Lección 120 — Workshop final del Programa

Calcula $\displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin^2 x \cos^3 x\, dx$.

Resuelve $y'' + 4y = 0$ con $y(0) = 1$, $y'(0) = 0$.

Ingresos $R(q) = 120q - 2q^2$ y costo $C(q) = 200 + 40q + q^2$. Encuentra $q^*$ que maximiza la ganancia $L = R - C$.

Escribe la serie de Taylor de $\cos x$ centrada en $x = 0$ hasta el término en $x^4$.

Calcula $\dfrac{d}{dx} e^{x^2}$.

Calcula $\displaystyle\int_1^e \frac{1}{x}\,dx$ usando el TFC.

Calcula $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}$.

Calcula el volumen del sólido de revolución generado por $y = \sqrt{x}$, $x \in [0,4]$, rotado alrededor del eje $x$.

Calcula $\dfrac{d}{dx}[x^2 \sin x]$ usando la regla del producto.

¿Cuál es el enunciado correcto del Teorema Fundamental del Cálculo (ambas las partes)?

Diagonaliza $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$. Encuentra $P$ y $D$.

Calcula la inversa de $A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 7 & 2 \end{pmatrix}$.

¿Por qué toda matriz simétrica real es ortogonalmente diagonalizable? Cita el teorema relevante.

En $A = U\Sigma V^T$ (SVD), ¿qué representan $U$ y $V^T$ geométricamente?

Dado el sistema $\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}x = \begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}$, determina si tiene solución. Si sí, encuéntrala.

Para una matriz $A$ de orden $m \times n$, ¿cuál es la dimensión del espacio nulo de $A$?

Aplica la matriz de rotación de 30° al punto $(1, 0)$.

Encuentra el vector unitario en la dirección de $(3, 4)$.

$A$ simétrica $2\times 2$ con autovalores $\lambda_1, \lambda_2$. Muestra que $\operatorname{tr}(A^k) = \lambda_1^k + \lambda_2^k$ para todo $k \geq 1$.

$X$ tiene dos columnas linealmente dependientes. Muestra vía SVD que $X^T X$ es singular.

5 lanzamientos de moneda justa. Calcula $P(X = 3)$ donde $X$ = número de caras.

$X \sim N(0,1)$. Calcula $P(X > 2)$.

Cinco puntos: $(1,2)$, $(2,3)$, $(3,5)$, $(4,4)$, $(5,6)$. Encuentra $\hat\beta_0$ y $\hat\beta_1$ de la recta de regresión $\hat y = \hat\beta_0 + \hat\beta_1 x$.

Prueba A/B: conversión A = 10%, B = 12%, $n = 1000$ cada una. Realiza la prueba $z$ bilateral para diferencia de proporciones a $\alpha = 0{,}05$.

¿Cuál es la diferencia correcta entre IC frecuentista 95% y credible interval bayesiano 95%?

Prueba que $\operatorname{Var}(X + Y) = \operatorname{Var}(X) + \operatorname{Var}(Y) + 2\operatorname{Cov}(X, Y)$.

Prior $\mu \sim \mathcal{N}(0,1)$, observaciones $x_i \sim \mathcal{N}(\mu, 1)$ con $\bar x = 2$, $n = 4$. Calcula la distribución posterior de $\mu$.

Enuncia el Teorema Central del Límite y explica intuitivamente por qué funciona.

Prueba que $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2/2}\,dx = \sqrt{2\pi}$ usando coordenadas polares.

¿Por qué regresión múltiple con features colineales produce $\hat\beta$ inestable? Explica vía $X^TX$.

Masa-resorte amortiguado: $m=1$, $k=4$, $c=2$. Identifica el tipo de amortiguamiento y escribe la solución general de $\ddot x + 2\dot x + 4x = 0$.

Circuito RC con $\tau = RC = 0{,}1$ s. ¿Cuánto tiempo para que la tensión caiga a 5% del valor inicial?

Masa-resorte: $m = 1$ kg, $k = 100$ N/m, fuerza $F\cos(\omega t)$, sin amortiguamiento. ¿Para cuál $\omega$ la amplitud diverge (resonancia)?

Población crece a tasa intrínseca 2% al año con capacidad de soporte $K$ y cosecha de 1000 individuos/año. Modela la EDO e identifica los puntos de equilibrio.

Usa Newton-Raphson para aproximar $\sqrt{2}$ partiendo de $x_0 = 1$. Haz 3 iteraciones.

Cartera Markowitz: 2 activos con $\sigma_1 = 0{,}1$, $\sigma_2 = 0{,}2$, $\rho = 0{,}3$, pesos iguales. Calcula la volatilidad de la cartera.

Prueba $e^{i\pi} + 1 = 0$ usando series de Taylor de $e^z$, $\cos\theta$, $\sin\theta$.

Prueba el Teorema Fundamental del Cálculo (Parte 2): $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ donde $F' = f$ y $f$ es continua en $[a,b]$.

Prueba: $\operatorname{Var}(X+Y) = \operatorname{Var}(X) + \operatorname{Var}(Y) + 2\operatorname{Cov}(X,Y)$.

Dado $x^2 + xy + y^2 = 12$, encuentra los puntos de la curva donde la tangente es horizontal.