Lección 119 — Síntesis: Black-Scholes revisitada

En la fórmula de Black-Scholes $C = SN(d_1) - Ke^{-rT}N(d_2)$, ¿qué representa la variable $S$?

En la fórmula de Black-Scholes, ¿qué representa $N(d)$?

Para $S = K = 50$, $r = 0{,}06$, $\sigma = 0{,}20$, $T = 1$, calcule $d_1$ y $d_2$.

Con $d_1 = 0{,}40$ y $d_2 = 0{,}20$ del ejercicio 119.3, y sabiendo que $N(0{,}40) \approx 0{,}6554$, $N(0{,}20) \approx 0{,}5793$, calcule el precio de la call ($S = K = 50$, $r = 0{,}06$, $T = 1$).

Con los datos del ejercicio 119.4 ($C = 5{,}50$, $S = K = 50$, $r = 0{,}06$, $T = 1$), use la paridad put-call para calcular el precio del put europeo.

Con $\Delta = N(d_1) = 0{,}6554$ (ejercicio 119.3), ¿cuántas acciones vender en corto para delta-hedgear una posición long en 500 calls?

¿Cuál Greek mide la sensibilidad del precio de la opción a la volatilidad $\sigma$?

Calcule $d_1$ y $d_2$ para PETR4: $S = 46{,}60$, $K = 47$, $r = 14{,}65\%$ a.a., $\sigma = 35\%$, $T = 30$ días.

Con $d_1 \approx 0{,}085$ y $d_2 \approx -0{,}015$ (ejercicio 119.8), y $N(0{,}085) \approx 0{,}534$, $N(-0{,}015) \approx 0{,}494$, calcule el precio teórico de la call PETR4.

Con $C \approx 1{,}92$, $S = 46{,}60$, $K = 47$, $Ke^{-rT} \approx 46{,}43$, calcule el precio del put PETR4 por paridad put-call.

La EDP de Black-Scholes es matemáticamente análoga a cuál otra ecuación clásica de la física?

Repita el cálculo del Ejemplo 2 ($S = K = 100$, $r = 0{,}05$, $T = 1$) con $\sigma = 0{,}30$ (mayor volatilidad). Compare con el resultado $C \approx 10{,}45$ para $\sigma = 0{,}20$. ¿Qué sucede con el precio de la call?

Con $S = K = 100$, $r = 0{,}05$, $\sigma = 0{,}20$, calcule $C$ para $T = 0{,}25$ (3 meses). Compare con $C \approx 10{,}45$ para $T = 1$. Interprete el efecto del tiempo (Theta).

Lea de la tabla normal estándar los valores de $N(d)$ para $d \in \{0; 0{,}50; 1{,}00; 1{,}96; 2{,}00\}$. Use la simetría $N(-d) = 1 - N(d)$ para calcular $N(-1)$ y $N(-1{,}96)$.

Explique en una frase la interpretación probabilística de $N(d_2)$ en la fórmula de Black-Scholes.

Para $S = 100$, $K = 110$ (fuera-del-dinero), $r = 0{,}05$, $\sigma = 0{,}20$, $T = 1$, calcule $d_1$, $d_2$ y $C$. Compare con la opción at-the-money del Ejemplo 2.

Con $C = 6{,}0$ del ejercicio 119.16 ($S = 100$, $K = 110$, $r = 0{,}05$, $T = 1$), calcule el precio del put por paridad. Compare put y call.

El mercado cotizó la call PETR4 (ejercicio 119.9) a R$ 2,50 mientras el modelo con $\sigma = 35\%$ dio R$ 1,92. Explique el concepto de volatilidad implícita y cómo calcularla.

Describa las 3 sustituciones de variables que transforman la EDP de Black-Scholes en la ecuación del calor. ¿Por qué es útil?

Describa un hedge dinámico delta-neutro para 1.000 calls PETR4 ($\Delta = 0{,}534$) a lo largo de 2 días. ¿Por qué este hedge es "dinámico" y cuál es su costo real que BS ignora?

Explique cómo el Teorema Central del Límite (Lección 77) justifica la hipótesis de log-normalidad de $S_T$ en el modelo de Black-Scholes.

¿Por qué la EDP de Black-Scholes se clasifica como parabólica? ¿Qué significa esto físicamente?

En el caso especial $S = K$ y $r = 0$, demuestre que $C = S[2N(\sigma\sqrt{T}/2) - 1]$. Use la simetría de la distribución normal estándar.

