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Lección 87 — Integrales trigonométricas y sustitución trigonométrica

∫ sinⁿcos^m via identidades y sub u. Sustitución trigonométrica para radicales √(a²±x²) y √(x²−a²). Fórmulas de reducción de potencias.

Used in: Cálculo II (Brasil) · Equiv. Math III japonês · Equiv. Analysis LK alemão · AP Calculus BC (EUA)

\int \sin^n x \cos^m x\, dx \quad \bigg| \quad x = a\sin\theta,\; x = a\tan\theta,\; x = a\sec\theta

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Identidades, patrones y sustituciones

Patrones para $\int \sin^n x \cos^m x\, dx$

Definition· Estrategia según paridad de los exponentes

Situación	Estrategia
$n$ impar	Reserve $\sin x\, dx$ ; convierta $\sin^{n-1}$ vía $\sin^2 = 1 - \cos^2$ ; sustituya $u = \cos x$
$m$ impar	Reserve $\cos x\, dx$ ; convierta $\cos^{m-1}$ vía $\cos^2 = 1 - \sin^2$ ; sustituya $u = \sin x$
Ambos pares	Use ángulo mitad repetidamente

Para $\int \tan^n x \sec^m x\, dx$ :

Situación	Estrategia
$m$ par	Reserve $\sec^2 x\, dx$ ; convierta vía $\sec^2 = 1 + \tan^2$ ; sub $u = \tan x$
$n$ impar	Reserve $\sec x \tan x\, dx$ ; convierta vía $\tan^2 = \sec^2 - 1$ ; sub $u = \sec x$

"The strategy for integrating a product of powers of sine and cosine depends on the parities of the exponents involved. When one of the exponents is odd, we 'peel off' one factor and use the Pythagorean identity to convert the remaining even power." — OpenStax Calculus Vol. 2, §3.2

Sustitución trigonométrica

"The idea behind trigonometric substitution is to replace an expression involving a square root with a trigonometric expression, which is easier to integrate." — APEX Calculus §6.4

Ejemplos resolvidos

Example— 1· Potencia impar de seno (básico)

Problema. Calcule $\int \sin^3 x\, dx$ .

Estrategia. Exponente impar: reserve $\sin x\, dx$ , convierta $\sin^2 = 1 - \cos^2$ , sustituya $u = \cos x$ .

Resolución.

$\int \sin^3 x\, dx = \int \sin^2 x \cdot \sin x\, dx = \int (1 - \cos^2 x)\sin x\, dx$ .

Sub $u = \cos x$ , $du = -\sin x\, dx$ :

$-\int (1 - u^2)\, du = -u + u^3/3 + C = -\cos x + \frac{\cos^3 x}{3} + C$ .

Verificación. Derivando: $\sin x - \cos^2 x\sin x = \sin x(1 - \cos^2 x) = \sin^3 x$ . Correcto.

Fuente. APEX Calculus §6.3, Example 6.3.1 — CC-BY-NC.

Example— 2· Exponentes pares — ángulo mitad (básico)

Problema. Calcule $\int \sin^2 x \cos^2 x\, dx$ .

Estrategia. Ambos pares: use $\sin x\cos x = \sin(2x)/2$ y luego ángulo mitad.

Resolución.

$\sin^2 x\cos^2 x = (\sin x\cos x)^2 = \frac{\sin^2(2x)}{4} = \frac{1}{4}\cdot\frac{1 - \cos 4x}{2} = \frac{1 - \cos 4x}{8}$ .

$\int \sin^2 x\cos^2 x\, dx = \frac{x}{8} - \frac{\sin 4x}{32} + C.$

Verificación. Derivando: $1/8 - \cos(4x)/8 = (1 - \cos 4x)/8 = \sin^2(2x)/4 = \sin^2 x\cos^2 x$ . Correcto.

Fuente. OpenStax Calculus Vol. 2, §3.2, Example 3.12 — CC-BY-NC-SA.

Example— 3· Sustitución x = a sen θ para √(a² − x²) (intermedio)

Problema. Calcule $\int \sqrt{4 - x^2}\, dx$ .

Estrategia. Radical $\sqrt{a^2 - x^2}$ con $a = 2$ : sub $x = 2\sin\theta$ .

Resolución.

$dx = 2\cos\theta\, d\theta$ ; $\sqrt{4 - x^2} = \sqrt{4 - 4\sin^2\theta} = 2\cos\theta$ (con $\theta \in [-\pi/2, \pi/2]$ ).

$\int 2\cos\theta \cdot 2\cos\theta\, d\theta = 4\int\cos^2\theta\, d\theta = 4\cdot\frac{\theta + \sin\theta\cos\theta}{2} = 2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + C$ .

