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Lección 82 — Integral definida y área orientada

Suma de Riemann como límite. Integral definida como área orientada bajo la gráfica. Propiedades: linealidad, aditividad, monotonía. Teorema del Valor Medio Integral.

Used in: 3.º año de Bachillerato (17 años) · Equiv. Math II japonés cap. 6 · Equiv. Klasse 12 alemana Integral

\int_a^b f(x)\, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\, \Delta x

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definición rigurosa

Suma de Riemann

Definition· Integral de Riemann

Sea $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ acotada. Una partición $P$ de $[a,b]$ es un conjunto $\{a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b\}$ . La norma de la partición es $\|P\| = \max_i \Delta x_i$ donde $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$ .

Eligiendo puntos de muestreo $x_i^* \in [x_{i-1}, x_i]$ , la suma de Riemann es:

$S(f, P) = \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\, \Delta x_i.$

$f$ es integrable en $[a,b]$ si existe un límite $L$ tal que para todo $\varepsilon > 0$ existe $\delta > 0$ con $|S(f,P) - L| < \varepsilon$ siempre que $\|P\| < \delta$ , independiente de la elección de los $x_i^*$ . Se escribe $\int_a^b f(x)\, dx = L$ .

"La integral definida es formalmente el límite de las sumas de Riemann cuando la norma de la partición tiende a cero." — OpenStax Calculus Vol. 1, §5.2

Sumas de Darboux

Definición equivalente mediante sumas inferior y superior:

$L(f, P) = \sum_{i=1}^n \Bigl(\inf_{[x_{i-1}, x_i]} f\Bigr) \Delta x_i, \qquad U(f, P) = \sum_{i=1}^n \Bigl(\sup_{[x_{i-1}, x_i]} f\Bigr) \Delta x_i.$

$f$ es integrable $\iff \sup_P L(f,P) = \inf_P U(f,P)$ .

Criterio de integrabilidad

Propiedades

Definition· Propiedades de la integral definida

Para $f$ , $g$ integrables en $[a, b]$ y $\alpha, \beta, c \in \mathbb{R}$ con $a \leq c \leq b$ :

Linealidad: $\int_a^b (\alpha f + \beta g) = \alpha \int_a^b f + \beta \int_a^b g$
Aditividad: $\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f$
Inversión de límites: $\int_b^a f = -\int_a^b f$
Integral nula: $\int_a^a f = 0$
Monotonía: $f \leq g$ en $[a,b] \Rightarrow \int_a^b f \leq \int_a^b g$
Triángulo: $\left|\int_a^b f\right| \leq \int_a^b |f|$

Seis rectángulos de Riemann aproximando la integral. A medida que $n \to \infty$ y $\|P\| \to 0$ , la suma converge al área exacta.

Teorema del Valor Medio Integral

Ejemplos resolvidos

Example— 1· Suma de Riemann con n = 4 (básico)

Problema. Estima $\int_0^2 x^2\, dx$ usando la suma de Riemann a la derecha con $n = 4$ subintervalos.

Estrategia. Dividir $[0, 2]$ en 4 partes iguales, tomar el punto a la derecha de cada parte, calcular la suma.

Resolución. $\Delta x = 2/4 = 0{,}5$ . Puntos derechos: $x_1^* = 0{,}5$ , $x_2^* = 1$ , $x_3^* = 1{,}5$ , $x_4^* = 2$ .

$S_4 = f(0{,}5) + f(1) + f(1{,}5) + f(2)) \cdot 0{,}5 = (0{,}25 + 1 + 2{,}25 + 4) \cdot 0{,}5 = 7{,}5 \cdot 0{,}5 = 3{,}75.$

(El valor exacto por el TFC es $\int_0^2 x^2\, dx = 8/3 \approx 2{,}67$ . La suma a la derecha sobreestimó pues $x^2$ es creciente.)

Verificación. Suma con $n$ grande converge a $8/3$ : confirma que $3{,}75$ es una aproximación por exceso.

Fuente. APEX Calculus, §5.2, Ejemplo 5.2.4 — CC-BY-NC.

Example— 2· Interpretación geométrica de integral con función negativa (básico)

Problema. Interpreta geométricamente $\int_0^\pi \sin x\, dx$ e $\int_\pi^{2\pi} \sin x\, dx$ .

