v1 · padrão canônico

Lección 90 — Consolidación Trimestre 9 (cálculo integral)

Taller integrador: antiderivada, integral definida, TFC, sustitución, partes, fracciones parciales, integrales trig, área y volumen.

Used in: 3.º año de Bachillerato (17–18 años) · Equiv. Math III japonés (cap. 5–6) · Equiv. Leistungskurs alemán Integralrechnung II

\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a), \quad \int u\,dv = uv - \int v\,du, \quad A = \int_a^b [f(x)-g(x)]\,dx

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Síntesis rigurosa del trimestre

Mapa conceptual del cálculo integral

Árbol de decisión — "¿Qué técnica usar?"

Flujo de decisión para integrar $\int f\,dx$ . Siga de arriba a abajo; aplique la primera técnica que encaje.

Tabla rápida de antiderivadas fundamentales

Aplicaciones canónicas

Definition· Área y volumen por integración

Área entre curvas. Si $f(x) \geq g(x)$ en $[a, b]$ :

$A = \int_a^b [f(x) - g(x)]\,dx$

Volumen por discos/anillos. Revolución de $y = f(x)$ en torno al eje $x$ :

$V = \pi \int_a^b [f(x)]^2\,dx$

Para anillo (región entre $f$ y $g$ , $f \geq g \geq 0$ ):

$V = \pi \int_a^b \bigl([f(x)]^2 - [g(x)]^2\bigr)\,dx$

Volumen por capas cilíndricas. Revolución de $y = f(x) \geq 0$ en torno al eje $y$ :

$V = 2\pi \int_a^b x f(x)\,dx$

"El método de capas cilíndricas es preferible cuando la región gira en torno a un eje paralelo al eje de integración." — APEX Calculus §7.3, p. 359

Ejemplos resueltos

Example— 1· TFC2 aplicado con sustitución en los límites (aplicación)

Problema: Calcule $\displaystyle\int_0^1 2x e^{x^2}\,dx$ .

Estrategia: El integrando tiene la forma $f(g(x)) \cdot g'(x)$ con $g(x) = x^2$ y $g'(x) = 2x$ . Se aplica sustitución $u = x^2$ y se cambian los límites de integración directamente en $u$ .

Resolución:

Haga $u = x^2$ , entonces $du = 2x\,dx$ .

Límites: $x = 0 \Rightarrow u = 0$ ; $x = 1 \Rightarrow u = 1$ .

$\int_0^1 2x e^{x^2}\,dx = \int_0^1 e^u\,du = \bigl[e^u\bigr]_0^1 = e^1 - e^0 = e - 1$

Verificación: La antiderivada de $2x e^{x^2}$ es $e^{x^2}$ (derivando: $(e^{x^2})' = e^{x^2} \cdot 2x$ ✓). Evaluando: $e^{1^2} - e^{0^2} = e - 1 \approx 1{,}718$ .

Fuente. Active Calculus §5.3, Activity 5.3.2 — CC-BY-NC-SA.

Example— 2· Integración por partes iterada — xe^x (intermedio)

Problema: Calcule $\displaystyle\int x^2 e^x\,dx$ .

Estrategia: Producto de polinomio por exponencial, sin relación de cadena entre ellos. Se usa integración por partes con LIATE: $u = x^2$ (algebraica) y $dv = e^x\,dx$ (exponencial). Será necesario aplicar partes dos veces.

Resolución:

1.ª aplicación: $u = x^2$ , $du = 2x\,dx$ ; $dv = e^x\,dx$ , $v = e^x$ .

$\int x^2 e^x\,dx = x^2 e^x - \int 2x e^x\,dx$

2.ª aplicación (para $\int 2x e^x\,dx$ ): $u = 2x$ , $du = 2\,dx$ ; $dv = e^x\,dx$ , $v = e^x$ .

