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Leçon 1 — Ensembles numériques, intervalles, notation

Langage mathématique rigoureux : ensembles numériques (ℕ, ℤ, ℚ, ℝ), intervalles, opérations entre ensembles. Leçon d'ouverture du programme.

Used in: 1ère année de lycée (15 ans) · Équiv. Math I japonais · Équiv. Klasse 10 allemande

\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Définition rigoureuse

Ensembles numériques fondamentaux

« Tout nombre réel correspond à une position unique sur la droite numérique. L'inverse est aussi vrai : chaque localisation sur la droite numérique correspond à exactement un nombre réel. » — OpenStax College Algebra 2e, §1.1

Intervalles

Definition· Types d'intervalles

Pour $a, b \in \mathbb{R}$ avec $a \leq b$ :

Les quatre types d'intervalles sur la droite numérique. Point rempli = extrémité incluse. Point vide = extrémité exclue.

[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \leq x \leq b\}

what this means · Intervalle fermé : les deux extrémités sont incluses.

(a, b) = \{x \in \mathbb{R} : a \lt x \lt b\}

what this means · Intervalle ouvert : aucune extrémité n'est incluse.

[a, b) = \{x : a \leq x \lt b\}, \quad (a, b] = \{x : a \lt x \leq b\}

what this means · Intervalles semi-ouverts.

Intervalles infinis : $[a, +\infty)$ , $(-\infty, b]$ , $(-\infty, +\infty) = \mathbb{R}$ .

Exemplos resolvidos

Example— 1· Énumération des éléments d'un ensemble (application)

Problème : Énumère, en notation d'ensemble, l'ensemble $A = \{x \in \mathbb{Z} : -2 < x \leq 3\}$ .

Stratégie : Le problème demande d'énumérer les éléments d'un ensemble. La notation d'ensemble nous donne deux informations :

À quel ensemble numérique appartiennent les éléments : $\mathbb{Z}$ (nombres entiers).
Quelles conditions ces éléments doivent-ils satisfaire : $-2 < x \leq 3$ . Nous allons combiner ces informations pour identifier tous les entiers qui correspondent.

Résolution :

Identifier le type de nombre : Les éléments $x$ doivent être des entiers ( $\mathbb{Z}$ ).
Analyser la première condition : $x > -2$ . Cela signifie que $x$ doit être supérieur à $-2$ . Les entiers qui satisfont cette partie sont $-1, 0, 1, 2, 3, \ldots$ .
Analyser la deuxième condition : $x \leq 3$ . Cela signifie que $x$ doit être inférieur ou égal à $3$ . Les entiers qui satisfont cette partie sont $\ldots, 1, 2, 3$ .
Combiner les conditions : Nous avons besoin d'entiers $x$ $x$ qui soient simultanément supérieurs à $-2$ $- 2$ ET inférieur ou égal à $3$ $3$ .
- Entiers supérieurs à $-2$ : $\{-1, 0, 1, 2, 3, 4, \ldots\}$
- Entiers inférieur ou égal à $3$ : $\{\ldots, -1, 0, 1, 2, 3\}$
- L'intersection de ces deux ensembles est $\{-1, 0, 1, 2, 3\}$ .

Vérification : Tous les nombres énumérés sont des entiers.

$-1$ est supérieur à $-2$ et inférieur ou égal à $3$ . (OK)
$0$ est supérieur à $-2$ et inférieur ou égal à $3$ . (OK)
$1$ est supérieur à $-2$ et inférieur ou égal à $3$ . (OK)
$2$ est supérieur à $-2$ et inférieur ou égal à $3$ . (OK)
$3$ est supérieur à $-2$ et inférieur ou égal à $3$ . (OK) Aucun autre entier entre $-2$ et $3$ (excluant $-2$ , incluant $3$ ) n'a été oublié.

Source. OpenStax — College Algebra 2e §1.1 — licence CC-BY 4.0.

Example— 2· Intersection d'intervalles (intermédiaire)

Problème : Étant donné les intervalles $A = [-3, 7)$ et $B = (1, 10]$ , calcule $A \cap B$ .

Stratégie : L'intersection de deux ensembles inclut uniquement les éléments qui appartiennent aux deux ensembles. Encore une fois, la visualisation sur la droite numérique est l'outil le plus efficace.