Estrategia. $\sin x \geq 0$ en $[0, \pi]$ y $\sin x \leq 0$ en $[\pi, 2\pi]$ . La integral definida mide área orientada.

Resolución.

$\int_0^\pi \sin x\, dx = [-\cos x]_0^\pi = -\cos\pi + \cos 0 = 1 + 1 = 2$ (área sobre el eje: $+2$ ).
$\int_\pi^{2\pi} \sin x\, dx = [-\cos x]_\pi^{2\pi} = -\cos 2\pi + \cos\pi = -1 - 1 = -2$ (área debajo del eje: contribución $-2$ ).

Luego $\int_0^{2\pi} \sin x\, dx = 2 + (-2) = 0$ . El área geométrica total es $2 + 2 = 4$ , pero la integral es cero.

Verificación. Aditividad: $\int_0^\pi + \int_\pi^{2\pi} = 2 - 2 = 0 = \int_0^{2\pi} \sin x\, dx$ . Confiere.

Fuente. OpenStax Calculus Vol. 1, §5.2, Ejemplo 5.18 — CC-BY-NC-SA.

Example— 4· Estimación por cota (intermedio)

Problema. Muestra que $2 \leq \int_0^2 \sqrt{x+1}\, dx \leq 2\sqrt{3}$ .

Estrategia. Usa monotonía: acota $\sqrt{x+1}$ en $[0, 2]$ por debajo y por encima.

Resolución. En $[0, 2]$ : mínimo de $\sqrt{x+1}$ en $x = 0$ es $\sqrt{1} = 1$ ; máximo en $x = 2$ es $\sqrt{3}$ .

Por monotonía: $\int_0^2 1\, dx \leq \int_0^2 \sqrt{x+1}\, dx \leq \int_0^2 \sqrt{3}\, dx$ , es decir $2 \leq \int \leq 2\sqrt{3}$ .

Verificación. El valor exacto por el TFC: $\int_0^2 \sqrt{x+1}\, dx = \left[\frac{2}{3}(x+1)^{3/2}\right]_0^2 = \frac{2}{3}(3^{3/2} - 1) = \frac{2}{3}(3\sqrt{3} - 1) \approx 2{,}80$ , que está entre 2 y $2\sqrt{3} \approx 3{,}46$ . Confiere.

Fuente. Active Calculus, §4.2, Ejercicio 4.2.3 — CC-BY-NC-SA.

Example— 5· Valor medio de función continua (desafío)

Problema. Calcula el valor medio de $f(x) = x^2$ en el intervalo $[1, 4]$ .

Estrategia. Usa la fórmula del valor medio: $f_{\text{med}} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\, dx$ .

Resolución. $f_{\text{med}} = \frac{1}{4-1}\int_1^4 x^2\, dx = \frac{1}{3}\left[\frac{x^3}{3}\right]_1^4 = \frac{1}{3}\left(\frac{64}{3} - \frac{1}{3}\right) = \frac{1}{3} \cdot 21 = 7.$

Por el TVM integral, existe $c \in (1, 4)$ tal que $f(c) = 7$ , es decir $c^2 = 7$ , luego $c = \sqrt{7} \approx 2{,}65 \in (1, 4)$ . Confiere.

Verificación. $\sqrt{7} \approx 2{,}65$ está dentro del intervalo $(1, 4)$ , como garantizado por el TVM. Confiere.

Fuente. APEX Calculus, §5.3, Ejemplo 5.3.4 — CC-BY-NC.

