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Lección 83 — Teorema Fundamental del Cálculo

TFC Parte 1 y Parte 2. El puente entre derivada e integral. Regla de Leibniz para límites variables. Newton y Leibniz, siglo XVII.

Used in: 3.º año de Bachillerato (17 años) · Equiv. Math II japonés cap. 6 · Equiv. Klasse 12 alemán

\int_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a), \quad F'(x) = f(x)

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Enunciado y demostraciones

TFC — Parte 1: derivar la integral

"El TFC1 afirma que la derivada de la función definida por una integral con límite superior variable es igual al integrando evaluado en el límite superior." — OpenStax Calculus Vol. 1, §5.3

Demostración del TFC1. Por definición de derivada:

$G'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{G(x+h) - G(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_x^{x+h} f(t)\, dt.$

Por el Teorema del Valor Medio Integral, existe $c_h$ entre $x$ y $x+h$ tal que $\int_x^{x+h} f(t)\, dt = f(c_h) \cdot h$ . Luego:

$G'(x) = \lim_{h \to 0} f(c_h).$

Como $c_h \to x$ cuando $h \to 0$ y $f$ es continua, $f(c_h) \to f(x)$ . Por lo tanto $G'(x) = f(x)$ . $\square$

TFC — Parte 2: calcular la integral

Demostración del TFC2. Por el TFC1, $G(x) = \int_a^x f(t)\, dt$ satisface $G' = f$ . Como $F' = f$ también, $F - G$ tiene derivada cero en $(a, b)$ , luego $F(x) = G(x) + C$ para alguna constante $C$ . Entonces:

$F(b) - F(a) = [G(b) + C] - [G(a) + C] = G(b) - G(a) = \int_a^b f - 0 = \int_a^b f. \quad \square$

Regla de Leibniz (límites variables)

Ejemplos resueltos

Example— 1· TFC2 aplicado a polinomio (básico)

Problema. Calcule $\displaystyle\int_1^3 (x^2 + 2x - 1)\, dx$ .

Estrategia. Encontrar antiderivada por el TFC2: $F(x)$ con $F'(x) = x^2 + 2x - 1$ . Después $F(3) - F(1)$ .

Resolución. $F(x) = \frac{x^3}{3} + x^2 - x.$

$\int_1^3 (x^2 + 2x - 1)\, dx = F(3) - F(1) = \left(9 + 9 - 3\right) - \left(\frac{1}{3} + 1 - 1\right) = 15 - \frac{1}{3} = \frac{44}{3}.$

Verificación. $F'(x) = x^2 + 2x - 1$ . Comprueba.

Fuente. APEX Calculus, §5.4, Ejemplo 5.4.2 — CC-BY-NC.

Example— 3· TFC1 para derivar integral (intermedio)

Problema. Calcule $\displaystyle\frac{d}{dx}\int_1^{x^3} \cos(t^2)\, dt$ .

Estrategia. TFC1 combinado con regla de la cadena: el límite superior es $v(x) = x^3$ .

Resolución. $\frac{d}{dx}\int_1^{x^3} \cos(t^2)\, dt = \cos((x^3)^2) \cdot (x^3)' = \cos(x^6) \cdot 3x^2.$

Verificación. La regla general de Leibniz: $\frac{d}{dx}\int_a^{v(x)} f(t)\, dt = f(v(x)) \cdot v'(x)$ . Aplicada con $f(t) = \cos(t^2)$ , $v(x) = x^3$ : $\cos(x^6) \cdot 3x^2$ . Comprueba.

Fuente. APEX Calculus, §5.4, Ejemplo 5.4.5 — CC-BY-NC.

Example— 4· Regla de Leibniz con ambos límites variables (intermedio)

Problema. Calcule $\displaystyle\frac{d}{dx}\int_x^{x^2} \frac{1}{t}\, dt$ para $x > 0$ .

Estrategia. Regla de Leibniz general: $f(v(x))v'(x) - f(u(x))u'(x)$ con $v(x) = x^2$ , $u(x) = x$ , $f(t) = 1/t$ .

Resolución. $\frac{d}{dx}\int_x^{x^2} \frac{1}{t}\, dt = \frac{1}{x^2} \cdot 2x - \frac{1}{x} \cdot 1 = \frac{2}{x} - \frac{1}{x} = \frac{1}{x}.$

Verificación. Alternativamente: $\int_x^{x^2} \frac{1}{t}\, dt = \ln(x^2) - \ln x = 2\ln x - \ln x = \ln x$ . Derivando: $(\ln x)' = 1/x$ . Comprueba.

Fuente. OpenStax Calculus Vol. 1, §5.3, Ejercicio 5.132 — CC-BY-NC-SA.

Example— 5· Área entre curva y eje con cambio de signo (desafío)

Problema. Calcule el área geométrica total entre $y = x^2 - 4$ y el eje $x$ en $[-3, 3]$ .

Estrategia. La función $f(x) = x^2 - 4$ es negativa en $(-2, 2)$ y positiva fuera. Dividir el intervalo en los ceros para sumar áreas con signo correcto.

Resolución. Ceros: $x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$ .

En $[-3, -2]$ y $[2, 3]$ : $f \geq 0$ . En $[-2, 2]$ : $f \leq 0$ .

$A = \int_{-3}^{-2}(x^2-4)\, dx + \left|\int_{-2}^{2}(x^2-4)\, dx\right| + \int_2^3(x^2-4)\, dx.$

$F(x) = x^3/3 - 4x$ .

