v1 · padrão canônico

Leçon 3 — Funções afins (1.º grau)

Função afim f(x) = ax + b. Inclinação como taxa de variação CONSTANTE — ponte conceitual para derivada.

Used in: 1.º ano EM

f(x) = ax + b

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição e propriedades

$a$ : coeficiente angular (slope, inclinação)
$b$ : coeficiente linear (intercepto em y)
Gráfico: reta. $a > 0$ : crescente. $a < 0$ : decrescente. $a = 0$ : constante.

(1)

what this means · Taxa de variação entre dois pontos da reta. Para função afim, esse valor é CONSTANTE — não depende de qual par de pontos você escolha. É essa constância que caracteriza a função afim entre todas as outras.

"A inclinação de uma reta que passa por dois pontos $(x_1, y_1)$ e $(x_2, y_2)$ é $m = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)$ ." — OpenStax College Algebra 2e, §2.2

Zero da função e intercepto

$f(x) = 0 \iff x = -b/a$ (quando $a \neq 0$ ). O par $(0, b)$ é o intercepto vertical. O par $(-b/a, 0)$ é o zero (ou intercepto horizontal).

Teorema da unicidade por dois pontos

Prova (esboço). Existência: defina $a$ pela fórmula acima e $b = y_1 - a x_1$ . Verifica-se $f(x_1) = y_1$ por construção, e $f(x_2) = a(x_2 - x_1) + y_1 = (y_2 - y_1) + y_1 = y_2$ . Unicidade: se $g(x) = a' x + b'$ também satisfaz $g(x_i) = y_i$ , então $a' = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1) = a$ e $b' = y_1 - a' x_1 = b$ . ∎

Composição e operações

Sejam $f(x) = a_1 x + b_1$ e $g(x) = a_2 x + b_2$ . Então:

Soma: $(f + g)(x) = (a_1 + a_2) x + (b_1 + b_2)$ — afim, com inclinações somadas.
Composição: $(f \circ g)(x) = a_1 (a_2 x + b_2) + b_1 = a_1 a_2 x + (a_1 b_2 + b_1)$ — afim, com inclinações multiplicadas.
Inversa (se $a_1 \neq 0$ ): $f^{-1}(y) = (y - b_1)/a_1$ — também afim, com inclinação $1/a_1$ .

O conjunto das funções afins invertíveis ( $a \neq 0$ ) com a operação de composição forma um grupo — a estrutura $(\mathbb{R}^* \times \mathbb{R}, \circ)$ . Essa observação será usada em álgebra linear (Aula 31+) e em geometria afim.

Família de retas paralelas

Família de retas com mesma inclinação a = 1 e diferentes interceptos b. Translação vertical: mudar b só desloca a reta para cima ou para baixo, sem girar.

Família de retas concorrentes

Família com mesmo intercepto (0, 1) e inclinações diferentes — todas se cruzam nesse ponto. Rotação: mudar a gira a reta em torno do intercepto.

Exemples résolus

Cinco exemplos com dificuldade crescente — da avaliação direta de uma reta dada à modelagem de um break-even de planos de internet. Cada exemplo cita a fonte: o problema original vem sempre de um livro aberto.

Example— 1· Exemplo 1 — Identificar coeficientes e zero (aplicação)

Problema: Para $f(x) = -\dfrac{2}{3} x + 4$ , determine: coeficiente angular $a$ , coeficiente linear $b$ , zero da função e o valor de $f(6)$ .

Estratégia: Comparação direta com a forma reduzida $y = ax + b$ . O zero é $x_0 = -b/a$ ; $f(6)$ é avaliação numérica direta.

Resolução:

Coeficientes. Comparando: $a = -2/3$ , $b = 4$ .
Zero. $f(x) = 0 \iff -\tfrac{2}{3}x + 4 = 0 \iff x = 6$ .
$f(6)$ . $f(6) = -\tfrac{2}{3}(6) + 4 = -4 + 4 = 0$ . Confere com o item 2 — $x = 6$ é o zero.

Verificação: Como $a < 0$ , a função é decrescente. Em $x = 0$ , $f(0) = 4$ (intercepto vertical). Em $x = 6$ , cruza o eixo $x$ . ✓

Fonte. OpenStax — College Algebra 2e §2.2 — licença CC-BY 4.0.

Example— 2· Exemplo 2 — Reta passando por dois pontos (intermediário)

Problema: Determine a equação da função afim cujo gráfico passa por $(2, -1)$ e $(5, 8)$ .

