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Lección 86 — Integrales de funciones racionales (fracciones parciales)

Descomposición de P(x)/Q(x) en suma de fracciones simples. Raíces reales simples, multiplicidad y cuadrático irreducible. Se reduce a integrales elementales en ln o arctan.

Used in: Cálculo II (Brasil) · Equiv. Math III japonês · Equiv. Analysis LK alemão · AP Calculus BC (EUA)

\frac{P(x)}{Q(x)} = \sum_{i} \frac{A_i}{(x - r_i)^{k_i}} + \sum_{j} \frac{B_j x + C_j}{(x^2 + p_j x + q_j)^{l_j}}

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Teorema, procedimiento y casos

Teorema de descomposición en fracciones parciales

Definition· Descomposición en fracciones parciales sobre ℝ

Sean $P, Q \in \mathbb{R}[x]$ con $\deg P < \deg Q$ , y sea

$Q(x) = a \prod_{i=1}^{s}(x - r_i)^{m_i} \prod_{j=1}^{t}(x^2 + p_j x + q_j)^{n_j}$

la factorización completa de $Q$ sobre $\mathbb{R}$ (con $p_j^2 - 4q_j < 0$ — factores cuadráticos irreducibles). Entonces existe una descomposición única:

$\frac{P(x)}{Q(x)} = \sum_{i=1}^{s} \sum_{k=1}^{m_i} \frac{A_{i,k}}{(x - r_i)^k} + \sum_{j=1}^{t} \sum_{l=1}^{n_j} \frac{B_{j,l} x + C_{j,l}}{(x^2 + p_j x + q_j)^l}.$

"We can always write the integrand as a sum of simpler rational functions using the method of partial fractions. The idea is to decompose the rational function into a sum of simpler pieces, each of which is easier to integrate." — OpenStax Calculus Vol. 2, §3.4

Procedimiento

Definition· Algoritmo de integración por fracciones parciales

Verifique el grado: si $\deg P \geq \deg Q$ , realice primero la división polinomial: $P/Q = S(x) + R(x)/Q(x)$ con $\deg R < \deg Q$ .
Factorice $Q(x)$ completamente sobre $\mathbb{R}$ .
Escriba la forma genérica con constantes $A_{i,k}$ , $B_{j,l}$ , $C_{j,l}$ .
Determine las constantes:
- Cover-up (raíces simples): sustituya $x = r_i$ directamente.
- Coeficientes: expanda e iguale grado a grado.
- Derivadas (multiplicidad alta): derive la identidad de numeradores.
Integre cada término según las reglas:

\int \frac{A}{x - r}\, dx = A \ln\lvert x - r\rvert + C.

what this means · Integral de fracción con raíz simple — resulta en logaritmo natural.

\int \frac{A}{(x - r)^k}\, dx = \frac{-A}{(k-1)(x-r)^{k-1}} + C, \quad k > 1.

what this means · Integral de fracción con raíz repetida de multiplicidad k mayor que 1.

Para el cuadrático irreducible $(x^2 + px + q)$ con $p^2 - 4q < 0$ : complete el cuadrado $(x + p/2)^2 + \beta^2$ y descomponga el numerador $Bx + C = B(x + p/2) + (C - Bp/2)$ . El primer término se integra en $\ln$ y el segundo en $\arctan$ .

"If the degree of the numerator is less than the degree of the denominator, the rational function is called proper, and partial fractions works directly. If not, perform polynomial division first to reduce to a proper fraction." — APEX Calculus §6.5

Fórmula de Heaviside

Para raíces simples $r_1, \ldots, r_n$ de $Q$ :

A_i = \frac{P(r_i)}{Q'(r_i)}.

what this means · Fórmula directa de los residuos para raíces simples — resultado del cover-up.

Ejemplos resueltos

Example— 1· Raíces simples — cover-up (básico)

Problema. Calcule $\int \dfrac{1}{x^2 - 1}\, dx$ .

Estrategia. Factorizar el denominador en raíces simples, aplicar cover-up, integrar cada $\ln$ .

