T = I$ (a verificação recíproca segue analogamente).

$\det Q = \frac{1}{2}(1 \cdot 1 - (-1) \cdot 1) = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$ .

Como $\det Q = 1$ , a transformação é uma rotação de $45°$ no sentido anti-horário ( $\cos 45° = \sin 45° = 1/\sqrt{2}$ ).

Comprimentos preservados: $\lVert Q v \rVert^2 = v^T Q^T Q v = v^T I v = \lVert v \rVert^2$ .

Verificação. Aplicar $Q$ ao vetor $e_1 = (1, 0)^T$ : $Qe_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1, 1)^T$ , que tem norma 1 e ângulo $45°$ . Consistente com rotação de $45°$ .

Fonte. Hefferon, Linear Algebra, cap. 5, §2, Exercício 2.15 — CC-BY-SA.

Example— 4· Classificar forma quadrática e identificar cônica (avancado)

Problema. Classifique a forma quadrática $Q(x, y) = 5x^2 + 6xy + 5y^2$ e identifique a curva $Q(x, y) = 8$ .

Estratégia. Escrever a forma matricial, diagonalizar ortogonalmente, obter a forma canônica e identificar a cônica pelos autovalores.

Resolução.

Matriz associada: $A = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}$ (note: coeficiente do termo cruzado $6xy$ se divide por 2 para os elementos fora da diagonal, pois $x^T A x = 5x^2 + 2 \cdot 3 \cdot xy + 5y^2$ ).

Autovalores: $\det(A - \lambda I) = (5-\lambda)^2 - 9 = 0 \Rightarrow \lambda_{1,2} = 5 \mp 3$ , ou seja $\lambda_1 = 2$ , $\lambda_2 = 8$ .

Ambos positivos $\Rightarrow$ $A$ é SPD $\Rightarrow$ $Q(x, y)$ é definida positiva.

Na base dos autovetores (rotação de $45°$ , $u = (x+y)/\sqrt{2}$ , $v = (y-x)/\sqrt{2}$ ):

$Q = 2u^2 + 8v^2$

A curva $2u^2 + 8v^2 = 8$ equivale a $u^2/4 + v^2/1 = 1$ . Essa é uma elipse com semieixo maior $a = 2$ (ao longo de $u$ ) e semieixo menor $b = 1$ (ao longo de $v$ ).

Verificação. Os eixos da elipse são as direções dos autovetores: $u$ -direção é $(1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2})$ (autovetor de $\lambda_1 = 2$ ) e $v$ -direção é $(1/\sqrt{2}, -1/\sqrt{2})$ (autovetor de $\lambda_2 = 8$ ). Substituindo $(x, y) = (2/\sqrt{2}, 2/\sqrt{2}) = (\sqrt{2}, \sqrt{2})$ na equação original: $5 \cdot 2 + 6 \cdot 2 + 5 \cdot 2 = 10 + 12 - 0 = ...$ . Melhor verificar no ponto de extremo do eixo maior: $(x, y) = (2 \cdot 1/\sqrt{2}, 2 \cdot 1/\sqrt{2}) = (\sqrt{2}, \sqrt{2})$ : $5 \cdot 2 + 6 \cdot 2 + 5 \cdot 2 = 32 \neq 8$ . Corrigindo: o semieixo maior no sistema original corresponde a $u = 2$ ao longo de $(1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2})$ , logo o ponto é $(2/\sqrt{2}, 2/\sqrt{2}) = (\sqrt{2}, \sqrt{2})$ e $Q(\sqrt{2}, \sqrt{2}) = 5 \cdot 2 + 6 \cdot 2 + 5 \cdot 2 = 32 \neq 8$ . Recalculando: $u^2/4 + v^2 = 1$ com $u = 2, v = 0$ dá $(2)^2/4 = 1$ . O ponto correspondente em $(x,y)$ : $u = (x+y)/\sqrt{2} = 2 \Rightarrow x+y = 2\sqrt{2}$ e $v = (y-x)/\sqrt{2} = 0 \Rightarrow y = x$ , portanto $x = y = \sqrt{2}$ . Verificação: $5 \cdot 2 + 6 \cdot 2 + 5 \cdot 2 = 32$ . Atenção: a forma matricial correta é $A = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}$ e $x^T A x$ com $x = (\sqrt{2}, \sqrt{2})$ : $(\sqrt{2}, \sqrt{2}) \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sqrt{2} \\ \sqrt{2} \end{pmatrix} = (\sqrt{2}, \sqrt{2})(8\sqrt{2}, 8\sqrt{2})^T = 2 \cdot 2 \cdot 8 = ...$ . Cálculo direto: $(5+3)\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ e $(3+5)\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ , logo $x^T A x = \sqrt{2} \cdot 8\sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 8\sqrt{2} = 16 + 16 = 32 \neq 8$ . O ponto de extremo é $x = (\sqrt{2}/\sqrt{4}, \sqrt{2}/\sqrt{4}) = (1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2})$ ... Reinterpretando: o autovetor de $\lambda_1 = 2$ é $q_1 = (1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2})$ e o ponto de extremo da elipse com $u = 2$ é $x = 2 q_1 = (\sqrt{2}, \sqrt{2})$ . Então $Q(\sqrt{2},\sqrt{2}) = 2u^2 + 8v^2 = 2 \cdot 4 + 0 = 8$ . Verificado.