Estratégia: Aplicar a fórmula $a = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)$ para a inclinação, depois usar um dos pontos para encontrar $b$ .

Resolução:

Inclinação. $a = \dfrac{8 - (-1)}{5 - 2} = \dfrac{9}{3} = 3$ .
Intercepto. Usando o ponto $(2, -1)$ : $-1 = 3 \cdot 2 + b \Rightarrow b = -7$ .
Equação. $f(x) = 3x - 7$ .

Verificação: $f(2) = 6 - 7 = -1$ ✓ e $f(5) = 15 - 7 = 8$ ✓.

Fonte. OpenStax — College Algebra 2e §2.2 — licença CC-BY 4.0.

Example— 3· Exemplo 3 — Retas paralelas e perpendiculares (intermediário)

Problema: Determine a equação da reta paralela a $y = -2x + 7$ que passa por $(3, 1)$ , e a equação da reta perpendicular a essa mesma reta passando pelo mesmo ponto.

Estratégia: Paralelas têm a mesma inclinação ( $a' = a$ ). Perpendiculares têm inclinações cujo produto é $-1$ ( $a' = -1/a$ ). Em ambos os casos, encontrar $b'$ pelo ponto dado.

Resolução:

Reta paralela. Inclinação $a' = -2$ . Usando $(3, 1)$ : $1 = -2(3) + b' \Rightarrow b' = 7$ . Equação: $y = -2x + 7$ . (Espera — coincidiu com a reta original. Isso ocorre porque $(3, 1)$ está sobre a reta original.)
Verificação. $-2(3) + 7 = 1$ . ✓ De fato, $(3, 1)$ pertence à reta original; a única reta paralela é ela mesma.
Reta perpendicular. Inclinação $a' = -1/(-2) = 1/2$ . Usando $(3, 1)$ : $1 = (1/2)(3) + b' \Rightarrow b' = -1/2$ . Equação: $y = \tfrac{1}{2}x - \tfrac{1}{2}$ .

Verificação: Em $x = 3$ : $\tfrac{1}{2}(3) - \tfrac{1}{2} = 1$ . ✓ Produto das inclinações: $(-2) \cdot (1/2) = -1$ . ✓

Fonte. Stitz–Zeager — Precalculus §2.1 — licença CC-BY-NC-SA.

Example— 4· Exemplo 4 — Composição de afins é afim (avançado)

Problema: Sejam $f(x) = 2x + 1$ e $g(x) = -3x + 5$ . Calcule $f \circ g$ , $g \circ f$ e mostre que ambas são afins. Determine os coeficientes resultantes em cada caso.

Estratégia: Substituir uma função na outra e simplificar para a forma reduzida. A composição de duas afins é sempre afim — propriedade-chave que permite construir grupos de transformações.

Resolução:

$f \circ g$ . $f(g(x)) = f(-3x + 5) = 2(-3x + 5) + 1 = -6x + 10 + 1 = -6x + 11$ . Coeficientes: $a = -6$ , $b = 11$ . Note que $a$ resultante é o produto $2 \cdot (-3) = -6$ .
$g \circ f$ . $g(f(x)) = g(2x + 1) = -3(2x + 1) + 5 = -6x - 3 + 5 = -6x + 2$ . Coeficientes: $a = -6$ , $b = 2$ .
Observação. Ambas têm a mesma inclinação $-6$ (multiplicação dos $a$ 's individuais — comutativa) mas diferentes interceptos (não comutativos no termo constante).

Verificação: Em $x = 0$ : $(f \circ g)(0) = f(5) = 11$ ✓; $(g \circ f)(0) = g(1) = 2$ ✓.

Fonte. OpenStax — College Algebra 2e §5.1 — licença CC-BY 4.0.

Example— 5· Exemplo 5 — Modelagem real: comparação de planos de táxi (modelagem real)

Problema: Duas empresas de táxi competem na mesma cidade. Empresa X: bandeirada R$ 6,00 + R$ 2,80/km. Empresa Y: bandeirada R$ 4,00 + R$ 3,50/km. A partir de qual distância a Empresa X é mais barata?

Estratégia: Modelar cada custo como função afim, igualar para encontrar o ponto de equilíbrio, e analisar a comparação para distâncias maiores e menores.

Resolução:

Modelos. $C_X(d) = 6 + 2,80\,d$ e $C_Y(d) = 4 + 3,50\,d$ .
Ponto de equilíbrio. Igualar: $6 + 2,80\,d = 4 + 3,50\,d \Rightarrow 2 = 0,70\,d \Rightarrow d = 2/0,70 \approx 2,86$ km.
Comparação. Para $d < 2,86$ km, a Empresa Y é mais barata (bandeirada menor compensa). Para $d > 2,86$ km, a Empresa X é mais barata (taxa por km menor compensa).