Resolución.

$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$ . Descomposición: $\dfrac{1}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{A}{x-1} + \dfrac{B}{x+1}$ .

Multiplicando por $(x-1)(x+1)$ : $1 = A(x+1) + B(x-1)$ .

Cover-up: $x = 1 \Rightarrow 1 = 2A \Rightarrow A = 1/2$ . $x = -1 \Rightarrow 1 = -2B \Rightarrow B = -1/2$ .

$\int \frac{1}{x^2 - 1}\, dx = \frac{1}{2}\int \frac{dx}{x-1} - \frac{1}{2}\int \frac{dx}{x+1} = \frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{x-1}{x+1}\right\rvert + C.$

Verificación. Derivando el resultado: $\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}\right) = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{x^2 - 1} = \frac{1}{x^2 - 1}$ . Correcto.

Fuente. APEX Calculus §6.5, Example 6.5.1 — CC-BY-NC.

Example— 2· Raíz de multiplicidad 2 (intermedio)

Problema. Calcule $\int \dfrac{x + 1}{(x - 2)^2}\, dx$ .

Estrategia. Factor con multiplicidad 2: dos términos en la descomposición.

Resolución.

$\dfrac{x+1}{(x-2)^2} = \dfrac{A}{x-2} + \dfrac{B}{(x-2)^2}$ .

Multiplicando por $(x-2)^2$ : $x + 1 = A(x-2) + B$ .

En $x = 2$ : $3 = B$ . Coeficiente de $x$ : $1 = A$ . Por tanto $A = 1$ , $B = 3$ .

$\int \frac{x+1}{(x-2)^2}\, dx = \int \frac{1}{x-2}\, dx + \int \frac{3}{(x-2)^2}\, dx = \ln\lvert x - 2\rvert - \frac{3}{x - 2} + C.$

Verificación. Derive $\ln\lvert x-2\rvert - 3(x-2)^{-1}$ : $\frac{1}{x-2} + \frac{3}{(x-2)^2} = \frac{x-2+3}{(x-2)^2} = \frac{x+1}{(x-2)^2}$ . Correcto.

Fuente. OpenStax Calculus Vol. 2, §3.4, Example 3.40 — CC-BY-NC-SA.

Example— 3· Cuadrático irreducible (intermedio)

Problema. Calcule $\int \dfrac{x}{(x^2 + 1)(x - 1)}\, dx$ .

Estrategia. Factor lineal + factor cuadrático irreducible.

Resolución.

$\dfrac{x}{(x^2+1)(x-1)} = \dfrac{A}{x-1} + \dfrac{Bx + C}{x^2 + 1}$ .

Multiplicando por $(x^2+1)(x-1)$ : $x = A(x^2+1) + (Bx+C)(x-1)$ .

En $x = 1$ : $1 = 2A \Rightarrow A = 1/2$ .

Coeficiente de $x^2$ : $0 = A + B \Rightarrow B = -1/2$ .

Coeficiente de $x^0$ : $0 = A - C \Rightarrow C = 1/2$ .

$\int \frac{x}{(x^2+1)(x-1)}\, dx = \frac{1}{2}\ln\lvert x-1\rvert - \frac{1}{4}\ln(x^2+1) + \frac{1}{2}\arctan x + C.$

Verificación. Derivando el resultado confirma el integrando (álgebra).

Fuente. APEX Calculus §6.5, Example 6.5.3 — CC-BY-NC.

Example— 4· Grado alto — división polinomial primero (intermedio)

Problema. Calcule $\int \dfrac{x^3 + 1}{x^2 - 1}\, dx$ .

Estrategia. $\deg P = 3 \geq \deg Q = 2$ : dividir primero.

Resolución.

División: $\dfrac{x^3 + 1}{x^2 - 1} = x + \dfrac{x + 1}{x^2 - 1}$ .

Fracciones parciales de $\dfrac{x+1}{x^2-1} = \dfrac{x+1}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{1}{x-1}$ (simplifica directamente).