Résolution :

Visualiser l'intervalle $A$ : $A = [-3, 7)$ $A = [- 3, 7)$ va de -3 (inclus) à 7 (exclu).
```
←—————[----------)————→
     -3          7
```

Visualiser l'intervalle $B$ :

B = (1, 10]

va de 1 (exclu) à 10 (inclus).

←——————————(----------]————→
           1          10

Combiner pour l'intersection : Nous devons trouver la région où les deux intervalles se chevauchent.
- Le point le plus à gauche où les deux sont présents : $1$ . Mais $1$ est exclu dans $B$ , donc il est exclu dans l'intersection.
- Le point le plus à droite où les deux sont présents : $7$ . Mais $7$ est exclu dans $A$ , donc il est exclu dans l'intersection.
- La région de chevauchement est entre $1$ (exclu) et $7$ (exclu).

$A \cap B = (1, 7)$

Vérification :

Un point dans l'intersection : $x=3$ . Est dans $A$ (car $-3 \leq 3 < 7$ ) et dans $B$ (car $1 < 3 \leq 10$ ). (OK)
Un point seulement dans $A$ : $x=-2$ . N'est pas dans $B$ . (OK)
Un point seulement dans $B$ : $x=8$ . N'est pas dans $A$ . (OK)
Les extrémités : $1$ n'est pas dans $B$ , $7$ n'est pas dans $A$ . Tous deux exclus dans l'intersection. La réponse est cohérente.

Source. Stitz–Zeager — Precalculus §1.2 — licence CC-BY-NC-SA.

Example— 3· Inéquation avec valeur absolue, type |u| ≤ c (intermédiaire)

Problème : Résous l'inéquation $|x - 4| \leq 3$ et exprime la solution en notation d'intervalle.

Stratégie : Les inéquations avec valeur absolue du type $|u| \leq c$ (où $c > 0$ ) peuvent être réécrites comme une inéquation composée : $-c \leq u \leq c$ . Nous appliquerons cette propriété puis résoudrons pour $x$ .

Résolution :

Réécrire l'inéquation : La propriété de valeur absolue nous permet de transformer $|x - 4| \leq 3$ en : $-3 \leq x - 4 \leq 3$
Isoler $x$ : Pour isoler $x$ , nous ajoutons $4$ à tous les côtés de l'inéquation : $-3 + 4 \leq x - 4 + 4 \leq 3 + 4$ $1 \leq x \leq 7$
Exprimer en notation d'intervalle : L'inéquation $1 \leq x \leq 7$ signifie que $x$ peut être n'importe quel nombre réel entre 1 et 7, y compris 1 et 7.

$\text{Solution : } [1, 7]$

Vérification :

Test d'un point à l'intérieur de l'intervalle : $x=5$ . $|5 - 4| = |1| = 1$ . $1 \leq 3$ . (OK)
Test d'une extrémité : $x=1$ . $|1 - 4| = |-3| = 3$ . $3 \leq 3$ . (OK)
Test de l'autre extrémité : $x=7$ . $|7 - 4| = |3| = 3$ . $3 \leq 3$ . (OK)
Test d'un point en dehors de l'intervalle : $x=0$ . $|0 - 4| = |-4| = 4$ . $4 \not\leq 3$ . (OK)
Test d'un point en dehors de l'intervalle : $x=8$ . $|8 - 4| = |4| = 4$ . $4 \not\leq 3$ . (OK) La solution est correcte.

Source. OpenStax — College Algebra 2e §1.7 — licence CC-BY 4.0.

Example— 4· Inéquation quadratique (avancé)

Problème : Détermine l'ensemble solution de l'inéquation $x^2 - x - 6 > 0$ en notation d'intervalle.

Stratégie : Pour résoudre une inéquation quadratique, nous trouvons d'abord les racines de l'équation quadratique associée ( $x^2 - x - 6 = 0$ ). Ces racines divisent la droite réelle en intervalles. Ensuite, nous testons un point dans chaque intervalle pour voir où l'inéquation est satisfaite.

