v1 · padrão canônico

Leçon 4 — Funções quadráticas

Função quadrática f(x) = ax² + bx + c. Vértice, raízes (Bhaskara), eixo de simetria, concavidade.

Used in: 1.º ano EM

f(x) = ax^2 + bx + c, \quad a \neq 0

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Définition rigoureuse

"Uma função quadrática é uma função polinomial de grau 2." — OpenStax College Algebra 2e, §5.3

Raízes — Fórmula de Bhaskara

(1)

what this means · A famosa fórmula resolutiva. Δ = b² − 4ac é o discriminante. Δ > 0: duas raízes reais distintas. Δ = 0: uma raiz dupla. Δ < 0: nenhuma raiz real (duas complexas conjugadas).

Vértice

(2)

what this means · Coordenada x do vértice — ponto crítico (máximo se a < 0, mínimo se a > 0). Demonstra-se completando o quadrado, ou pela média das raízes.

Forma canônica (completar quadrado)

(3)

Parábolas. Esquerda: a > 0, concavidade pra cima, vértice é mínimo. Direita: a < 0, concavidade pra baixo, vértice é máximo. Pontos laranja: raízes (zeros).

Exemples résolus

Cinco exemplos com dificuldade crescente — da resolução elementar via Bhaskara à modelagem real (cerca com cerca interna, otimização). Cada exemplo cita a fonte: o problema original vem sempre de um livro aberto.

Example— 1· Exemplo 1 — Bhaskara em quadrática direta (aplicação)

Problema: Resolva $x^2 - 5x + 6 = 0$ .

Estratégia: Identificar coeficientes ( $a, b, c$ ) e aplicar a fórmula de Bhaskara — ou fatorar diretamente quando for óbvio.

Resolução:

Coeficientes. $a = 1$ , $b = -5$ , $c = 6$ .
Discriminante. $\Delta = b^2 - 4ac = 25 - 24 = 1 > 0$ . Duas raízes reais distintas.
Bhaskara. $x = \dfrac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = \dfrac{5 \pm 1}{2}$ . Logo $x_1 = 3$ , $x_2 = 2$ .

Verificação (relações de Vieta): $x_1 + x_2 = 5 = -b/a$ ✓ e $x_1 \cdot x_2 = 6 = c/a$ ✓. Substituindo em $f$ : $f(2) = 4 - 10 + 6 = 0$ ✓ e $f(3) = 9 - 15 + 6 = 0$ ✓.

Fonte. OpenStax — College Algebra 2e §5.3 — licença CC-BY 4.0.

Example— 2· Exemplo 2 — Vértice e forma canônica (intermediário)

Problema: Para $f(x) = 2x^2 - 8x + 5$ , determine o vértice e reescreva na forma canônica $a(x - h)^2 + k$ .

Estratégia: Usar $x_V = -b/(2a)$ e calcular $f(x_V)$ — ou completar o quadrado.

Resolução:

$x_V$ . $x_V = -(-8)/(2 \cdot 2) = 2$ .
$y_V$ . $f(2) = 2(4) - 8(2) + 5 = 8 - 16 + 5 = -3$ .
Forma canônica. $f(x) = 2(x - 2)^2 - 3$ .

Verificação: Expandir: $2(x^2 - 4x + 4) - 3 = 2x^2 - 8x + 8 - 3 = 2x^2 - 8x + 5$ ✓.

Conclusão geométrica. Como $a = 2 > 0$ , vértice é mínimo. O valor mínimo da função é $-3$ , atingido em $x = 2$ . Eixo de simetria: $x = 2$ .

Fonte. Stitz–Zeager — Precalculus §2.3 — licença CC-BY-NC-SA.

Example— 3· Exemplo 3 — Inequação quadrática (intermediário)

Problema: Resolva $x^2 - x - 6 < 0$ .

Estratégia: Encontrar as raízes da quadrática associada ( $x^2 - x - 6 = 0$ ). Como o coeficiente líder é positivo, a parábola é "sorridente" — está abaixo do eixo $x$ entre as raízes.