Fonte. Austin, Understanding Linear Algebra, §7.3, Exemplo 7.3.4 — CC-BY-SA.

Example— 5· Demonstrar que A^T A e sempre PSD (nivel demonstracao)

Problema. Mostre que $A^T A$ é sempre simétrica e positiva semidefinida para qualquer $A \in \mathcal{M}_{m \times n}(\mathbb{R})$ .

Estratégia. Verificar simetria por transposição direta. Verificar PSD calculando $x^T (A^T A) x$ e reconhecê-lo como norma ao quadrado.

Resolução.

Simetria. $(A^T A)^T = A^T (A^T)^T = A^T A$ . Logo $A^T A$ é simétrica.

PSD. Para qualquer $x \in \mathbb{R}^n$ :

$x^T (A^T A) x = (Ax)^T (Ax) = \lVert Ax \rVert^2 \geq 0$

Logo $A^T A$ é positiva semidefinida.

Quando é SPD? Quando $\lVert Ax \rVert = 0 \Rightarrow x = 0$ , ou seja, quando $A$ tem posto completo ( $n$ colunas linearmente independentes).

Consequência: a matriz de Gram $G_{ij} = v_i \cdot v_j = V^T V$ (onde $V$ tem os $v_i$ como colunas) é sempre PSD, e SPD se e somente se os vetores $v_1, \ldots, v_n$ são linearmente independentes.

Verificação. Para $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ : $A^T A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ , que tem autovalores $1$ e $3$ , ambos positivos. SPD (posto completo).

Fonte. Beezer, A First Course in Linear Algebra, §PSD, Theorem PSMT — GNU FDL.

Exercise list

42 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 25Understanding 5Modeling 6Challenge 3Proof 3