Triángulo de referencia ( $\sin\theta = x/2$ , hipotenusa 2, cateto adyacente $\sqrt{4-x^2}$ ):

$\theta = \arcsin(x/2)$ ; $\cos\theta = \sqrt{4-x^2}/2$ .

Resultado: $2\arcsin(x/2) + 2\cdot\frac{x}{2}\cdot\frac{\sqrt{4-x^2}}{2} + C = 2\arcsin(x/2) + \frac{x\sqrt{4-x^2}}{2} + C$ .

Verificación. Derivando (regla de la cadena): $\frac{2}{\sqrt{4-x^2}} + \frac{\sqrt{4-x^2} - x^2/\sqrt{4-x^2}}{2} = \frac{2}{\sqrt{4-x^2}} + \frac{4 - 2x^2}{2\sqrt{4-x^2}} = \sqrt{4-x^2}$ . Correcto.

Fuente. APEX Calculus §6.4, Example 6.4.2 — CC-BY-NC.

Example— 4· Sustitución x = a tan θ para √(a² + x²) (intermedio)

Problema. Calcule $\int \dfrac{1}{\sqrt{1 + x^2}}\, dx$ .

Estrategia. Radical $\sqrt{a^2 + x^2}$ con $a = 1$ : sub $x = \tan\theta$ .

Resolución.

$dx = \sec^2\theta\, d\theta$ ; $\sqrt{1+x^2} = \sec\theta$ .

$\int \frac{\sec^2\theta}{\sec\theta}\, d\theta = \int \sec\theta\, d\theta = \ln\lvert\sec\theta + \tan\theta\rvert + C$ .

Triángulo ( $\tan\theta = x$ , hipotenusa $\sqrt{1+x^2}$ ): $\sec\theta = \sqrt{1+x^2}$ , $\tan\theta = x$ .

Resultado: $\ln\lvert x + \sqrt{1+x^2}\rvert + C$ (equivalente a $\text{arcsinh}(x) + C$ ).

Verificación. Derivando $\ln(x + \sqrt{1+x^2})$ : $\frac{1 + x/\sqrt{1+x^2}}{x + \sqrt{1+x^2}} = \frac{(\sqrt{1+x^2}+x)/\sqrt{1+x^2}}{x+\sqrt{1+x^2}} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ . Correcto.

Fuente. OpenStax Calculus Vol. 2, §3.3, Example 3.15 — CC-BY-NC-SA.

Example— 5· Fórmula de reducción y aplicación (desafío)

Problema. Derive la fórmula de reducción $\int \sin^n x\, dx = -\frac{\sin^{n-1}x\cos x}{n} + \frac{n-1}{n}\int\sin^{n-2}x\, dx$ y úsela para calcular $\int_0^{\pi/2}\sin^4 x\, dx$ .

Estrategia. Derivar por partes; aplicar para $n = 4$ y $n = 2$ .

Resolución.

Derivación: $u = \sin^{n-1}x$ , $dv = \sin x\, dx$ . $du = (n-1)\sin^{n-2}x\cos x\, dx$ , $v = -\cos x$ .

$\int\sin^n x\, dx = -\sin^{n-1}x\cos x + (n-1)\int\cos^2 x\sin^{n-2}x\, dx$ .

Sustituya $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ :

$(n-1)\int(1 - \sin^2 x)\sin^{n-2}x\, dx = (n-1)\int\sin^{n-2}x\, dx - (n-1)\int\sin^n x\, dx$ .

Reorganice: $n\int\sin^n x\, dx = -\sin^{n-1}x\cos x + (n-1)\int\sin^{n-2}x\, dx$ . Divida por $n$ .

Aplicación: $n = 4$ : $\int\sin^4 x\, dx = -\frac{\sin^3 x\cos x}{4} + \frac{3}{4}\int\sin^2 x\, dx$ .

$\int\sin^2 x\, dx = x/2 - \sin(2x)/4$ .

Evaluando en $[0, \pi/2]$ : $\int_0^{\pi/2}\sin^4 x\, dx = 0 + \frac{3}{4}\left[\frac{\pi}{4} - 0\right] = \frac{3\pi}{16}$ .

Verificación. Fórmula de Wallis: $\int_0^{\pi/2}\sin^4 x\, dx = \frac{3\cdot 1}{4\cdot 2}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{16}$ . Confirma.

Fuente. APEX Calculus §6.3, Theorem 6.3.1 — CC-BY-NC.

