Lección 84 — Técnica: sustitución (u-substitution)

Calcula $\int (2x+1)^4\, dx$.

Calcula $\int x(x^2 - 3)^5\, dx$.

Calcula $\int \cos^3 x \sin x\, dx$.

Calcula $\int x^2 e^{x^3 + 2}\, dx$.

Calcula $\int \frac{x}{x^2 + 1}\, dx$.

Calcula $\int \cos(3x)\, dx$.

Calcula $\int x e^{-x^2/2}\, dx$.

Calcula $\int \frac{(\ln x)^2}{x}\, dx$.

Calcula $\int \sin^4 x \cos x\, dx$.

Calcula $\int \sqrt{4 - 3x}\, dx$.

Calcula $\int (x+2)(x^2+4x)^3\, dx$.

Calcula $\int \sin(2x)\, dx$.

Calcula $\int_1^2 \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\, dx$.

Calcula $\int_0^1 \frac{e^x}{e^x + 1}\, dx$.

Calcula $\int \cot x\, dx$.

Calcula $\int e^{5x}\, dx$.

Calcula $\int \frac{x^2}{x^3 + 1}\, dx$.

¿Cuál sustitución $u$ es más adecuada para calcular $\int 3x^2(x^3+1)^4\, dx$?

Al intentar usar sustitución $u = g(x)$, se percata que el $g'(x)$ está multiplicado por una constante diferente de 1. ¿Qué hacer?

Calcula $\int_0^{\pi/4} e^{\sin^2 x} \sin x \cos x\, dx$.

Calcula $\int \tan^3 x \sec^2 x\, dx$.

Calcula $\int_1^2 x^2(x^3 + 1)^4\, dx$.

Un fondo de renta fija tiene tasa de aporte de R$ 500 por mes con crecimiento exponencial: $r(t) = 500 e^{0{,}08t}$ reales por mes. Calcula el saldo acumulado después de 12 meses.

Calcula $\int x\cos(x^2)\, dx$.

Calcula $\int \frac{1}{(1+\sqrt{x})\sqrt{x}}\, dx$.

Calcula $\int_0^\pi \cos(\sin x) \cos x\, dx$. (Pista: observa los límites después de la sustitución.)

Calcula $\int \frac{e^x}{e^{2x} + 1}\, dx$.

Intenta calcular $\int \sec^3 x\, dx$ por sustitución. Identifica por qué la sustitución simple falla aquí, y escribe la respuesta (que requiere integración por partes, Lección 85).

Demuestra que $\int f(ax + b)\, dx = \frac{1}{a} F(ax + b) + C$ donde $F' = f$ y $a \neq 0$.

Un vehículo tiene aceleración $a(t) = 10e^{-0{,}5t}$ m/s², partiendo del reposo ($v(0) = 0$). Encuentra $v(t)$ usando sustitución y calcula la velocidad en $t = 4$ s.