Lección 89 — Volumen por secciones: discos, anillos y cilindros

Revolución de $y = \sqrt{x}$ en $[0, 4]$ alrededor del eje $x$. Calcula el volumen.

Revolución de $y = x$ en $[0, 1]$ alrededor del eje $x$. Calcula el volumen (es un cono).

Revolución de $y = x^2$ en $[0, 2]$ alrededor del eje $x$. Calcula el volumen.

Revolución de $y = \sin x$ en $[0, \pi]$ alrededor del eje $x$. (Pista: $\sin^2 x = (1 - \cos 2x)/2$.)

Revolución de $y = e^x$ en $[0, 1]$ alrededor del eje $x$.

Revolución de $y = \cos x$ en $[0, \pi/2]$ alrededor del eje $x$.

Demuestra que el volumen de la esfera de radio $r$ es $4\pi r^3/3$, usando $V = \pi\int_{-r}^r (r^2 - x^2)\,dx$.

Demuestra que el volumen del cono de radio $R$ y altura $h$ es $\pi R^2 h/3$, rotando $y = (R/h)x$ en $[0, h]$.

Revolución de $y = 1/x$ en $[1, 2]$ alrededor del eje $x$.

Revolución de $y = \sqrt{4 - x^2}$ en $[-2, 2]$ alrededor del eje $x$. (Identifica el sólido resultante.)

Anillo: región entre $y = x$ e $y = x^2$ en $[0, 1]$, rotada alrededor del eje $x$.

Anillo: región entre $y = \sqrt{x}$ e $y = x$ en $[0, 1]$, rotada alrededor del eje $x$.

Anillo: región entre $y = 2x$ e $y = x^2$ en $[0, 2]$, rotada alrededor del eje $x$.

Anillo: región entre $y = x^2 + 1$ e $y = 5 - x^2$, rotada alrededor del eje $x$.

Región entre $y = x$ e $y = x^2$ en $[0, 1]$, rotada alrededor de $y = -1$ (eje desplazado).

¿Cuál es el volumen generado por la rotación de la región entre $y = 1$ e $y = x$ en $[0, 1]$ alrededor del eje $x$?

Región entre $y = x^2$ e $y = x$ en $[0, 1]$, rotada alrededor de $x = 2$.

Una cámara de aire de bicicleta puede modelarse como un toro de radio central $R = 30$ cm y sección circular de radio $r = 2$ cm. Calcula el volumen interno de la cámara (en cm³) usando el Teorema de Pappus.

La región rectangular $[0, h] \times [0, R]$ se rota alrededor del eje $x$. Identifica el sólido resultante y calcula el volumen.

Para calcular el volumen generado por la rotación de $y = f(x)$, $x \in [a,b]$, alrededor del eje $y$, integrando en $x$, ¿cuál método es más natural?

Revolución de $y = x^2$ en $[0, 2]$ alrededor del eje $y$ (cilindros).

Región entre $y = x$ e $y = x^2$ en $[0,1]$, rotada alrededor del eje $y$ (cilindros).

Revolución de $y = \sqrt{x}$ en $[0, 1]$ alrededor del eje $y$ (cilindros).

Región entre $y = x$ e $y = x^2$ en $[0,1]$, rotada alrededor de $x = 2$.

Revolución de $y = e^{-x^2}$ en $[0, 1]$ alrededor del eje $y$ (cilindros). (Pista: sustitución $u = x^2$.)

¿Cuál integral representa el volumen generado por la rotación de $y = \cos x$, $x \in [0, 1]$, alrededor del eje $y$ (cilindros)?

Revolución de $y = 1/x$ en $[1, 3]$ alrededor del eje $y$ (cilindros).

Revolución de $y = \sin x$ en $[0, \pi]$ alrededor del eje $y$ (cilindros). (Pista: integración por partes.)

Región entre $y = x^2$ e $y = x^3$ en $[0, 1]$, rotada alrededor de $x = 1$.

Calcula el volumen de la región delimitada por $y = x^2$ e $y = 4$, rotada alrededor del eje $y$, usando dos métodos (discos en $y$ y cilindros en $x$). Confirma que los resultados coinciden.

Un sólido tiene base en el intervalo $[0, \pi]$ sobre el eje $x$, con secciones transversales cuadradas perpendiculares al eje $x$. El lado de cada cuadrado es $f(x) = \sin x$. Calcula el volumen.

Un sólido tiene base $[0, 4]$ en el eje $x$, con secciones transversales semicirculares perpendiculares al eje $x$. El diámetro de cada semicírculo es $y = \sqrt{x}$. Calcula el volumen.

Demuestra, vía corte, que el volumen de una pirámide de base $A_0$ y altura $h$ es $A_0 h/3$, independientemente de la forma de la base.

Tanque esférico de radio $R = 3$ m, lleno de agua. Calcula el trabajo para bombear toda el agua hasta la parte superior (en Julios). Usa $\rho = 1000$ kg/m³ y $g = 9{,}8$ m/s².

Sobre la elección entre disco/anillo y cilindros, ¿cuál afirmación es correcta?

Un jarrón decorativo tiene perfil generado por la rotación de $x = \sqrt{y}$ (cm) alrededor del eje $y$, para $y \in [0, 20]$ cm. Calcula la capacidad del jarrón en mL ($1$ cm³ $= 1$ mL).

Deduce la fórmula $V = 2\pi^2 R r^2$ del toro vía método de anillos, sin usar el Teorema de Pappus.

Paradoja del Cuerno de Gabriel. Considera la superficie generada por la rotación de $y = 1/x$, $x \in [1, +\infty)$, alrededor del eje $x$. (a) Calcula el volumen del sólido. (b) Demuestra que el área lateral es infinita. (c) Interpreta la paradoja.

Región entre $y = x^2$ e $y = 1$, rotada alrededor de $y = 1$. Calcula el volumen (anillo con eje desplazado).

Revolución de $y = x^2 + 1$ en $[0, 3]$ alrededor del eje $y$ (cilindros).

Región entre $y = e^x$ e $y = x$ en $[0, 1]$, rotada alrededor del eje $x$ (anillos).

Un tanque hemisférico de radio $R = 2$ m (diámetro hacia arriba) contiene agua hasta $h = 1$ m de profundidad. Calcula el volumen de agua (en m³).

Región entre $y = \cos x$ e $y = \sin x$ en $[0, \pi/2]$, rotada alrededor del eje $x$. (Cuidado: las curvas se cruzan en $x = \pi/4$.)

Revolución de $y = \sin(x^2)$ en $[0, \pi]$ alrededor del eje $y$ (cilindros). (Pista: sustitución $u = x^2$.)

El triángulo de vértices $(0,0)$, $(1,0)$, $(0,1)$ se rota alrededor de la recta $x = 2$. Calcula el volumen usando el Teorema de Pappus. Verifica integrando directamente.