v1 · padrão canônico

Lección 88 — Área entre curvas

A = ∫ₐᵇ [f(x) − g(x)] dx, con f ≥ g en [a, b]. Determinación de intersecciones, elección del eje de integración, cruzamiento de curvas.

Used in: Cálculo II (Brasil) · Equiv. Math III japonés · Equiv. Analysis LK alemán · AP Calculus BC (EUA)

A = \int_a^b [f(x) - g(x)]\, dx, \quad f(x) \geq g(x) \text{ en } [a, b]

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definición, justificación y procedimiento

Definición y justificación vía Riemann

Definition· Área entre dos curvas

Sean $f$ y $g$ continuas en $[a, b]$ con $f(x) \geq g(x)$ para todo $x \in [a, b]$ . El área de la región $R = \{(x, y) : a \leq x \leq b,\ g(x) \leq y \leq f(x)\}$ es

A(R) = \int_a^b [f(x) - g(x)]\, dx.

what this means · Fórmula fundamental para el área entre curvas — integración de la diferencia superior menos inferior.

Justificación: para cada $x_i^*$ en un subintervalo de longitud $\Delta x$ , un rectángulo de altura $[f(x_i^*) - g(x_i^*)]$ y ancho $\Delta x$ aproxima el área local. La suma de Riemann $\sum_i [f(x_i^*) - g(x_i^*)]\Delta x$ converge a la integral cuando $n \to \infty$ .

"The area of the region between the graphs of $f$ and $g$ is found by integrating the difference $f - g$ over the interval, provided $f \geq g$ throughout. If the graphs cross, break the interval at the crossing points." — Active Calculus §6.1

Integración en $y$

Izquierda: integración en x (rectángulos verticales). Derecha: integración en y (rectángulos horizontales).

Procedimiento general

"Finding the area of a region between two curves requires careful attention to the sign of the integrand. Always determine which function is greater on the interval of integration." — APEX Calculus §7.1

Ejemplos resueltos

Example— 1· Área clásica x² y x (básico)

Problema. Calcule el área entre $y = x$ y $y = x^2$ en el intervalo $[0, 1]$ .

Estrategia. Encontrar intersección, verificar cuál está arriba, integrar la diferencia.

Resolución.

Intersección: $x = x^2 \Rightarrow x(x-1) = 0 \Rightarrow x = 0$ o $x = 1$ .

En $(0, 1)$ : $x > x^2$ (verifique: $0{,}5 > 0{,}25$ ). Entonces $f = x$ , $g = x^2$ .

$A = \int_0^1 (x - x^2)\, dx = \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}.$

Verificación. $1/6 \approx 0{,}167$ . El esbozo muestra la región triangular-curva cubriendo aproximadamente $17\%$ del cuadrado $[0,1]^2$ . Plausible.

Fuente. Active Calculus §6.1, Activity 6.1.1 — CC-BY-NC-SA.

Example— 2· Curvas con cruzamiento — sin y cos (intermedio)

Problema. Calcule el área entre $y = \sin x$ y $y = \cos x$ en $[0, \pi/2]$ .

Estrategia. Las curvas se cruzan en $x = \pi/4$ . Dividir e integrar cada trecho por separado.

Resolución.

Cruzamiento: $\sin x = \cos x \Rightarrow \tan x = 1 \Rightarrow x = \pi/4$ .

En $[0, \pi/4]$ : $\cos x \geq \sin x$ . En $[\pi/4, \pi/2]$ : $\sin x \geq \cos x$ .

$A = \int_0^{\pi/4}(\cos x - \sin x)\, dx + \int_{\pi/4}^{\pi/2}(\sin x - \cos x)\, dx$ .

$= [\sin x + \cos x]_0^{\pi/4} + [-\cos x - \sin x]_{\pi/4}^{\pi/2}$

$= (\sqrt{2} - 1) + ((-0 - 1) - (-\sqrt{2}/2 - \sqrt{2}/2))$

$= (\sqrt{2} - 1) + (-1 + \sqrt{2}) = 2\sqrt{2} - 2 \approx 0{,}83$ .

Verificación. Por simetría del problema, las dos parcelas son iguales: cada una vale $\sqrt{2} - 1$ . Suma $= 2(\sqrt{2} - 1)$ . Consistente.

Fuente. APEX Calculus §7.1, Example 7.1.3 — CC-BY-NC.

Example— 3· Integración en y — parábola horizontal (intermedio)

Problema. Calcule el área de la región delimitada por $x = y^2$ y $x = y + 2$ .

Estrategia. Las curvas son más naturales en $y$ . Encontrar intersección en $y$ , integrar $h(y) - k(y)$ .