$\int 2x e^x\,dx = 2x e^x - \int 2 e^x\,dx = 2x e^x - 2e^x$

Resultado final:

$\int x^2 e^x\,dx = x^2 e^x - (2x e^x - 2e^x) + C = (x^2 - 2x + 2)e^x + C$

Verificación: $\frac{d}{dx}\bigl[(x^2 - 2x + 2)e^x\bigr] = (2x - 2)e^x + (x^2 - 2x + 2)e^x = x^2 e^x$ ✓.

Fuente. APEX Calculus §8.1, Example 8.1.4 — CC-BY-NC.

Example— 3· Fracciones parciales — denominador con dos factores lineales (intermedio)

Problema: Calcule $\displaystyle\int \frac{1}{x^2 - 1}\,dx$ .

Estrategia: El integrando es racional con $\deg(\text{num}) < \deg(\text{den})$ . Factorizar el denominador: $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$ . Descomponer en fracciones parciales.

Resolución:

$\frac{1}{(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}$

Multiplicando ambos lados por $(x-1)(x+1)$ : $1 = A(x+1) + B(x-1)$ .

$x = 1$ : $1 = 2A \Rightarrow A = 1/2$ . $x = -1$ : $1 = -2B \Rightarrow B = -1/2$ .

$\int \frac{1}{x^2 - 1}\,dx = \int \frac{1/2}{x-1}\,dx + \int \frac{-1/2}{x+1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\lvert x - 1\rvert - \frac{1}{2}\ln\lvert x + 1\rvert + C$

$= \frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{x-1}{x+1}\right\rvert + C$

Verificación: Derivando: $\frac{1}{2} \cdot \frac{(x+1) - (x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{x^2-1} = \frac{1}{x^2-1}$ ✓.

Fuente. OpenStax Calculus Vol. 2 §3.4, Example 3.4.1 — CC-BY-NC-SA.

Example— 4· Área entre parábola y recta (aplicación)

Problema: Calcule el área de la región delimitada por $f(x) = x^2$ y $g(x) = x + 2$ .

Estrategia: Encontrar las intersecciones (puntos donde $f = g$ ), determinar cuál curva está arriba en cada subintervalo, e integrar la diferencia.

Resolución:

Intersecciones: $x^2 = x + 2 \Rightarrow x^2 - x - 2 = 0 \Rightarrow (x-2)(x+1) = 0 \Rightarrow x = -1$ o $x = 2$ .

¿Cuál es "de arriba"? Para $x \in (-1, 2)$ : $g(0) = 2 > f(0) = 0$ , luego $g \geq f$ .

$A = \int_{-1}^2 [g(x) - f(x)]\,dx = \int_{-1}^2 (x + 2 - x^2)\,dx$

$= \left[\frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3}\right]_{-1}^2 = \left(2 + 4 - \frac{8}{3}\right) - \left(\frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3}\right) = \frac{10}{3} - \left(-\frac{7}{6}\right) = \frac{10}{3} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$

Verificación: $9/2 = 4{,}5$ unidades cuadradas. La parábola y la recta forman una región de forma de gota — resultado razonable para un intervalo de longitud 3.

Fuente. Active Calculus §6.1, Activity 6.1.2 — CC-BY-NC-SA.

Example— 5· Volumen de revolución por método de capas (avanzado)

Problema: Calcule el volumen del sólido generado por la rotación de la región delimitada por $y = \ln x$ , $y = 0$ y $x = e$ en torno al eje $y$ .

Estrategia: La región está a la derecha del eje $y$ . Rotación en torno al eje $y$ con integración en $x$ sugiere el método de capas cilíndricas: $V = 2\pi \int_a^b x f(x)\,dx$ .

Resolución:

El sólido va de $x = 1$ (pues $\ln 1 = 0$ ) hasta $x = e$ .

$V = 2\pi \int_1^e x \ln x\,dx$

Se aplica integración por partes: $u = \ln x$ , $dv = x\,dx$ ; $du = dx/x$ , $v = x^2/2$ .

