Lección 85 — Integración por partes

Calcula $\int x e^x\, dx$.

Calcula $\int x \sin x\, dx$.

Calcula $\int x \cos x\, dx$.

Calcula $\int \ln x\, dx$.

Calcula $\int x^2 e^x\, dx$. Aplica partes dos veces o usa el método tabular.

Calcula $\int x^2 \sin x\, dx$.

Calcula $\int x^2 \cos x\, dx$.

Calcula $\int x \ln x\, dx$.

Calcula $\int x^2 \ln x\, dx$.

Calcula $\int \arctan x\, dx$.

Calcula $\int \arcsin x\, dx$.

Calcula $\int x e^{2x}\, dx$.

Calcula $\int x \cdot 2^x\, dx$.

Calcula $\int x e^{-x}\, dx$.

Calcula $\int (\ln x)^2\, dx$. Aplica partes dos veces.

Calcula $\int e^x \cos x\, dx$.

Calcula $\int e^x \sin x\, dx$.

Calcula $\int e^{2x} \cos(3x)\, dx$.

Calcula $\int e^{-x} \sin(2x)\, dx$.

Calcula $\int \cos x \ln(\sin x)\, dx$.

Calcula $\int \sec^3 x\, dx$.

Calcula $\int \csc^3 x\, dx$.

Calcula $\int_0^1 x e^x\, dx$.

Calcula $\int_0^\pi x \sin x\, dx$.

Calcula $\int_1^e \ln x\, dx$.

Calcula $\int_0^{\pi/2} x \cos x\, dx$.

Calcula $\int_0^1 \arctan x\, dx$.

Calcula $\int_1^2 x^2 \ln x\, dx$.

Calcula $\int_0^1 x e^{-x}\, dx$.

Calcula $\int_0^{\pi/2} e^x \sin x\, dx$.

Trabajo realizado por una fuerza $F(x) = x e^{-x}$ N a lo largo de $[0, 1]$ m. Calcula $W = \int_0^1 F(x)\, dx$.

Carga eléctrica acumulada con corriente $i(t) = t\cos(\omega t)$. Calcula $Q = \int_0^{2\pi/\omega} i(t)\, dt$.

Función Gamma: calcula $\Gamma(2) = \int_0^\infty t e^{-t}\, dt$ y muestra que el resultado es $1$.

Esperanza de variable exponencial: calcula $E[X] = \int_0^\infty x \lambda e^{-\lambda x}\, dx$ y muestra que el resultado es $1/\lambda$.

Varianza de la exponencial: calcula $E[X^2] = \int_0^\infty x^2 \lambda e^{-\lambda x}\, dx$ y determina $\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2$.

Coeficiente de Fourier $a_n = (1/\pi)\int_{-\pi}^\pi x\cos(nx)\, dx$. Determina $a_n$ para todo entero $n \geq 1$.

Transformada de Laplace de $t$: muestra que $\mathcal{L}\{t\}(s) = \int_0^\infty t e^{-st}\, dt = 1/s^2$ para $s > 0$.

Valor presente de una renta creciente $C(t) = t$ (en mil reales/año) con tasa de descuento $r$ continua en $[0, T]$. Calcula $VP = \int_0^T t e^{-rt}\, dt$.

Calcula $\int x^3 e^{-x^2}\, dx$. Pista: sustituye $u = x^2$ primero, después aplica partes.

Calcula $\int e^{\sqrt{x}}\, dx$. Pista: sustituye $u = \sqrt{x}$, después aplica partes.

Muestra por inducción que $\int_0^\infty x^n e^{-x}\, dx = n!$ para todo entero $n \geq 0$, usando integración por partes en la etapa inductiva.

Sea $I_n = \int x^n e^x\, dx$. Muestra que $I_n = x^n e^x - n I_{n-1}$ y usa la fórmula para calcular $I_3$.

Deriva la fórmula de reducción $\int \sin^n x\, dx = -\frac{\sin^{n-1}x\cos x}{n} + \frac{n-1}{n}\int \sin^{n-2}x\, dx$ y aplica para calcular $\int \sin^4 x\, dx$.

Demostración. Prueba la fórmula $\int u\, dv = uv - \int v\, du$ a partir de la regla del producto para derivadas y del Teorema Fundamental del Cálculo.

Demostración (informal). Justifica por qué LIATE es una heurística eficaz: analiza cómo se comporta cada tipo de función al ser derivada y explica por qué Log e Inv-trig son los candidatos prioritarios para $u$.