$F(-2) - F(-3) = (-8/3 + 8) - (-9 + 12) = 16/3 - 3 = 7/3$ .
$F(2) - F(-2) = (8/3 - 8) - (-8/3 + 8) = -32/3$ . Valor absoluto: $32/3$ .
$F(3) - F(2) = (9 - 12) - (8/3 - 8) = -3 + 16/3 = 7/3$ .

Área total: $7/3 + 32/3 + 7/3 = 46/3$ .

Verificación. La integral $\int_{-3}^3 (x^2 - 4)\, dx = F(3) - F(-3) = (9-12) - (-9+12) = -3 - 3 = -6 \neq 46/3$ . La integral definida difiere del área geométrica cuando $f$ cambia de signo.

Fuente. Active Calculus, §4.4, Ejercicio 4.4.5 — CC-BY-NC-SA.

Exercise list

30 exercises · 7 with worked solution (25%)

Application 20Understanding 2Modeling 3Challenge 4Proof 1

Ex. 83.1Application
Calcule $\int_0^3 2x\, dx$ por el TFC2.
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Ex. 83.2Application
Calcule $\int_{-1}^2 x^3\, dx$ .
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Ex. 83.3Application
Calcule $\int_0^\pi \sin x\, dx$ .
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Ex. 83.4Application
Calcule $\int_0^2 e^x\, dx$ .
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Ex. 83.5Application
Calcule $\int_0^2 (x^2 - 4x + 1)\, dx$ .
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Ex. 83.6Application
Calcule $\int_1^e \frac{1}{x}\, dx$ .
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Ex. 83.7Application
Si $G(x) = \int_0^x (t^2 + 1)\, dt$ , calcule $G'(x)$ por el TFC1.
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Ex. 83.8Application
Calcule $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_0^{x^2} \sin t\, dt$ .
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Ex. 83.9Application
Calcule $\int_0^{\pi/4} \sec^2 x\, dx$ .
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Ex. 83.10Application
Calcule $\int_1^9 \sqrt{x}\, dx$ .
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Ex. 83.11Application
Calcule $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_0^{x^3} \sqrt{1 + t^2}\, dt$ .
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Ex. 83.12Application
Calcule $\int_0^\pi (\cos x + \sin x)\, dx$ .
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Ex. 83.13Application
Calcule $\int_0^1 (x^4 - 2x^2 + 1)\, dx$ .
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Ex. 83.14UnderstandingAnswer key
Si $G(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\, dt$ , ¿cuál es $G'(x)$ por el TFC1?
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Ex. 83.15Understanding
Si $F'(x) = f(x)$ , ¿cuál es la expresión correcta para $\int_a^b f(x)\, dx$ por el TFC2?
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Ex. 83.16ApplicationAnswer key
Calcule $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_x^1 t^3\, dt$ .
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Ex. 83.17Application
Calcule $\int_0^1 \frac{1}{1+x^2}\, dx$ .
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Ex. 83.18ModelingAnswer key
Un objeto tiene velocidad $v(t) = t^2 - 4t + 3$ m/s. Calcule el desplazamiento neto y la distancia total recorrida de $t = 0$ a $t = 4$ s.
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Ex. 83.19ApplicationAnswer key
Calcule $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_x^{x^2} e^{t^2}\, dt$ .
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Ex. 83.20Application
Calcule $\int_0^2 (2x^3 - 3x^2)\, dx$ .
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Ex. 83.21Modeling
El costo marginal de producción de una fábrica es $C'(q) = 2q + 50$ reales por unidad. Calcule el costo total de producir las primeras 100 unidades.
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Ex. 83.22ChallengeAnswer key
Defina $G(x) = \int_1^x (2t - 1)\, dt$ . Calcule $G(x)$ explícitamente, verifique que $G'(x) = 2x - 1$ , y evalúe $G(1)$ y $G(3)$ .
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Ex. 83.23ApplicationAnswer key
Sabiendo que $\int_0^5 f(x)\, dx = 12$ e $\int_0^2 f(x)\, dx = 5$ , calcule $\int_2^5 f(x)\, dx$ .
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Ex. 83.24Challenge
Calcule el área de la región delimitada por $y = x^2 - x$ y el eje $x$ en $[0, 1]$ .
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Ex. 83.25Application
Calcule $\int_{-2}^2 (x^2 - 1)\, dx$ .
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Ex. 83.26Application
Calcule $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_0^x \cos(t^2)\, dt$ sin calcular la antiderivada.
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Ex. 83.27ModelingAnswer key
La potencia eléctrica de una fábrica varía conforme $P(t) = 3 + 0{,}5t$ kW ( $t$ en horas). Calcule la energía consumida en las 12 primeras horas de operación y el costo al valor de R$ 0,85 por kWh.
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Ex. 83.28Challenge
Calcule $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_{\sin x}^{\cos x} t^2\, dt$ .
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Ex. 83.29Challenge
Calcule el valor medio de $f(x) = x^2$ en $[0, 3]$ y encuentre el punto $c$ garantizado por el TVM integral.
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Ex. 83.30Proof
Pruebe el TFC2 a partir del TFC1: si $F' = f$ y $f$ es continua en $[a,b]$ , entonces $\int_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a)$ .
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Fuentes

Active Calculus — Boelkins · §4.4 · CC-BY-NC-SA. Motivación física, actividad de descubrimiento de las dos partes del TFC.
APEX Calculus — Hartman et al. · §5.4 · CC-BY-NC. Demostraciones de TFC1 y TFC2, regla de Leibniz, ejercicios variados.
OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · CC-BY-NC-SA. Contexto histórico Newton/Leibniz, ejemplos de diferenciación de integrales.