Resolução:

Raízes. Fatorando: $x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) = 0 \Rightarrow x_1 = -2$ , $x_2 = 3$ .
Análise de sinal. Coeficiente líder $a = 1 > 0$ ⟹ parábola tem concavidade para cima. Negativa entre as raízes, positiva fora. Como queremos $< 0$ , ficamos com o intervalo entre as raízes (excluindo extremos, pois é estrita).
Solução. $x \in (-2, 3)$ .

Verificação: Em $x = 0$ (interno): $0 - 0 - 6 = -6 < 0$ ✓. Em $x = 5$ (externo): $25 - 5 - 6 = 14 > 0$ ✓ (não na solução).

Fonte. OpenStax — College Algebra 2e §5.3 — licença CC-BY 4.0.

Example— 4· Exemplo 4 — Otimização com cerca de área máxima (avançado)

Problema: Um agricultor tem 200 m de cerca e quer fazer um pasto retangular contra um muro existente (a cerca cobre apenas 3 lados). Quais dimensões maximizam a área?

Estratégia: Modelar a área como função de uma variável (largura ou comprimento). Substituir a restrição do perímetro disponível e otimizar via vértice da quadrática resultante.

Resolução:

Variáveis. Seja $x$ a largura (lado paralelo ao muro), e $y$ a profundidade (cada um dos dois lados perpendiculares ao muro). Cerca total: $x + 2y = 200$ .
Eliminação. $x = 200 - 2y$ .
Área. $A(y) = x \cdot y = (200 - 2y) \cdot y = 200 y - 2 y^2$ .
Vértice. $y_V = -200/(2 \cdot (-2)) = 50$ m. Como $a = -2 < 0$ , é máximo.
Dimensões ótimas. $y = 50$ m, $x = 200 - 100 = 100$ m. Área máxima: $A(50) = 100 \cdot 50 = 5000$ m².

Verificação: Em $y = 40$ : $A = (200 - 80) \cdot 40 = 4800 < 5000$ . ✓ Em $y = 60$ : $A = (200 - 120) \cdot 60 = 4800 < 5000$ . ✓

Observação. Sem o muro (cerca em 4 lados), a solução clássica seria um quadrado. Com o muro, a "metade" extra de cerca livre permite aumentar a dimensão paralela ao muro. Esse problema é o protótipo da otimização restrita.

Fonte. Yoshiwara — Modeling, Functions, and Graphs cap. 6 — licença livre.

Example— 5· Exemplo 5 — Modelagem real: receita máxima de monopolista (modelagem real)

Problema: Uma loja vende 100 unidades por semana a R$ 50,00 cada. Pesquisa mostra que para cada R$ 1,00 de redução no preço, vendem-se 5 unidades a mais. Qual o preço que maximiza a receita?

Estratégia: Definir variáveis para modelar a redução de preço, escrever quantidade vendida e preço como funções afins dessa variável, multiplicar para obter a receita (quadrática) e usar o vértice.

Resolução:

Variável. Seja $x$ o número de reduções de R$ 1,00 ( $x \geq 0$ inteiro, mas trataremos como real para modelar).
Preço. $p(x) = 50 - x$ .
Quantidade. $q(x) = 100 + 5x$ .
Receita. $R(x) = p(x) \cdot q(x) = (50 - x)(100 + 5x) = 5000 + 250x - 100x - 5x^2 = -5x^2 + 150x + 5000$ .
Vértice. $x_V = -150/(2 \cdot (-5)) = 15$ . Concavidade para baixo ( $a = -5 < 0$ ): é máximo.
Solução ótima. $x = 15$ reduções, ou seja, preço $p(15) = 35$ reais. Quantidade $q(15) = 175$ unidades. Receita máxima: $R(15) = 35 \cdot 175 = 6125$ reais.

Verificação: Em $x = 14$ : $R = 36 \cdot 170 = 6120 < 6125$ . ✓ Em $x = 16$ : $R = 34 \cdot 180 = 6120 < 6125$ . ✓ Confere.

Observação operacional. Note que reduzir o preço para R$ 35,00 aumenta a receita semanal de $50 \cdot 100 = 5000$ para 6125 reais — ganho de 22,5%. Mas atenção: receita não é lucro; se o custo unitário for $c = 30$ reais, o lucro original é $20 \cdot 100 = 2000$ e o lucro otimizado seria $5 \cdot 175 = 875$ — pior. A otimização precisa do objetivo certo.