Résolution :

Trouver les racines de l'équation associée : $x^2 - x - 6 = 0$ $x^{2} - x - 6 = 0$ .
- Nous pouvons factoriser l'équation : $(x - 3)(x + 2) = 0$ .
- Les racines sont $x = 3$ et $x = -2$ .
Diviser la droite réelle en intervalles : Les racines $-2$ $- 2$ et $3$ $3$ divisent la droite réelle en trois intervalles :
- $(-\infty, -2)$
- $(-2, 3)$
- $(3, +\infty)$
Tester un point dans chaque intervalle :
- Intervalle $(-\infty, -2)$ : Choisir $x = -3$ . $(-3)^2 - (-3) - 6 = 9 + 3 - 6 = 6$ . Comme $6 > 0$ , cet intervalle satisfait l'inéquation.
- Intervalle $(-2, 3)$ : Choisir $x = 0$ . $(0)^2 - (0) - 6 = -6$ . Comme $-6 \not> 0$ , cet intervalle ne satisfait pas l'inéquation.
- Intervalle $(3, +\infty)$ : Choisir $x = 4$ . $(4)^2 - (4) - 6 = 16 - 4 - 6 = 6$ . Comme $6 > 0$ , cet intervalle satisfait l'inéquation.
Combiner les intervalles qui satisfont : La solution est l'union des intervalles où l'inéquation est vraie. Notez que l'inéquation est strictement supérieure à 0, donc les racines ne sont pas incluses.

$\text{Solution : } (-\infty, -2) \cup (3, +\infty)$

Vérification :

La parabole $y = x^2 - x - 6$ a une concavité vers le haut (le coefficient de $x^2$ est positif). Cela signifie que les valeurs de la fonction sont positives « à l'extérieur » des racines et négatives « entre » les racines. La solution trouvée est cohérente avec le graphe d'une parabole.

Source. OpenStax — College Algebra 2e §3.6 — licence CC-BY 4.0.

Example— 5· Modélisation avec exclusion de point (modélisation réelle)

Problème : Un capteur de température fonctionne correctement dans un environnement où la température $T$ (en Celsius) doit être entre $10\,°C$ (inclus) et $40\,°C$ (exclus). De plus, par une exigence spécifique, la température ne peut pas être exactement $25\,°C$ . Exprime la plage de fonctionnement valide pour $T$ comme une union d'intervalles.

Stratégie : D'abord, définis l'intervalle de base de fonctionnement. Ensuite, supprime le point spécifique qui n'est pas autorisé. La suppression d'un seul point d'un intervalle peut entraîner deux intervalles disjoints.

Résolution :

Définir l'intervalle de base : La température doit être entre $10\,°C$ (inclus) et $40\,°C$ (exclus). Cela est représenté par l'intervalle $[10, 40)$ .
Identifier le point à supprimer : La température ne peut pas être $25\,°C$ .
Supprimer le point de l'intervalle de base : Le nombre $25$ $25$ est à l'intérieur de l'intervalle $[10, 40)$ $[10, 40)$ . En supprimant $25$ $25$ , l'intervalle est divisé en deux parties :
- Tous les nombres de $10$ (inclus) jusqu'à $25$ (exclus) : $[10, 25)$ .
- Tous les nombres de $25$ (exclus) jusqu'à $40$ (exclus) : $(25, 40)$ .
Exprimer comme union d'intervalles : La plage de fonctionnement valide est l'union de ces deux intervalles disjoints.

$\text{Plage de fonctionnement : } [10, 25) \cup (25, 40)$

Vérification :

$T=10$ : Valide. Est dans le premier intervalle.
$T=20$ : Valide. Est dans le premier intervalle.
$T=25$ : Non valide. N'est dans aucun des intervalles.
$T=30$ : Valide. Est dans le deuxième intervalle.
$T=40$ : Non valide. Exclu de l'intervalle original. La solution est correcte et répond à toutes les conditions.

Source. Yoshiwara — Modeling, Functions, and Graphs cap. 1 — licence libre.

Exercise list

60 exercises · 15 with worked solution (25%)