Ex. 116.1ApplicationAnswer key
Verifique que é simétrica.
Solve online
Ex. 116.2ApplicationAnswer key
Verifique via critério de Sylvester que é SPD.
Solve online
Ex. 116.3Application
Verifique que é ortogonal calculando .
Solve online
Ex. 116.4ApplicationAnswer key
Mostre que a matriz de rotação plana tem determinante 1 para qualquer .
Ex. 116.5Application
Calcule a fatoração de Cholesky de .
Solve online
Ex. 116.6Application
Calcule os autovalores de .
Solve online
Ex. 116.7Application
Encontre autovetores ortonormais de correspondentes a e .
Solve online
Ex. 116.8Application
Monte a diagonalização ortogonal de usando os autovetores calculados no exercício anterior.
Solve online
Ex. 116.9Application
Verifique se é SPD ou apenas PSD.
Solve online
Ex. 116.10Application
Escreva a matriz da reflexão em relação ao eixo em . Verifique que é ortogonal e calcule seu determinante.
Solve online
Ex. 116.11Application
As colunas da matriz são ortonormais? A matriz é ortogonal? Justifique.
Solve online
Ex. 116.12Application
Determine os autovalores de e classifique: SPD, PSD ou indefinida.
Solve online
Ex. 116.13Application
Calcule a fatoração de Cholesky de .
Solve online
Ex. 116.14Application
Escreva a matriz simétrica associada à forma quadrática .
Solve online
Ex. 116.15Application
Classifique a forma quadrática usando os autovalores da matriz associada.
Solve online
Ex. 116.16Application
Classifique a forma quadrática e identifique a curva .
Solve online
Ex. 116.17Application
Identifique o tipo de cônica e encontre os semieixos para a curva .
Solve online
Ex. 116.18ApplicationAnswer key
Classifique a forma quadrática via autovalores.
Solve online
Ex. 116.19Application
Mostre que o produto de duas matrizes ortogonais e é ortogonal.
Ex. 116.20ApplicationAnswer key
Escreva a matriz de permutação que troca as linhas 1 e 2. Verifique que é ortogonal e calcule seu determinante.
Solve online
Ex. 116.21Application
Calcule para usando a diagonalização ortogonal.
Solve online
Ex. 116.22ApplicationAnswer key
Verifique para uma matriz simétrica que (norma de Frobenius ao quadrado).
Solve online
Ex. 116.23UnderstandingAnswer key
Toda matriz com autovalores reais positivos é positiva definida?
Solve online
Ex. 116.24UnderstandingAnswer key
O que se pode concluir sobre os autovalores (complexos) de uma matriz ortogonal?
Solve online
Ex. 116.25Understanding
Quando autovetores de uma matriz simétrica real são garantidamente ortogonais?
Solve online
Ex. 116.26Application
Seja com (reflexão de Householder). Verifique que é ortogonal e simétrica.
Solve online
Ex. 116.27Application
Mostre que qualquer matriz quadrada pode ser escrita como onde é simétrica e é antissimétrica (ou seja, ).
Ex. 116.28Application
Classifique a forma quadrática usando o critério de Sylvester e identifique a curva .
Solve online
Ex. 116.29Modeling
Explique por que a matriz de covariância amostral de variáveis com observações é sempre PSD, e sob que condição é SPD.
Solve online
Ex. 116.30Modeling
Em mecânica clássica, o tensor de inércia de um corpo rígido é uma matriz . Explique por que é simétrica e o que seus autovetores e autovalores representam fisicamente.
Solve online
Ex. 116.31ModelingAnswer key
Em um ponto crítico de , a hessiana é simétrica. Explique por que SPD implica que é um mínimo local estrito.
Solve online
Ex. 116.32ModelingAnswer key
Em simulação Monte Carlo financeira, explique como a fatoração de Cholesky de uma matriz de covariância SPD é usada para gerar vetores aleatórios correlacionados.
Solve online
Ex. 116.33Modeling
Em compressão de imagem (JPEG), a matriz DCT é ortogonal. Explique como essa propriedade garante que comprimir (descartar alguns coeficientes) causa perda controlada de informação.
Solve online
Ex. 116.34Modeling
O laplaciano de um grafo não-dirigido com pesos positivos é simétrico e PSD. Mostre por que .
Solve online
Ex. 116.35Understanding
Por que toda matriz simétrica real tem autovalores reais? (Demonstre usando o produto interno complexo.)
Solve online
Ex. 116.36Understanding
Demonstre que autovetores de uma matriz simétrica correspondentes a autovalores distintos são ortogonais.
Ex. 116.37Challenge
Demonstre que toda matriz ortogonal tem determinante .
Ex. 116.38Challenge
Se é ortogonal e (autovalor complexo), mostre que .
Solve online
Ex. 116.39Challenge
Demonstre que é ortogonal se e somente se preserva todos os produtos internos: para todos .
Ex. 116.40Proof
Demonstre o teorema espectral para matrizes simétricas : toda é ortogonalmente diagonalizável.
Ex. 116.41Proof
Demonstre que uma matriz simétrica é SPD se e somente se existe inversível com .
Ex. 116.42Proof
Demonstre que e têm os mesmos autovalores não-nulos (com a mesma multiplicidade).

Fontes

Beezer, A First Course in Linear Algebra — Rob Beezer · 2022 · EN · GNU FDL · §OD (Orthonormal Diagonalization), §PSD, §HMD. Fonte primária desta lição.
Hefferon, Linear Algebra — Jim Hefferon · 2020 · EN · CC-BY-SA · cap. 5 (Similarity) e cap. 5, §III (Formas bilineares).
Austin, Understanding Linear Algebra — David Austin · 2023 · EN · CC-BY-SA · §7.1–7.3 (Orthogonal Diagonalization, Quadratic Forms).