Resolución.

Intersección: $y^2 = y + 2 \Rightarrow y^2 - y - 2 = 0 \Rightarrow (y-2)(y+1) = 0 \Rightarrow y = -1$ o $y = 2$ .

En $[-1, 2]$ : $y + 2 \geq y^2$ (verifique en $y = 0$ : $2 \geq 0$ ). Entonces $h = y + 2$ , $k = y^2$ .

$A = \int_{-1}^2 [(y + 2) - y^2]\, dy = \left[\frac{y^2}{2} + 2y - \frac{y^3}{3}\right]_{-1}^2.$

En $y = 2$ : $2 + 4 - 8/3 = 6 - 8/3 = 10/3$ .

En $y = -1$ : $1/2 - 2 + 1/3 = -7/6$ .

$A = 10/3 - (-7/6) = 20/6 + 7/6 = 27/6 = 9/2$ .

Verificación. La integración en $x$ exigiría dos partes (la parábola $x = y^2$ tiene dos "salidas" en $x$ ) — más laboriosa. La integración en $y$ fue más eficiente.

Fuente. OpenStax Calculus Vol. 2, §2.1, Example 2.5 — CC-BY-NC-SA.

Example— 4· Excedente del consumidor (modelado)

Problema. Curva de demanda $D(q) = 100 - q$ , precio de equilibrio $p^* = 60$ , cantidad $Q^* = 40$ . Calcule el excedente del consumidor.

Estrategia. $CS = \int_0^{Q^*} [D(q) - p^*]\, dq$ — área entre la curva de demanda y la recta horizontal de precio.

Resolución.

$CS = \int_0^{40} [(100 - q) - 60]\, dq = \int_0^{40}(40 - q)\, dq = \left[40q - \frac{q^2}{2}\right]_0^{40} = 1600 - 800 = 800.$

Verificación. Geométricamente, la región es un triángulo de base $40$ y altura $D(0) - p^* = 40$ . Área = $(40 \cdot 40)/2 = 800$ . Confirma.

Fuente. Active Calculus §6.1, Exercise 6.1.5 — CC-BY-NC-SA.

Example— 5· Área con subdivisión — polinomio cúbico (desafío)

Problema. Calcule el área total de la región entre $y = x^3 - 4x$ y el eje $x$ en $[-2, 2]$ .

Estrategia. Identificar dónde $x^3 - 4x$ cambia de signo; dividir el intervalo; usar $|f|$ en cada parte.

Resolución.

Ceros: $x^3 - 4x = x(x^2 - 4) = 0 \Rightarrow x = -2, 0, 2$ .

En $[-2, 0]$ : $f(x) = x^3 - 4x \geq 0$ (verifique $f(-1) = -1 + 4 = 3 > 0$ ).

En $[0, 2]$ : $f(x) \leq 0$ (verifique $f(1) = 1 - 4 = -3 < 0$ ).

$A = \int_{-2}^0 (x^3 - 4x)\, dx + \int_0^2 [0 - (x^3 - 4x)]\, dx$ .

Para la 1ª parte: $\left[\frac{x^4}{4} - 2x^2\right]_{-2}^0 = 0 - (4 - 8) = 4$ .

Para la 2ª parte: $\left[-\frac{x^4}{4} + 2x^2\right]_0^2 = (-4 + 8) - 0 = 4$ .

$A = 4 + 4 = 8$ .

Verificación. Por simetría impar de $f$ , las dos áreas son iguales. Total $= 8$ .

Fuente. APEX Calculus §7.1, Example 7.1.4 — CC-BY-NC.

Exercise list

30 exercises · 7 with worked solution (25%)