Application 42Understanding 11Modeling 3Challenge 4

Ex. 1.1Application
Énumère, en notation d'ensemble, l'ensemble $A = \{x \in \mathbb{N} : 1 \leq x \leq 5\}$ .
Solve online
Ex. 1.2ApplicationAnswer key
Écris en notation d'intervalle : $\{x \in \mathbb{R} : 2 \leq x \leq 8\}$ .
Solve online
Ex. 1.3Application
Écris en notation d'intervalle : $\{x \in \mathbb{R} : x < 5\}$ .
Solve online
Ex. 1.4ApplicationAnswer key
Énumère l'ensemble $\{x \in \mathbb{Z} : 1 < x < 5\}$ .
Solve online
Ex. 1.5Application
Vrai ou Faux : $\sqrt{2}$ est un nombre rationnel.
Solve online
Ex. 1.6ApplicationAnswer key
Vrai ou Faux : Tout nombre entier est un nombre rationnel.
Solve online
Ex. 1.7Application
Un électricien consomme entre 0 et 10 kilowatts. Écris ce domaine en notation d'intervalle.
Solve online
Ex. 1.8Application
Énumère l'ensemble $\{x \in \mathbb{Z} : |x| \leq 2\}$ .
Solve online
Ex. 1.9Application
Vrai ou Faux : $\pi$ est un nombre réel.
Solve online
Ex. 1.10ApplicationAnswer key
Énumère l'ensemble des nombres impairs entre 0 et 10.
Solve online
Ex. 1.11Application
Écris l'intervalle $[-3, 3]$ sous forme d'inégalité.
Solve online
Ex. 1.12ApplicationAnswer key
Écris l'intervalle $(-1, 4)$ sous forme d'inégalité.
Solve online
Ex. 1.13Application
Écris l'inégalité $-2 < x \leq 5$ en notation d'intervalle.
Solve online
Ex. 1.14Application
Écris l'inégalité $x \geq 0$ en notation d'intervalle.
Solve online
Ex. 1.15Application
Écris l'inégalité $x < -5$ en notation d'intervalle.
Solve online
Ex. 1.16Application
Écris l'intervalle $(0, 8]$ sous forme d'inégalité.
Solve online
Ex. 1.17Application
Écris $x \in \mathbb{R}$ en notation d'intervalle.
Solve online
Ex. 1.18ApplicationAnswer key
Écris l'intervalle $(-\infty, -3] \cup [3, +\infty)$ en notation d'inégalité.
Solve online
Ex. 1.19Application
Écris l'inégalité $-5 \leq x < 2$ en notation d'intervalle.
Solve online
Ex. 1.20Application
Écris l'intervalle $(1, 6)$ sous forme d'inégalité.
Solve online
Ex. 1.21ApplicationAnswer key
Soit $A = \{1, 2, 3, 4\}$ et $B = \{3, 4, 5, 6\}$ . Trouve $A \cup B$ .
Solve online
Ex. 1.22Application
Soit $A = \{1, 2, 3, 4\}$ et $B = \{3, 4, 5, 6\}$ . Trouve $A \cap B$ .
Solve online
Ex. 1.23Application
Trouve $[0, 3] \cup [2, 7]$ .
Solve online
Ex. 1.24ApplicationAnswer key
Trouve $[0, 3] \cap [2, 7]$ .
Solve online
Ex. 1.25Application
Soit $A = \{1, 2, 3, 4\}$ et $B = \{3, 4, 5, 6\}$ . Trouve $A \setminus B$ .
Solve online
Ex. 1.26Application
Trouve $(0, 4) \cap (1, 5)$ .
Solve online
Ex. 1.27Modeling
Démontre que $\sqrt{2}$ est un nombre irrationnel.
Solve online
Ex. 1.28Understanding
Donne un exemple de deux intervalles $A$ et $B$ tels que $A \cup B$ est aussi un intervalle.
Solve online
Ex. 1.29Understanding
Donne un exemple de deux intervalles $A$ et $B$ tels que $A \cup B$ n'est pas un intervalle.
Solve online
Ex. 1.30ApplicationAnswer key
Trouve $(-2, 5] \cap [1, 7)$ .
Solve online
Ex. 1.31Application
Trouve $(-2, 5] \cup [1, 7)$ .
Solve online
Ex. 1.32Application
Est-ce que tout nombre entier est un nombre rationnel ? Justifie ta réponse.
Solve online
Ex. 1.33Understanding
Vrai ou Faux : Tout nombre réel est un nombre rationnel.
Solve online
Ex. 1.34Application
Écris l'ensemble de tous les nombres réels sauf 0 en notation d'intervalle.
Solve online
Ex. 1.35UnderstandingAnswer key
Détermine si $\sqrt{2} \in [1, 2]$ .
Solve online
Ex. 1.36ApplicationAnswer key
Résous l'inéquation $|2x - 3| \leq 5$ et exprime la solution en notation d'intervalle.
Solve online
Ex. 1.37Application
Résous l'inéquation $|x - 3| > 5$ et exprime la solution en notation d'intervalle.
Solve online