$\int x \ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x}\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$

Evaluando:

$\int_1^e x \ln x\,dx = \left[\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4}\right]_1^e = \left(\frac{e^2}{2} - \frac{e^2}{4}\right) - \left(0 - \frac{1}{4}\right) = \frac{e^2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{e^2 + 1}{4}$

$V = 2\pi \cdot \frac{e^2 + 1}{4} = \frac{\pi(e^2 + 1)}{2} \approx \frac{\pi \cdot 8{,}389}{2} \approx 13{,}18$

Verificación: Para $x \in [1, e]$ , la capa tiene radio $x$ y altura $\ln x$ . El resultado tiene la dimensión correcta (unidad³). $\approx 13{,}18$ es razonable para esta región.

Fuente. OpenStax Calculus Vol. 2 §2.3, Example 2.3.4 — CC-BY-NC-SA.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 25Understanding 4Modeling 3Challenge 4Proof 4

Ex. 90.1Application
Calcule $\int (6x^2 - 5)\,dx$ .
Solve online
Ex. 90.2Application
Calcule $\displaystyle\int_0^1 (3x^2 - 2x)\,dx$ .
Solve online
Ex. 90.3ApplicationAnswer key
Calcule $\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos x\,dx$ .
Solve online
Ex. 90.4Application
Calcule $\displaystyle\int_1^e \frac{1}{x}\,dx$ .
Solve online
Ex. 90.5ApplicationAnswer key
Sea $G(x) = \displaystyle\int_1^x (t^2 - 3t)\,dt$ . Determine $G'(x)$ .
Solve online
Ex. 90.6Understanding
¿Cuál es la antiderivada general de $f(x) = 3x^2$ ?
Solve online
Ex. 90.7Application
Calcule $\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{1 + x^2}\,dx$ .
Solve online
Ex. 90.8ProofAnswer key
Demuestre el TFC2 asumiendo el TFC1 como punto de partida.
Solve online
Ex. 90.9Application
Calcule $\int (x^3 + 1)^4 \cdot x^2\,dx$ .
Solve online
Ex. 90.10ApplicationAnswer key
Calcule $\int \frac{\cos x}{\sin x}\,dx$ .
Solve online
Ex. 90.11Application
Calcule $\displaystyle\int_0^1 x e^{x^2}\,dx$ .
Solve online
Ex. 90.12Application
Calcule $\int \sin(e^x)\,e^x\,dx$ .
Solve online
Ex. 90.13Application
Calcule $\int \frac{1}{\sqrt{x + 3}}\,dx$ .
Solve online
Ex. 90.14Understanding
Para $\int 2x(x^2 + 1)^3\,dx$ , ¿cuál sustitución es adecuada?
Solve online
Ex. 90.15Application
Calcule $\int \sin^3 x\,dx$ .
Solve online
Ex. 90.16Application
Calcule $\int \sqrt{1 - x^2}\,dx$ usando sustitución trigonométrica $x = \sin\theta$ .
Solve online
Ex. 90.17Application
Calcule $\int x e^x\,dx$ .
Solve online
Ex. 90.18ApplicationAnswer key
Calcule $\int \ln x\,dx$ .
Solve online
Ex. 90.19Application
Calcule $\int \arctan x\,dx$ .
Solve online
Ex. 90.20Application
Calcule $\displaystyle\int_1^e \ln x\,dx$ .
Solve online
Ex. 90.21Application
Calcule $\displaystyle\int \frac{1}{x^2 - x - 2}\,dx$ . (Factorice el denominador primero.)
Solve online
Ex. 90.22Application
Calcule $\displaystyle\int \frac{x}{x^2 - 4}\,dx$ .
Solve online
Ex. 90.23Application
Calcule $\int x^2 \cos x\,dx$ .
Solve online
Ex. 90.24Challenge