$\int \frac{x^3+1}{x^2-1}\, dx = \int x\, dx + \int \frac{1}{x-1}\, dx = \frac{x^2}{2} + \ln\lvert x-1\rvert + C.$

Verificación. Derivando: $x + \frac{1}{x-1} = \frac{x(x-1)+1}{x-1} = \frac{x^2 - x + 1}{x-1}$ . Multiplique por $(x+1)/(x+1)$ : $\frac{(x^2-x+1)(x+1)}{x^2-1} = \frac{x^3+1}{x^2-1}$ . Correcto.

Fuente. OpenStax Calculus Vol. 2, §3.4, Example 3.41 — CC-BY-NC-SA.

Example— 5· Ecuación logística — fracciones parciales en EDO (desafío)

Problema. Resuelva $\int \dfrac{dN}{N(1 - N/K)}$ usando fracciones parciales (paso clave en la solución de la ecuación logística).

Estrategia. Reescribir el denominador como producto; cover-up; integrar.

Resolución.

$\dfrac{1}{N(1 - N/K)} = \dfrac{1}{N\cdot\frac{K-N}{K}} = \dfrac{K}{N(K-N)}$ .

Descomposición: $\dfrac{K}{N(K-N)} = \dfrac{A}{N} + \dfrac{B}{K-N}$ .

Multiplicando: $K = A(K-N) + BN$ .

$N = 0$ : $K = AK \Rightarrow A = 1$ . $N = K$ : $K = BK \Rightarrow B = 1$ .

$\int \frac{dN}{N(1-N/K)} = \int \frac{dN}{N} + \int \frac{dN}{K - N} = \ln\lvert N\rvert - \ln\lvert K - N\rvert + C_0 = \ln\left\lvert\frac{N}{K-N}\right\rvert + C_0.$

Igualando a $rt + C_1$ y exponenciando: $\dfrac{N}{K-N} = Ae^{rt}$ , de donde $N(t) = \dfrac{K}{1 + B e^{-rt}}$ .

Verificación. Compruebe que $N(t) = K/(1 + Be^{-rt})$ satisface $\dot{N} = rN(1 - N/K)$ (derivación directa).

Fuente. Active Calculus §5.5, Activity 5.5.2 — CC-BY-NC-SA.

Exercise list

35 exercises · 8 with worked solution (25%)