Fonte. OpenStax — College Algebra 2e §5.3 — licença CC-BY 4.0.

Exercise list

45 exercises · 11 with worked solution (25%)

Application 15Understanding 9Modeling 17Challenge 2Proof 2

Ex. 4.1Application
Resolva $x^2 - 4x + 3 = 0$ .
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Ex. 4.2Application
Resolva $x^2 - 3x - 10 = 0$ .
Solve online
Ex. 4.3Application
Resolva $x^2 - 6x + 9 = 0$ .
Solve online
Ex. 4.4Application
Verifique se $x^2 + x + 1 = 0$ tem raízes reais.
Solve online
Ex. 4.5Application
Encontre o vértice de $f(x) = x^2 - 4x + 3$ .
Solve online
Ex. 4.6Application
A função do item anterior tem máximo ou mínimo? Qual o valor?
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Ex. 4.7UnderstandingAnswer key
Determine os valores de $k$ para que $x^2 + 2x + k = 0$ tenha duas raízes reais distintas.
Solve online
Ex. 4.8Understanding
Use as relações de Girard para resolver $x^2 - x - 2 = 0$ .
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Ex. 4.9Understanding
Reescreva $f(x) = 2x^2 - 8x + 11$ na forma canônica $a(x - x_V)^2 + y_V$ .
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Ex. 4.10Modeling
Projétil lançado com $h(t) = -5t^2 + 20t$ (m, s). (a) Instante de altura máxima? (b) Altura máxima? (c) Quando volta ao solo?
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Ex. 4.11Modeling
Custo $C(q) = q^2 - 30q + 250$ para fabricar $q$ unidades. Quantas unidades minimizam o custo?
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Ex. 4.12Challenge
Um fazendeiro tem 200 m de cerca para um pasto retangular. Quais dimensões maximizam a área?
Solve online
Ex. 4.13Challenge
Determine $m$ para que $f(x) = mx^2 + (m+1)x + 1$ tenha vértice no eixo $y$ .
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Ex. 4.14Proof
Demonstre: a abscissa do vértice de $f(x) = ax^2 + bx + c$ é a média das raízes (quando elas existem).
Ex. 4.15ProofAnswer key
Demonstre a fórmula de Bhaskara completando o quadrado.
Ex. 4.16Application
Determine raízes e vértice de $f(x) = x^2 - 2x - 8$ .
Solve online
Ex. 4.17Application
Determine raízes e vértice de $f(x) = -2x^2 + 4x + 6$ .
Solve online
Ex. 4.18Application
Determine raízes e vértice de $f(x) = 3x^2 - 12x + 9$ .
Solve online
Ex. 4.19Application
Determine raízes e vértice de $f(x) = x^2 + 6x + 13$ .
Solve online
Ex. 4.20Application
Resolva $x^2 - x - 12 = 0$ .
Solve online
Ex. 4.21Application
Resolva $4x^2 - 12x + 9 = 0$ .
Solve online
Ex. 4.22ApplicationAnswer key
Resolva $2x^2 + 5x - 3 = 0$ .
Solve online
Ex. 4.23Application
Resolva $x^2 - 4x - 5 < 0$ .
Solve online
Ex. 4.24Application
Resolva $x^2 \geq 9$ .
Solve online
Ex. 4.25Understanding
Para qual valor de $a$ o vértice de $y = a(x - 3)^2 + 5$ é o ponto $(3, 5)$ ? Que efeito tem $a$ ?
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Ex. 4.26Understanding
Determine $k$ tal que $f(x) = x^2 + kx + 9$ tenha raiz dupla.
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Ex. 4.27UnderstandingAnswer key
Reescreva $f(x) = 2x^2 - 8x + 5$ na forma canônica.
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Ex. 4.28UnderstandingAnswer key
Encontre a quadrática com raízes $-2$ e $5$ que passa por $(0, -10)$ .
Solve online
Ex. 4.29Understanding
Encontre a quadrática com vértice em $(1, -3)$ que passa por $(3, 5)$ .
Solve online