Exercise list

32 exercises · 8 with worked solution (25%)

Application 24Modeling 4Challenge 2Proof 2

Ex. 87.1Application
Calcule $\int \sin^2 x\, dx$ .
Solve online
Ex. 87.2Application
Calcule $\int \cos^2 x\, dx$ .
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Ex. 87.3ApplicationAnswer key
Calcule $\int \sin^3 x\, dx$ .
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Ex. 87.4Application
Calcule $\int \cos^3 x\, dx$ .
Solve online
Ex. 87.5ApplicationAnswer key
Calcule $\int \sin^4 x\, dx$ .
Solve online
Ex. 87.6Application
Calcule $\int \cos^4 x\, dx$ .
Solve online
Ex. 87.7Application
Calcule $\int \sin^5 x\, dx$ .
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Ex. 87.8Application
Calcule $\int \tan^2 x\, dx$ .
Solve online
Ex. 87.9ApplicationAnswer key
Calcule $\int \sin^2 x \cos^2 x\, dx$ .
Solve online
Ex. 87.10ApplicationAnswer key
Calcule $\int \sin^3 x \cos x\, dx$ .
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Ex. 87.11ApplicationAnswer key
Calcule $\int \sin x \cos^3 x\, dx$ .
Solve online
Ex. 87.12Application
Calcule $\int \sin^3 x \cos^2 x\, dx$ .
Solve online
Ex. 87.13Application
Calcule $\int \sin(3x)\cos(2x)\, dx$ .
Solve online
Ex. 87.14Application
Calcule $\int \tan^2 x \sec^2 x\, dx$ .
Solve online
Ex. 87.15Application
Calcule $\int \sqrt{1 - x^2}\, dx$ .
Solve online
Ex. 87.16Application
Calcule $\int \sqrt{4 - x^2}\, dx$ .
Solve online
Ex. 87.17Application
Calcule $\int \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\, dx$ .
Solve online
Ex. 87.18ApplicationAnswer key
Calcule $\int \dfrac{1}{\sqrt{9 - x^2}}\, dx$ .
Solve online
Ex. 87.19Application
Calcule $\int \dfrac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}}\, dx$ .
Solve online
Ex. 87.20Application
Calcule $\int \dfrac{1}{1 + x^2}\, dx$ vía sustitución $x = \tan\theta$ .
Solve online
Ex. 87.21Application
Calcule $\int \dfrac{1}{\sqrt{1 + x^2}}\, dx$ .
Solve online
Ex. 87.22Application
Calcule $\int \sqrt{1 + x^2}\, dx$ .
Solve online
Ex. 87.23ApplicationAnswer key
Calcule $\int \dfrac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}\, dx$ .
Solve online
Ex. 87.24Application
Calcule $\int \sqrt{x^2 - 4}\, dx$ .
Solve online
Ex. 87.25Modeling
Demuestre que el área del círculo de radio $r$ es $\pi r^2$ calculando $A = 4\int_0^r \sqrt{r^2 - x^2}\, dx$ .
Solve online
Ex. 87.26Modeling
Distribución de Cauchy: verifique que $f(x) = \dfrac{1}{\pi(1+x^2)}$ satisface $\int_{-\infty}^\infty f(x)\, dx = 1$ .
Solve online
Ex. 87.27Modeling
Tensión eficaz (RMS) de $v(t) = V_0\sin(\omega t)$ : calcule $V_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T v^2\, dt}$ donde $T = 2\pi/\omega$ .
Solve online
Ex. 87.28Modeling
Área de la elipse $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$ : calcule $A = 4\int_0^a \frac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2}\, dx$ y demuestre que $A = \pi ab$ .
Solve online
Ex. 87.29ChallengeAnswer key
Calcule $\int \sec^5 x\, dx$ usando la fórmula de reducción para $\sec^n$ .
Solve online
Ex. 87.30Challenge
Calcule $\int \dfrac{1}{\sin x}\, dx = \int \csc x\, dx$ usando la sustitución de Weierstrass $t = \tan(x/2)$ .
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Ex. 87.31Proof
Demostración. Demuestre la fórmula de reducción $\int \sin^n x\, dx = -\frac{\sin^{n-1}x\cos x}{n} + \frac{n-1}{n}\int\sin^{n-2}x\, dx$ usando integración por partes.
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Ex. 87.32Proof
Demostración. Demuestre que $\int \sec x\, dx = \ln\lvert \sec x + \tan x\rvert + C$ multiplicando por $(\sec x + \tan x)/(\sec x + \tan x)$ .
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Fuentes

APEX Calculus v5 — Hartman et al. · 2024 · CC-BY-NC · §6.3–6.4. Fuente primaria.
Calculus Volume 2 (OpenStax) — OpenStax · 2016 · CC-BY-NC-SA · §3.2–3.3.
Active Calculus 2.0 — Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA · §5.4–5.5.

Identidades, patrones y sustituciones

Identidades fundamentales

Patrones para ∫sin⁡nxcos⁡mx dx\int \sin^n x \cos^m x\, dx∫sinnxcosmxdx

Sustitución trigonométrica

Fórmulas de reducción

Ejemplos resolvidos

Fuentes

Patrones para $\int \sin^n x \cos^m x\, dx$