La función $N(d)$ no tiene fórmula cerrada. Describa una aproximación polinomial (Abramowitz-Stegun) usada en implementaciones sin biblioteca estadística. Calcule $N(0{,}35)$ por la aproximación y compare con el valor de tabla ($\approx 0{,}6368$).

Esboce la derivación de la EDP de Black-Scholes: construya el portafolio replicante $\Pi = \Delta S - C$, aplique el Lema de Itô a $dC$, elimine el riesgo eligiendo $\Delta$ apropiado, y use no-arbitraje para obtener la EDP.

Liste 3 hipótesis de Black-Scholes que claramente fallaron durante la crisis financiera de 2008. Para cada una, cite un modelo alternativo que la relaja.

Verifique numéricamente que la fórmula BS satisface la EDP de BS, usando los valores del Ejemplo 2 ($S = K = 100$, $r = 0{,}05$, $\sigma = 0{,}20$, $T = 1$). Calcule cada término de la EDP.

Demuestre la paridad put-call $C - P = S - Ke^{-r(T-t)}$ vía argumento de no-arbitraje con dos portafolios de mismo payoff.

Calcule el límite $\lim_{\sigma\to 0^+} C(S, t)$ por la fórmula de Black-Scholes. Use la propiedad $N(-\infty) = 0$ y $N(+\infty) = 1$. Interprete financieramente.

¿Cómo afecta la tasa Selic al precio de una call europea según BS? Calcule el Greek Rho ($\rho = \partial C / \partial r$) para los datos de PETR4 (ejercicio 119.9) e interprete.

Calcule el Vega de la call del Ejemplo 1 ($S = K = 100$, $d_1 = 0{,}35$, $T = 1$, $\sigma = 0{,}20$). Use $\phi(0{,}35) \approx 0{,}375$. Interprete: ¿cuánto cambia la call si $\sigma$ sube de 20% a 21%?

Calcule el Gamma de la call del Ejemplo 1 ($S = K = 100$, $d_1 = 0{,}35$, $\sigma = 0{,}20$, $T = 1$). Interprete: si $S$ sube R$ 1, ¿cuánto cambia el Delta?

En portafolio con 2 activos igualmente ponderados, con volatilidades $\sigma_1 = \sigma_2 = 25\%$ y correlación $\rho = 0{,}5$, calcule la volatilidad del portafolio. ¿Cómo se conecta a la matriz de covarianza usada en BS multi-activo?

Esboce el diagrama de payoff de una call europea al vencimiento con $K = 100$ y prima pagada $C = 10{,}45$. Identifique el punto de equilibrio y las zonas de ganancia/pérdida.

Escriba $N(d)$ como integral y explique por qué esta integral no tiene fórmula cerrada en funciones elementales. ¿Cómo se conecta al Teorema Fundamental del Cálculo (Lección 83)?

Compare el movimiento browniano geométrico (GBM) con un random walk simple (discreto). ¿Por qué el GBM es más adecuado para modelar precios de acciones?

PETR4 paga dividendos continuos a una tasa $q = 5\%$ al año. ¿Cómo ajustar la fórmula de BS? Calcule el nuevo $S_{\text{adj}} = Se^{-qT}$ para los datos del ejercicio 119.8 y describa el efecto en el precio de la call.

En la práctica brasileña, la curva de volatilidad implícita de PETR4 no es plana — es un "smirk" (sonrisa asimétrica). Explique qué significa y por qué contradice las hipótesis de Black-Scholes.

Describa el algoritmo de Newton-Raphson para calcular la volatilidad implícita, dado que la call PETR4 está cotizada a R$ 2,50 (vs. R$ 1,92 teórico con $\sigma = 35\%$). Use Vega como derivada. Calcule la primera iteración.

Describa el modelo binomial de Cox-Ross-Rubinstein (CRR) como alternativa a BS para precificar una opción americana de compra ($S = K = 100$, $r = 0{,}05$, $\sigma = 0{,}20$, $T = 1$ año, $n = 3$ pasos). ¿Por qué BS no funciona para opciones americanas?

Explique el concepto de "opción real" (real option) y cómo la fórmula BS puede usarse para evaluar el derecho de expandir una fábrica. Identifique $S$, $K$, $\sigma$ en ese contexto.

A partir de la EDP de Black-Scholes, demuestre la relación $\Theta + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \Gamma + rS\Delta = rC$ entre los Greeks. Interprete financieramente: ¿por qué una posición long call delta-hedgeada pierde dinero con el tiempo pero gana con movimientos bruscos del activo?