Lección 117 — Descomposición en valores singulares (SVD)

Explique la diferencia entre autovalores y valores singulares de una matriz $$. ¿Para qué tipo de matriz coinciden?

Calcule la SVD de $$.

Calcule la SVD compacta de $$. ¿Cuál es el rango de $$?

Si la SVD de $$ tiene valores singulares $$, ¿cuál es el rango de $$? ¿Cuál es la dimensión de $$?

La SVD de $$ tiene valores singulares $$. Calcule el error de Frobenius y el error espectral de la mejor aproximación de rango 1.

Describa cómo calcular la pseudoinversa $$ de $$ con valores singulares $$ y rango 2. ¿Cuál es la dimensión de $$?

Una matriz $$ tiene valores singulares $$ y $$. Calcule $$ e interprete qué significa esto para resolver $$ numéricamente.

Una matriz tiene valores singulares $$. ¿Cuál es el menor $$ tal que la aproximación de rango $$ explica al menos 95% de la varianza de Frobenius?

Demuestre que, para una matriz simétrica positiva semidefinida $$, la SVD tiene $$ y $$. ¿Qué son los valores singulares, en este caso?

Una imagen en tonos de gris es una matriz $$. Si guardas la SVD truncada con $$ componentes, ¿cuántos floats almacenas en comparación con la imagen original? ¿Cuál es el factor de compresión?

¿Cuál afirmación sobre la interpretación de $$ y $$ en la SVD es correcta?

La SVD de $$ tiene valores singulares $$. Calcule la norma espectral $$ y la norma de Frobenius $$.

Una imagen $$ tiene rango numérico $$. ¿Cuál es la tasa de compresión al guardar la SVD completa de rango $$ en vez de la matriz original?

Explique geométricamente qué dice la SVD sobre cómo la matriz $$ transforma la esfera unitaria de $$. ¿Cuáles son los semiejes del elipsoide resultante?

Demuestre que en la SVD se tiene $$ para todo $$. Use esto para verificar que $$.

En latent semantic analysis (LSA), la SVD de una matriz término-documento se trunca en los $$ mayores valores singulares. Explique conceptualmente por qué esto captura "tópicos latentes" en los documentos.

Enuncie el Teorema de Eckart-Young y bosqueje la idea de la demostración de que $$ es de hecho la mejor aproximación de rango $$ en norma espectral.

Si $$ tiene valores singulares $$, ¿cuáles son los valores singulares de $$? Calcule $$ y $$.

Una matrix tiene valores singulares $$. Usando threshold $$ relativo al mayor singular, ¿cuál es el rango numérico?

Pruebe que una matriz ortogonal tiene todos los valores singulares iguales a 1. ¿Cuál es el número de condicionamiento de una matriz ortogonal?

Explique cómo la SVD de la matriz de retornos de acciones identifica "factores de riesgo" en un portafolio. ¿Qué representan económicamente los primeros vectores singulares $$?

Pruebe que $$ y $$ tienen los mismos valores singulares no nulos.

Derive la solución de ridge regression $$ en términos de la SVD de $$.

La curva de rendimiento (yield curve) brasileña tiene datos diarios de rendimientos en 10 madureces diferentes. SVD de esa matriz identifica 3 factores principales. ¿Cuáles son esos factores, económicamente?

¿Para cuáles valores de $$ la SVD truncada de una imagen $$ ocupa menos memoria que la imagen original? Derive la condición general.

La norma de Frobenius $$ es igual a:

Si $$ tiene valores singulares $$, ¿cuáles son los valores singulares de $$?

Demuestre que las columnas de $$ y $$ en la SVD de $$ forman bases ortonormales de los 4 subespacios fundamentales de $$. Enuncie cada subespacio y su base explícitamente.

Describa el algoritmo de recomendación por SVD colaborativa: dada una matriz usuario-ítem dispersa, ¿cómo puede la SVD truncada predecir ratings ausentes y recomendar ítems?

Describa el algoritmo de SVD randomizada de Halko-Martinsson-Tropp (2011) en 5 pasos. ¿Por qué es ventajoso para matrices grandes de bajo rango numérico? ¿Cuál es la complejidad comparada con SVD exacta?