Ex. 4.30Understanding
Esboce $y = 2(x-1)^2 - 3$ a partir do gráfico de $x^2$ .
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Ex. 4.31Modeling
Lança-se projétil verticalmente: $h(t) = 30t - 5t^2$ m. (a) Altura máxima e instante? (b) Tempo até cair?
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Ex. 4.32Modeling
Cerca cobrindo 3 lados (parede no quarto lado), comprimento total 60 m. Modele a área e maximize.
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Ex. 4.33Modeling
Receita $R(p) = p(200 - 4p)$ . (a) Zeros? (b) Preço de receita máxima? (c) Receita máxima?
Solve online
Ex. 4.34Modeling
Custo $C(q) = 2q^2 + 30q + 200$ e receita $R(q) = 200q$ . (a) Lucro $L(q)$ ? (b) $q$ que maximiza? (c) Lucro máximo?
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Ex. 4.35ModelingAnswer key
Trajetória de bola: $h(d) = -0{,}1 d^2 + d + 1$ m. (a) Altura máxima? (b) Onde toca o solo?
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Ex. 4.36ModelingAnswer key
Piscina retangular tem largura 5 m a menos que comprimento e área 84 m². Quais as dimensões?
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Ex. 4.37ModelingAnswer key
Potência $P(d) = P_0/d^2$ (lei do inverso do quadrado). Para $P_0 = 100$ : (a) $P(2)$ ? (b) Para qual $d$ a potência é 25?
Solve online
Ex. 4.38Modeling
Calha em U feita de chapa de 30 cm: fundo $x$ , laterais $(30-x)/2$ . Encontre $x$ que maximiza a vazão.
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Ex. 4.39ModelingAnswer key
Movimento uniformemente variado: $s_0 = 0$ , $v_0 = 20$ m/s, $a = -10$ m/s² (frenagem). Quando $s(t) = 0$ ? Distância máxima?
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Ex. 4.40ModelingAnswer key
Volume de tumor: $V(t) = at^2 + b$ . Se $V(0) = 1$ cm³ e $V(2) = 5$ cm³, determine $a, b$ .
Solve online
Ex. 4.41Modeling
Dois números cuja soma é 12 e produto é máximo.
Solve online
Ex. 4.42Modeling
Triângulo retângulo com hipotenusa fixa 10 m. Cateto $x$ . Modele a área $A(x)$ e maximize.
Solve online
Ex. 4.43Modeling
Distância focal $1/f = 1/d_o + 1/d_i$ . Para $f = 10$ cm e $d_i = 30$ cm, qual $d_o$ ?
Solve online
Ex. 4.44ModelingAnswer key
$p(\Delta s) = -0{,}1(\Delta s)^2 + 4 \Delta s + 50$ . (a) Aumento ótimo $\Delta s$ ? (b) Produtividade máxima?
Solve online
Ex. 4.45Modeling
Galinheiro retangular com 200 m de cerca, dividido ao meio por cerca paralela a um lado. Quais dimensões maximizam a área?
Solve online

Sources

Apenas livros que alimentaram diretamente o texto e os exercícios. Catálogo geral em /livros.

OpenStax College Algebra 2e — Jay Abramson et al. · 2022 · EN · CC-BY 4.0 · §3.5, §5.3 (quadráticas, vértice, raízes, forma canônica). Fonte primária dos blocos A, B, C.
Stitz–Zeager Precalculus — Carl Stitz, Jeff Zeager · 2013, v3 · EN · CC-BY-NC-SA · §2.3 (forma canônica e completar quadrado).
Yoshiwara — Modeling, Functions, and Graphs — Katherine Yoshiwara · 2020 · EN · livre · caps. 6–7 (modelagem com quadráticas: otimização, balística, lucro). Fonte primária do bloco D, do bloco E e da Porta prática.
Active Calculus — Matt Boelkins · 2024, ed. 2.0 · EN · CC-BY-NC-SA · §1.4 (função quadrática como polinômio fundamental).
Lebl — Notes on Diffy Qs — Jiří Lebl · 2024, v6.6 · EN · CC-BY-SA · §2.2 (equação característica e amortecimento). Fonte da Porta 40.