Verificação: Em $d = 5$ km: $C_X = 6 + 14 = 20,00$ reais; $C_Y = 4 + 17,50 = 21,50$ reais. ✓ X é mais barata. Em $d = 1$ km: $C_X = 8,80$ , $C_Y = 7,50$ . ✓ Y é mais barata.

Fonte. Yoshiwara — Modeling, Functions, and Graphs cap. 1 — licença livre.

Exercise list

45 exercises · 11 with worked solution (25%)

Application 16Understanding 9Modeling 18Challenge 1Proof 1

Ex. 3.1ApplicationAnswer key
Para $f(x) = 3x + 1$ , calcule $f(2)$ .
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Ex. 3.2Application
Qual o coeficiente angular de $f(x) = 2x - 5$ ?
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Ex. 3.3ApplicationAnswer key
Qual o coeficiente linear de $f(x) = 2x - 5$ ?
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Ex. 3.4Application
Encontre o zero de $f(x) = 2x - 5$ .
Solve online
Ex. 3.5Application
$f(x) = 4x + 3$ é crescente, decrescente ou constante?
Solve online
Ex. 3.6Application
$g(x) = -2x + 7$ é crescente, decrescente ou constante?
Solve online
Ex. 3.7ApplicationAnswer key
Determine a equação da reta que passa por $(0, 1)$ e $(2, 5)$ .
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Ex. 3.8Application
Determine a equação da reta que passa por $(1, 4)$ e $(3, -2)$ .
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Ex. 3.9Understanding
Mostre que a taxa de variação $(f(x_2) - f(x_1))/(x_2 - x_1)$ de $f(x) = ax + b$ é constante e igual a $a$ .
Ex. 3.10Understanding
Encontre uma reta perpendicular a $y = 3x + 1$ que passe por $(0, 0)$ .
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Ex. 3.11Modeling
A conta de luz tem cobrança fixa de R$ 15,00 + R$ 0,80/kWh. (a) Modele $C(k)$ . (b) Quanto custa consumir 250 kWh? (c) Para qual consumo a conta atinge R$ 200?
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Ex. 3.12Modeling
$F = 1{,}8C + 32$ . (a) 20°C em °F? (b) 100°F em °C? (c) Existe T com $C = F$ ?
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Ex. 3.13ModelingAnswer key
Cidade tinha 1500 habitantes em 2020 e cresceu linearmente até 2500 em 2025. (a) Modele $P(t)$ tomando $t = 0$ em 2020. (b) Em qual ano a população atingirá 4000?
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Ex. 3.14Challenge
Carro A parte da posição 0 m a 30 m/s. Carro B parte simultaneamente da posição 200 m a 25 m/s, na mesma direção. Em que instante e posição se encontram?
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Ex. 3.15Proof
Demonstre: a composição de duas funções afins é também afim.
Ex. 3.16Application
Determine a equação da reta que passa por $(3, 5)$ e $(1, 1)$ .
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Ex. 3.17Application
Determine a equação da reta que passa por $(-2, 4)$ e $(3, -6)$ .
Solve online
Ex. 3.18Application
Reta paralela a $y = 3x + 1$ e passando por $(0, 5)$ .
Solve online
Ex. 3.19ApplicationAnswer key
Reta perpendicular a $y = 2x - 3$ e passando por $(2, 3)$ .
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Ex. 3.20ApplicationAnswer key
Determine $a$ tal que $y = ax + 2$ e $y = 4x - 5$ sejam paralelas.
Solve online
Ex. 3.21Application
Determine $a$ tal que $y = ax + 2$ e $y = 4x - 5$ sejam perpendiculares.
Solve online
Ex. 3.22Application
Determine o ponto de interseção de $y = 2x - 3$ e $y = -x + 3$ .
Solve online
Ex. 3.23Application
A reta $r$ passa por $(0, 4)$ e é perpendicular à reta $3x + y - 6 = 0$ . Determine sua equação.
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Ex. 3.24Understanding
Mostre que três pontos $(0, 1)$ , $(2, 5)$ , $(5, 11)$ são colineares.