Exercise list

30 exercises · 7 with worked solution (25%)

Application 20Understanding 2Modeling 4Challenge 3Proof 1

Ex. 82.1Application
Estima $\int_0^4 x^2\, dx$ usando suma de Riemann a la derecha con $n = 4$ y $\Delta x = 1$ .
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Ex. 82.2Application
Estima $\int_0^4 x^2\, dx$ usando suma de Riemann a la izquierda con $n = 4$ y $\Delta x = 1$ .
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Ex. 82.3Application
Calcula $\int_0^3 (2x + 1)\, dx$ .
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Ex. 82.4Application
Calcula $\int_1^4 3x^2\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.5ApplicationAnswer key
Calcula $\int_0^\pi \cos x\, dx$ e interpreta el resultado geométricamente.
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Ex. 82.6Application
Calcula $\int_0^1 e^x\, dx$ .
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Ex. 82.7Application
Calcula $\int_1^e \frac{1}{x}\, dx$ .
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Ex. 82.8Application
Calcula $\int_0^2 (3x^2 - 4x + 1)\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.9Application
Calcula $\int_0^{\pi/2} \sin x\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.10Application
Calcula $\int_{-1}^2 x^3\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.11Application
Sabiendo que $\int_0^2 f(x)\, dx = 3$ e $\int_2^5 f(x)\, dx = -4$ , calcula $\int_0^5 f(x)\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.12ApplicationAnswer key
Sabiendo que $\int_1^3 f(x)\, dx = 5$ e $\int_1^3 g(x)\, dx = 7$ , calcula $\int_1^3 (4f(x) - 2g(x))\, dx$ .
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Ex. 82.13Application
Si $\int_2^5 f(x)\, dx = -4$ , ¿cuál es $\int_5^2 f(x)\, dx$ ?
Solve online
Ex. 82.14ApplicationAnswer key
Calcula $\int_0^4 \sqrt{x}\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.15Application
Calcula $\int_0^{\pi/4} \sec^2 x\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.16Understanding
Sin calcular, ¿cuál es el signo de $\int_{-\pi}^\pi \sin x\, dx$ ?
Solve online
Ex. 82.17Understanding
¿Cuál afirmación sobre $\int_a^b f(x)\, dx$ es correcta?
Solve online
Ex. 82.18ModelingAnswer key
Un vehículo tiene velocidad $v(t) = 3t^2 + 2$ m/s. ¿Cuál es la distancia recorrida de $t = 0$ a $t = 4$ s?
Solve online
Ex. 82.19ModelingAnswer key
La temperatura de un reactor industrial varía como $T(t) = 2t + 1$ °C durante las 6 primeras horas de operación. Calcula la temperatura media en ese período.
Solve online
Ex. 82.20ApplicationAnswer key
Sabiendo que $\int_1^5 f(x)\, dx = 10$ e $\int_3^5 f(x)\, dx = 4$ , calcula $\int_1^3 f(x)\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.21Application
Calcula $\int_{-2}^2 x^3\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.22Application
Calcula $\int_2^5 (4 - x)\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.23Modeling
Calcula el área geométrica total (siempre positiva) delimitada por $y = \sin x$ y el eje $x$ en $[0, 2\pi]$ .
Solve online
Ex. 82.24Challenge
Usa la propiedad de monotonía para establecer cotas superior e inferior para $\int_0^1 (x^2 + 1)\, dx$ , sin calcular.
Solve online
Ex. 82.25Challenge
Calcula el valor medio de $f(x) = \sin x$ en $[0, \pi]$ y encuentra el valor de $c$ garantizado por el TVM integral.
Solve online
Ex. 82.26Application
Calcula $\int_0^{\pi/2} (\sin x + \cos x)\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.27Application
Calcula $\int_0^2 (e^x - 1)\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.28Challenge
Establece cotas para $\int_1^3 \sqrt{x}\, dx$ y después calcula el valor exacto.
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Ex. 82.29ModelingAnswer key
Una fuerza variable $F(x) = 10 - 2x$ N actúa sobre un objeto que se desplaza de $x = 0$ a $x = 3$ m. Calcula el trabajo realizado ( $W = \int_0^3 F(x)\, dx$ ).
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Ex. 82.30Proof
Demuestra la propiedad de inversión de los límites: $\int_b^a f(x)\, dx = -\int_a^b f(x)\, dx$ .
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Fuentes

Active Calculus — Boelkins · §4.2 · CC-BY-NC-SA. Construcción intuitiva de las sumas de Riemann, actividades con gráfica.
APEX Calculus — Hartman et al. · §5.2–5.3 · CC-BY-NC. Definición formal, propiedades, ejemplos numéricos.
OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · CC-BY-NC-SA. Criterio de integrabilidad, propiedades, ejemplos con funciones positivas y negativas.