Ex. 1.38Application
Écris l'inégalité $3 < x < 7$ en notation d'intervalle.
Solve online
Ex. 1.39Application
Résous l'inéquation $|x - 5| \geq 1$ et exprime la solution en notation d'intervalle.
Solve online
Ex. 1.40Understanding
Quelle est la différence entre les intervalles $(a, b)$ et $[a, b]$ ?
Solve online
Ex. 1.41Application
Résous l'inégalité $2 < x < 6$ .
Solve online
Ex. 1.42Application
Quel intervalle représente l'ensemble de toutes les distances possibles ?
Solve online
Ex. 1.43Modeling
Quel intervalle représente un pourcentage ?
Solve online
Ex. 1.44ApplicationAnswer key
Représente l'ensemble de tous les nombres réels non-nuls en notation d'intervalle.
Solve online
Ex. 1.45Understanding
Détermine si $\pi \in [3, 4]$ .
Solve online
Ex. 1.46Application
Vrai ou Faux : $\mathbb{Q} = \mathbb{R}$ .
Solve online
Ex. 1.47Understanding
Est-ce que tout nombre naturel est un nombre réel ? Justifie ta réponse.
Solve online
Ex. 1.48ApplicationAnswer key
Où se situe le nombre d'Euler $e$ sur la droite numérique ?
Solve online
Ex. 1.49ApplicationAnswer key
Écris l'inégalité $x \leq 2$ en notation d'intervalle.
Solve online
Ex. 1.50Understanding
Vrai ou Faux : Chaque nombre entier est un nombre rationnel.
Solve online
Ex. 1.51Challenge
Démontre que l'ensemble $\mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$ (c'est-à-dire, entre deux réels distincts existe toujours un rationnel).
Solve online
Ex. 1.52Understanding
Peut-on énumérer tous les nombres rationnels en une séquence ? Que signifie cela ?
Solve online
Ex. 1.53Challenge
Exprime une boule ouverte de rayon $r$ centrée sur $a$ en notation d'intervalle. Comment diffère-t-elle d'une boule fermée ?
Solve online
Ex. 1.54Modeling
Un produit coûte entre 50 et 200 euros. Exprime ce domaine en notation d'intervalle.
Solve online
Ex. 1.55Understanding
Énonce les propriétés commutative et associative de l'addition pour les nombres réels.
Solve online
Ex. 1.56Application
Écris l'ensemble des nombres $x$ tels que $-2 < x < 5$ mais $x \neq 3$ .
Solve online
Ex. 1.57ChallengeAnswer key
Démontre que si $|a| < \epsilon$ pour chaque $\epsilon > 0$ , alors $a = 0$ .
Solve online
Ex. 1.58Understanding
Quel est l'ensemble des nombres entiers négatifs ?
Solve online
Ex. 1.59Application
Montre qu'un intervalle fermé $[a, b]$ est un sous-ensemble de $\mathbb{R}$ .
Solve online
Ex. 1.60Challenge
Montre que le complémentaire de l'intervalle ouvert $(a, b)$ dans $\mathbb{R}$ est un ensemble fermé.
Solve online

Fontes

OpenStax College Algebra 2e, §1.1 — « Real Numbers and Algebra Essentials ». Licence CC-BY 4.0. Comprehensive treatment of real numbers, rational vs. irrational, and interval notation.
Stitz–Zeager Precalculus, Chapitre 1 — « Real Numbers, Exponents, and Radicals ». Licence CC-BY-NC-SA. Introduces sets, intervals, and algebraic properties grounded in the real number system.
Hammack — Book of Proof, §1 — « What is a Proof? ». Licence CC-BY. Light introduction to set theory, logical reasoning, and proof by contradiction.
Yoshiwara — Modeling, Functions, and Graphs, Chapitre 1 — « Algebra & Trigonometry ». Licence libre. Emphasizes applications of sets and intervals to real-world modeling.
Wikilivros — Matemática elementar, Aritmética — « Elementary Mathematics ». Licence CC-BY-SA. Brazilian open textbook on basic arithmetic and sets.
Battaia — Mathématiques Première, §1 — « Les ensembles de nombres ». Licence CC-BY-SA. French high-school algebra focused on number sets and interval arithmetic.

Définition rigoureuse

Ensembles numériques fondamentaux

Intervalles

Opérations entre ensembles

Exemplos resolvidos