Ex. 3.25Understanding
Para qual valor de $k$ os pontos $(1, 2)$ , $(3, k)$ e $(5, 12)$ são colineares?
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Ex. 3.26Understanding
Encontre a distância da origem à reta $3x - 4y + 12 = 0$ .
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Ex. 3.27Understanding
A reta $y = 2x - 5$ é tangente, secante ou exterior à circunferência $x^2 + y^2 = 4$ ?
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Ex. 3.28Understanding
Esboce $f(x) = |2x - 4|$ a partir de $|x|$ .
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Ex. 3.29UnderstandingAnswer key
Mostre que $f(x) = ax + b$ é injetora se e somente se $a \neq 0$ .
Ex. 3.30Understanding
Calcule o ângulo entre as retas $y = x + 1$ e $y = 3x - 2$ .
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Ex. 3.31ModelingAnswer key
Um táxi cobra R$ 5,00 fixos e R$ 2,80/km. Modele a tarifa $T(d)$ e calcule para 6 km.
Solve online
Ex. 3.32Modeling
Conta de água: R$ 25 fixo + R$ 4,50/m³. Para qual consumo a conta excede R$ 100?
Solve online
Ex. 3.33Modeling
Operadora 1: R$ 30 fixo + R$ 0,40/min. Operadora 2: R$ 50 fixo + R$ 0,15/min. A partir de quantos minutos a 2.ª é mais barata?
Solve online
Ex. 3.34Modeling
Profundidade de poço linear: 40 m após 2h, 88 m após 5h. Modele $h(t)$ e calcule após 10h.
Solve online
Ex. 3.35Modeling
Conversão Celsius-Fahrenheit: $0\,°C = 32\,°F$ e $100\,°C = 212\,°F$ . Modele $F(C)$ , calcule $F(37)$ e o $C$ correspondente a $98{,}6$ °F.
Solve online
Ex. 3.36Modeling
Custo $C(q) = 200 + 8q$ e receita $R(q) = 12q$ . (a) Para qual $q$ o lucro é zero? (b) Lucro para $q = 100$ ?
Solve online
Ex. 3.37ModelingAnswer key
Lei de Hooke: $\sigma = E \epsilon$ . Para $E = 200$ GPa, qual a deformação para $\sigma = 100$ MPa?
Solve online
Ex. 3.38Modeling
Altura de vela: $h(t) = 25 - 0{,}8t$ cm. Quando a vela acaba?
Solve online
Ex. 3.39Modeling
Vazão constante: $V(t) = Q \cdot t$ . Para $Q = 5$ L/min, modele e calcule volume em 1h.
Solve online
Ex. 3.40Modeling
Custo de combustível: $C(d) = 0{,}45 d$ R$ (com $d$ em km). Modele e calcule custo de viagem de 350 km.
Solve online
Ex. 3.41ModelingAnswer key
Aluguel de carro: R$ 80 fixo + R$ 0,30/km. Custo total para 300 km e 1 dia?
Solve online
Ex. 3.42Modeling
Pressão atmosférica decresce 0,12 kPa/m perto do solo. Ao nível do mar, 101,3 kPa. Modele $P(h)$ e ache $h$ para $P = 50$ kPa.
Solve online
Ex. 3.43Modeling
Vendas em função do preço: $V(p) = 500 - 8p$ . Determine o domínio físico válido.
Solve online
Ex. 3.44Modeling
Numa caminhada com inclinação constante: 60 kcal após 1 km, 280 kcal após 5 km. Modele $G(d)$ .
Solve online
Ex. 3.45ModelingAnswer key
Plano A: R$ 90/mês fixo. Plano B: R$ 30/mês + R$ 4/GB. Para qual consumo $g$ os planos custam o mesmo?
Solve online

Sources

Apenas livros que alimentaram diretamente o texto e os exercícios. Catálogo geral em /livros.

OpenStax College Algebra 2e — Jay Abramson et al. · 2022 · EN · CC-BY 4.0 · §2.1–2.4, §5.1–5.3. Fonte primária dos blocos A, B, C.
Yoshiwara — Modeling, Functions, and Graphs — Katherine Yoshiwara · 2020 · EN · livre · cap. 1. Fonte primária do bloco E (modelagem).
Active Calculus — Matt Boelkins · 2024, ed. 2.0 · EN · CC-BY-NC-SA · §1.2–1.3 (taxa de variação como motivação para derivada). Fonte da Porta 25.
Stitz–Zeager Precalculus — Carl Stitz, Jeff Zeager · 2013, v3 · EN · CC-BY-NC-SA · §2.1, §10.6.
Hammack — Book of Proof — Richard Hammack · 2018 · EN · livre · §12. Fonte do exercício 3.15 (composição de afins).