Application 18Modeling 7Challenge 3Proof 2

Ex. 88.1Application
Calcule el área entre $y = x$ y $y = x^2$ en $[0, 1]$ .
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Ex. 88.2ApplicationAnswer key
Calcule el área entre $y = x^2$ y $y = 2x$ .
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Ex. 88.3Application
Calcule el área entre $y = \sqrt{x}$ y $y = x$ en $[0, 1]$ .
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Ex. 88.4Application
Calcule el área entre $y = x^2$ y $y = x^3$ en $[0, 1]$ .
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Ex. 88.5Application
Calcule el área entre $y = \sin x$ y el eje $x$ en $[0, \pi]$ .
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Ex. 88.6Application
Calcule el área entre $y = \cos x$ y el eje $x$ en $[0, \pi]$ .
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Ex. 88.7Application
Calcule el área entre $y = e^x$ y $y = e^{-x}$ en $[0, 1]$ .
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Ex. 88.8ApplicationAnswer key
Calcule el área entre $y = \ln x$ y el eje $x$ en $[1, e]$ .
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Ex. 88.9Application
Calcule el área entre $y = \sin x$ y $y = \cos x$ en $[0, \pi/2]$ .
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Ex. 88.10Application
Calcule el área entre $y = x^2 - 1$ y $y = 1 - x^2$ .
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Ex. 88.11Application
Calcule el área entre $y = x^3$ y $y = x$ en $[-1, 1]$ .
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Ex. 88.12Application
Calcule el área entre $y = x^2 - 4x + 3$ y el eje $x$ en $[0, 4]$ .
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Ex. 88.13Application
Calcule el área entre $x = y^2$ y $x = y$ en $[0, 1]$ (en $y$ ).
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Ex. 88.14Application
Calcule el área entre $x = y^2$ y $x = 4$ (integre en $y$ ).
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Ex. 88.15Application
Calcule el área entre $x = y^2 - 2$ y $x = y$ (integre en $y$ ).
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Ex. 88.16Application
Calcule el área entre $y = 4 - x^2$ y $y = x + 2$ .
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Ex. 88.17ApplicationAnswer key
Calcule el área entre $y = x^4$ y $y = 8x$ .
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Ex. 88.18Application
Usando el resultado del ejercicio 88.9, determine el área entre $y = \sin x$ y $y = \cos x$ en $[0, \pi/2]$ verificando la simetría de las dos parcelas.
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Ex. 88.19Modeling
Curva de demanda $D(q) = 100 - q$ , precio de equilibrio $p^* = 60$ . Calcule el excedente del consumidor $CS = \int_0^{Q^*} [D(q) - p^*]\, dq$ .
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Ex. 88.20Modeling
Curva de oferta $S(q) = 20 + q/2$ , precio de equilibrio $p^* = 40$ . Calcule el excedente del productor $PS = \int_0^{Q^*} [p^* - S(q)]\, dq$ .
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Ex. 88.21ModelingAnswer key
Ingreso marginal $R'(t) = 100$ R $/día y costo marginal$ C'(t) = 50 + 5t $R$ /día. Calcule la ganancia neta máxima acumulada y en qué día $t$ el costo supera el ingreso.
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Ex. 88.22Modeling
Calcule el área de la elipse $x^2/9 + y^2/4 = 1$ vía $A = 4\int_0^3 (2/3)\sqrt{9 - x^2}\, dx$ .
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Ex. 88.23Modeling
Calcule el área entre la parábola $y = x^2$ y su recta tangente en el punto $(1, 1)$ en $[0, 2]$ .
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Ex. 88.24ModelingAnswer key
Calcule el área entre $y = 1/(1+x^2)$ y $y = 1/2$ , en la región donde la primera está arriba.
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Ex. 88.25Modeling
Calcule el área total entre $y = x^3 - 4x$ y el eje $x$ en $[-2, 2]$ .
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Ex. 88.26Challenge
Compare los dos enfoques para el área entre $y = x^2$ y $y = 4$ : integración en $x$ y en $y$ . Calcule por ambas formas y verifique que coinciden.
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Ex. 88.27Challenge
Calcule el área de la cardioide $r = 1 + \cos\theta$ en coordenadas polares: $A = \frac{1}{2}\int_0^{2\pi} r^2\, d\theta$ .
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Ex. 88.28ChallengeAnswer key
Área entre $y = e^{-x^2}$ y el eje $x$ en $(-\infty, +\infty)$ . El resultado es $\sqrt{\pi}$ — muestre que esta integral no tiene fórmula elemental, pero puede ser calculada por el truco de la integral gaussiana en polares.
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Ex. 88.29Proof
Demostración. Muestre que $A = \int_a^b [f(x) - g(x)]\, dx$ es el límite de las sumas de Riemann con rectángulos verticales de altura $f(x_i^*) - g(x_i^*)$ .
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Ex. 88.30ProofAnswer key
Demostración. Verifique la fórmula de Green $A = \frac{1}{2}\oint_{\partial R}(x\, dy - y\, dx)$ para el cuadrado unitario $[0,1]^2$ calculando la integral de línea a lo largo de cada arista.
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Fuentes

Active Calculus 2.0 — Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA · §6.1. Fuente primaria.
APEX Calculus v5 — Hartman et al. · 2024 · CC-BY-NC · §7.1.
Calculus Volume 2 (OpenStax) — OpenStax · 2016 · CC-BY-NC-SA · §2.1.

Definición, justificación y procedimiento

Definición y justificación vía Riemann

Integración en yyy

Procedimiento general

Ejemplos resueltos

Fuentes

Integración en $y$