Calcule $\int e^x \sin x\,dx$ usando el truco de la integral que "vuelve a sí misma".
Solve online
Ex. 90.25Proof
Demuestre la fórmula de integración por partes $\int u\,dv = uv - \int v\,du$ a partir de la regla del producto.
Solve online
Ex. 90.26Application
Calcule el área de la región delimitada por $y = x + 2$ e $y = x^2$ .
Solve online
Ex. 90.27Application
Calcule el área entre $y = \sin x$ e $y = \cos x$ en $[0, \pi]$ .
Solve online
Ex. 90.28Application
Calcule el volumen del sólido generado por la revolución de $y = e^{-x}$ , $x \in [0, 2]$ , en torno al eje $x$ .
Solve online
Ex. 90.29Application
Calcule el volumen del sólido entre $y = x$ e $y = x^2$ ( $x \in [0,1]$ ) rotacionado en torno al eje $x$ .
Solve online
Ex. 90.30Application
Calcule el volumen del sólido generado por $y = 1 - x^2$ , $x \in [0, 1]$ , rotacionado en torno al eje $y$ por el método de capas cilíndricas.
Solve online
Ex. 90.31ModelingAnswer key
Calcule el volumen generado por $y = \ln x$ , $x \in [1, e]$ , rotacionado en torno al eje $y$ (capas). Combine partes y sustitución.
Solve online
Ex. 90.32Understanding
¿Cuándo es preferible usar capas cilíndricas en lugar de discos para calcular volumen?
Solve online
Ex. 90.33Modeling
Calcule el área entre $y = x$ e $y = x^3$ en $[-1, 1]$ .
Solve online
Ex. 90.34ModelingAnswer key
La fuerza sobre un pistón es $F(x) = xe^{-x}$ N para $x \in [0, 5]$ m. Calcule el trabajo realizado.
Solve online
Ex. 90.35Challenge
La trompeta de Gabriel: $y = 1/x$ en $[1, \infty)$ rotacionada en torno al eje $x$ . Muestre que el volumen es $\pi$ y discuta por qué el área superficial es infinita.
Solve online
Ex. 90.36ProofAnswer key
Muestre que $\displaystyle\int_0^1 (1-x)^n\,dx = \dfrac{1}{n+1}$ para $n \in \mathbb{N}$ usando sustitución.
Solve online
Ex. 90.37Proof
Muestre que $\displaystyle\int_0^{\pi} \sin^2(nx)\,dx = \dfrac{\pi}{2}$ para todo $n \in \mathbb{N}$ .
Solve online
Ex. 90.38ChallengeAnswer key
Demuestre (esbozando la idea con polares) que $\displaystyle\int_0^\infty e^{-x^2}\,dx = \dfrac{\sqrt{\pi}}{2}$ .
Solve online
Ex. 90.39Understanding
La integral $\displaystyle\int_1^\infty \frac{1}{x}\,dx$ : ¿converge o diverge?
Solve online
Ex. 90.40ChallengeAnswer key
Calcule $\displaystyle\int_0^1 x \arctan x\,dx$ .
Solve online

Fuentes

Active Calculus — Matt Boelkins · 2024 · ed. 2.0 · EN · CC-BY-NC-SA · §4.1–4.4, §5.1–6.2. Fuente primaria.
Calculus Volume 2 — OpenStax (Herman et al.) · 2016 · EN · CC-BY-NC-SA · cap. 1–3.
APEX Calculus — Hartman, Heinold, Siemers, Chalishajar · 2024 · v5 · EN · CC-BY-NC · cap. 5–8.

$f(x)$	$\int f(x)\,dx$
$x^n$ ( $n \neq -1$ )	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$
$x^{-1}$	$\ln\lvert x\rvert + C$
$e^x$	$e^x + C$
$\sin x$	$-\cos x + C$
$\cos x$	$\sin x + C$
$\sec^2 x$	$\tan x + C$
$\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$\arcsin x + C$
$\dfrac{1}{1+x^2}$	$\arctan x + C$