Application 26Modeling 4Challenge 3Proof 2

Ex. 86.1Application
Descomponga $\dfrac{1}{x^2 - 1}$ en fracciones parciales.
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Ex. 86.2Application
Descomponga $\dfrac{1}{x(x+1)}$ en fracciones parciales.
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Ex. 86.3Application
Descomponga $\dfrac{x}{(x-1)(x-2)}$ en fracciones parciales.
Solve online
Ex. 86.4Application
Descomponga $\dfrac{2x + 1}{x^2 - x - 6}$ en fracciones parciales.
Solve online
Ex. 86.5Application
Descomponga $\dfrac{1}{x^3 - x}$ en fracciones parciales.
Solve online
Ex. 86.6ApplicationAnswer key
Descomponga $\dfrac{x + 1}{(x - 2)^2}$ en fracciones parciales.
Solve online
Ex. 86.7Application
Descomponga $\dfrac{1}{x^2(x + 1)}$ en fracciones parciales.
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Ex. 86.8Application
Muestre que $\dfrac{1}{x^2 + 1}$ ya es una fracción simple (denominador cuadrático irreducible) y calcule su integral.
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Ex. 86.9ApplicationAnswer key
Descomponga $\dfrac{x}{(x^2 + 1)(x - 1)}$ en fracciones parciales.
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Ex. 86.10ApplicationAnswer key
Calcule $\int \dfrac{1}{x^2 - 1}\, dx$ .
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Ex. 86.11Application
Calcule $\int \dfrac{1}{x(x+1)}\, dx$ .
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Ex. 86.12ApplicationAnswer key
Calcule $\int \dfrac{x}{(x-1)(x-2)}\, dx$ .
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Ex. 86.13Application
Calcule $\int \dfrac{1}{x^2 - 4}\, dx$ .
Solve online
Ex. 86.14Application
Calcule $\int \dfrac{1}{x^2 - 9}\, dx$ .
Solve online
Ex. 86.15ApplicationAnswer key
Calcule $\int \dfrac{x + 4}{x^2 + 5x + 6}\, dx$ .
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Ex. 86.16Application
Calcule $\int \dfrac{3}{x^2 + x - 2}\, dx$ .
Solve online
Ex. 86.17ApplicationAnswer key
Calcule $\int \dfrac{1}{x^3 - x}\, dx$ .
Solve online
Ex. 86.18Application
Calcule $\int \dfrac{1}{(x - 1)^2}\, dx$ .
Solve online
Ex. 86.19Application
Calcule $\int \dfrac{x + 1}{(x - 2)^2}\, dx$ .
Solve online
Ex. 86.20Application
Calcule $\int \dfrac{1}{x^2(x + 1)}\, dx$ .
Solve online
Ex. 86.21ApplicationAnswer key
Calcule $\int \dfrac{1}{x^2 + 4}\, dx$ .
Solve online
Ex. 86.22Application
Calcule $\int \dfrac{1}{x^2 + 2x + 5}\, dx$ .
Solve online
Ex. 86.23Application
Calcule $\int \dfrac{2x + 3}{x^2 + 2x + 5}\, dx$ .
Solve online
Ex. 86.24Application
Calcule $\int \dfrac{x}{(x^2 + 1)(x - 1)}\, dx$ .
Solve online
Ex. 86.25ApplicationAnswer key
Calcule $\int \dfrac{1}{x^4 - 1}\, dx$ . Pista: factorice como $(x^2-1)(x^2+1)$ .
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Ex. 86.26Application
Calcule $\int \dfrac{x^3 + 1}{x^2 - 1}\, dx$ . Divida primero.
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Ex. 86.27Modeling
Ecuación logística $\dot{N} = rN(1 - N/K)$ . Separe e integre $\int \dfrac{dN}{N(1 - N/K)}$ para encontrar $N(t)$ .
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Ex. 86.28Modeling
Laplace inversa: dado $H(s) = \dfrac{1}{s(s+1)}$ , use fracciones parciales para encontrar $h(t) = \mathcal{L}^{-1}\{H(s)\}$ .
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Ex. 86.29Modeling
Distribución de Cauchy: determine la constante $c$ tal que $f(x) = c/(1+x^2)$ sea densidad de probabilidad en $\mathbb{R}$ .
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Ex. 86.30Modeling
Reacción química $\dot{c} = k(a - c)(b - c)$ con $a \neq b$ . Separe e integre mediante fracciones parciales.
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Ex. 86.31Challenge
Calcule $\int \dfrac{1}{x^4 + 1}\, dx$ . Pista: factorice como $(x^2 + \sqrt{2}x + 1)(x^2 - \sqrt{2}x + 1)$ .
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Ex. 86.32Challenge
Calcule $\int \dfrac{1}{x^3 + 1}\, dx$ . Factorice primero el denominador.
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Ex. 86.33Challenge
Calcule $\int \dfrac{x^2}{(x^2 + 1)^2}\, dx$ .
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Ex. 86.34Proof
Demostración. Pruebe la fórmula de Heaviside $A_i = P(r_i)/Q'(r_i)$ para raíces simples $r_i$ de $Q$ .
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Ex. 86.35Proof
Demostración. Pruebe que la descomposición en fracciones parciales es única para $P/Q$ con $\deg P < \deg Q$ .
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Fuentes

APEX Calculus v5 — Hartman et al. · 2024 · CC-BY-NC · §6.5. Fuente primaria.
Calculus Volume 2 (OpenStax) — OpenStax · 2016 · CC-BY-NC-SA · §3.4.
Active Calculus 2.0 — Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA · §5.5.