Leçon 2 — Funções: definição, domínio, imagem

Determine o domínio máximo de $f(x) = 3x + 1$.

Determine o domínio máximo de $g(x) = \dfrac{1}{x - 2}$.

Determine o domínio máximo de $h(x) = \sqrt{x - 5}$.

Determine o domínio máximo de $f(x) = \dfrac{1}{(x+2)(x-3)}$.

Seja $f(x) = 2x^2 + 2$. Calcule $f(2)$, $f(-1)$, $f(0)$.

A função $f(x) = 3x - 1$ é injetora? Justifique.

A função $g(x) = x^2$ definida em $\mathbb{R}$ é injetora?

Qual a imagem de $g(x) = x^2$ definida em $\mathbb{R}$?

Para a função por partes $f(x) = \begin{cases} 3x + 1 & \text{se } x < 0 \\ x^2 + 3 & \text{se } x \geq 0 \end{cases}$ calcule $f(-3)$ e $f(2)$.

Determine o domínio e a imagem de $f(x) = \sqrt{4 - x^2}$.

Sejam $f(x) = x^2$ e $g(x) = x + 1$. Calcule $(f \circ g)(x)$.

Com os mesmos $f, g$ acima, calcule $(g \circ f)(x)$.

Determine a inversa de $f(x) = 3x + 1$.

Por que $f(x) = x^2$ definida em $\mathbb{R}$ não tem inversa? E em $[0, +\infty)$?

A função $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = x^3$ é bijetora?

A função $g: \mathbb{R} \to [0, +\infty)$ definida por $g(x) = x^2$ é sobrejetora? E injetora?

Sejam $f(x) = x^2$ e $g(x) = 2x + 3$. Calcule $(f \circ g)(x)$ e $(g \circ f)(x)$ e mostre que são diferentes.

Sabendo que $(f \circ g)(x) = (x+1-1)^2 + 1$ e $g(x) = x + 1$, determine $f$.

Sejam $f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ funções tais que $(f \circ g)(x) = x^2 + 1$ e $g(x) = x + 1$. Determine $f(x)$.

Demonstre: a composição de duas funções bijetoras é bijetora.

Determine o domínio máximo de $f(x) = \dfrac{x+1}{x^2 - 9}$.

Determine o domínio máximo de $f(x) = \sqrt{4 - x}$.

Determine o domínio de $f(x) = \sqrt{4 - x^2}$.

Determine o domínio de $f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x - 2}}$.

Determine o domínio de $f(x) = \dfrac{\sqrt{9 - x^2}}{x}$.

Use o teste da reta horizontal para decidir se $f(x) = x^3 - 3x$ é injetora em $\mathbb{R}$.

A função $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = x^3$ é injetora? Sobrejetora? Bijetora?

Sejam $f(x) = 2x + 3$ e $g(x) = x^2$. Calcule $f \circ g$, $g \circ f$, $f \circ f$, $g \circ g$.

Determine $f(x)$ sabendo que $(f \circ g)(x) = 4x^2 - 4x + 5$ e $g(x) = 2x - 1$. (Dica: faça $u = 2x - 1$.)

Esboce $f(x) = |x - 3|$ a partir do gráfico de $|x|$. Que transformação ocorreu?

Esboce $f(x) = -2(x+1)^2 + 4$ a partir de transformações sobre $x^2$.

Decida se cada função abaixo é par, ímpar ou nem par nem ímpar: (a) $f(x) = x^4 - x^2$; (b) $g(x) = x^3 + x$; (c) $h(x) = x^2 + x$.

Considere a função característica $\chi_A(x) = 1$ se $x \in A$, $0$ caso contrário. Para $A = [0, 1]$, determine domínio e imagem.

Verifique que $\sin x$ tem período $2\pi$. Existe um período menor?

Calcule a distância euclidiana entre $(1, 2)$ e $(5, 7)$.

Para deslocar o gráfico de $y = f(x)$ duas unidades para baixo, qual transformação aplicar?

Para deslocar $y = f(x)$ três unidades para a direita, escreva $g(x) =$ ?

Determine domínio, imagem e classifique $f(x) = x^3 + 3x + 1$.

Diferencie a dilatação vertical $g(x) = 2 f(x)$ da dilatação horizontal $g(x) = f(2x)$.

Determine domínio e imagem de $f(x) = 1/x$.

Um táxi cobra R$ 5,50 fixos + R$ 3,10 por km. (a) Escreva a função custo $T(d)$. (b) Quanto custa uma corrida de 12 km? (c) Para qual distância o custo é R$ 80?

Uma piscina vazia é enchida a 200 L/min. Modele $V(t)$ em litros como função do tempo $t$ em minutos. Capacidade total 8000 L. Determine domínio físico e imagem.

Calcule o IMC de uma pessoa de 70 kg e 1,75 m. Em qual faixa da OMS ela se encontra?

Uma fábrica produz $q$ unidades por dia com custo $C(q) = 100 + 8q + 0{,}1q^2$ reais. (a) Custo fixo? (b) Custo médio em $q = 50$? (c) Custo marginal da 51ª unidade?

Uma bactéria dobra a cada 30 min. Modele $N(t)$ se $N(0) = 100$.

A frequência cardíaca máxima recomendada é $F_{max}(\text{idade}) = 220 - \text{idade}$. Calcule para idades 30, 50, 70.

A função $V(t) = 30\,000 \cdot (0{,}85)^t$ modela o valor de revenda de um carro $t$ anos após a compra. (a) $V(0)$? (b) $V(5)$? (c) Para qual $t$ o valor cai abaixo de R$ 10.000?

Modele matematicamente: "a soma de dois números é 30 e o produto é máximo". (Preview de quadrática — Leçon 4.)

Em uma fábrica, cada operário monta 12 produtos/dia. A partir de 50 operários, cada operário adicional só monta 8 produtos. Modele $P(n)$ como função por partes.

Uma piscina retangular tem perímetro fixo de 30 m. Modele a área $A$ em função do comprimento $\ell$. Determine o domínio físico e a área máxima.