Lição 9 — Taxa de variação média — porta de entrada do cálculo

Calcule a TVM de $f(x) = x^2$ em $[1, 3]$.

Calcule a TVM de $f(x) = x^2$ em $[1, 5]$.

Calcule a TVM de $f(x) = x^2$ em $[2, 4]$.

Calcule a TVM de $g(x) = 3x - 5$ em $[0, 10]$. Verifique que é igual à inclinação $a = 3$ da reta.

Calcule a TVM de $g(x) = 2x + 7$ em $[10, 20]$. Compare com o item anterior.

Pré-derivada. Para $f(x) = x^2$, encontre a TVM no intervalo $[a, a+h]$ em função de $a$ e $h$.

Para $f(x) = x^3$, encontre a TVM no intervalo $[a, a+h]$. O que ocorre quando $h \to 0$?

Mostre que a TVM de $f(x) = c$ (constante) em qualquer intervalo é $0$. Explique por quê.

Um carro percorre $s(t) = 4 t^2$ metros em $t$ segundos. Calcule a velocidade média entre $t = 1$ e $t = 3$.

A altura de uma bola lançada vertical é $h(t) = 20 t - 5 t^2$ (m, s). (a) Velocidade média entre $t = 0$ e $t = 2$. (b) Entre $t = 0$ e $t = 4$. (c) O que acontece com a "média" se a bola voltou ao chão?

A população $P(t) = 1\,000 e^{0{,}03 t}$ representa habitantes em função do tempo (anos). Qual a TVM (crescimento médio) entre $t = 0$ e $t = 10$? E entre $t = 10$ e $t = 20$?

Para $f(x) = 1/x$, calcule a TVM em $[1, 1+h]$ e simplifique. O que ocorre quando $h \to 0$?

ENEM-style. Um carro percorre 100 km em 54 minutos numa rodovia com limite de 110 km/h. Justifique por que o motorista necessariamente excedeu o limite em algum instante.

Demonstre: a TVM de $f(x) = a x^2 + b x + c$ em $[p, q]$ é $a(p + q) + b$. (Use a fórmula direta.)

Mostre que a TVM de qualquer função afim em qualquer intervalo é igual ao seu coeficiente angular.

Calcule a TVM de $f(x) = x^2$ em (a) $[1, 2]$; (b) $[1, 1{,}5]$; (c) $[1, 1{,}1]$; (d) $[1, 1{,}01]$. Para qual valor as TVMs convergem? Esta convergência é a derivada $f'(1)$.

Calcule a TVM de $f(x) = x^3$ em $[2, 2{,}5]$, $[2, 2{,}1]$, $[2, 2{,}01]$. Estime $f'(2)$.

Calcule a TVM de $f(x) = \sqrt{x}$ em $[4, 9]$.

Calcule a TVM de $f(x) = \dfrac{1}{x}$ em $[1, 4]$.

Calcule a TVM de $f(x) = \sin(x)$ em $[0, \pi/2]$ e em $[\pi/2, \pi]$. Compare e interprete.

Calcule a TVM de $f(x) = e^x$ em $[0, 1]$ e em $[1, 2]$. Por que a segunda é maior?

Calcule a TVM de $f(x) = \ln(x)$ em $[1, e]$ e em $[e, e^2]$.

Para $f(x) = x^2 + 3 x$, calcule TVM em $[1, 1+h]$ em função de $h$. Para qual valor a TVM tende quando $h \to 0$? Interprete.

Para $f(x) = x^2$, calcule TVM em $[a, a+h]$. Mostre que tende a $2a$ quando $h \to 0$. Você acabou de derivar $f'(a) = 2a$.

Em quais intervalos a TVM de $f(x) = x^3$ é positiva? Negativa? (Pista: $f$ é estritamente crescente.)

Mostre que a TVM de uma função par em $[-a, a]$ é zero.

Pegadinha clássica. A TVM de uma função ímpar em $[-a, a]$ é zero? Justifique. (Cuidado: o argumento é diferente do caso par — qual é a diferença?)

A TVM de $f(x) = |x|$ em $[-1, 1]$ é zero. A TVM em $[0, 1]$ é $1$. A TVM em $[-1, 0]$ é $-1$. Comente o que isso revela sobre o gráfico no ponto $x = 0$.

A função $f$ é monótona crescente em $[a, b]$ se a TVM em qualquer subintervalo é positiva. Verdadeiro ou falso? Justifique.

Esboce uma função tal que TVM em $[0, 2] = 0$ mas $f$ não seja constante. (Existem muitas — uma simples.)

Um carro percorre 120 km em 1,5 h. Qual a velocidade média?

A posição de uma partícula é $s(t) = 4 t^2$ (m, com $t$ em s). Velocidade média entre $t = 1$ e $t = 3$?

Um corredor percorre $s(t) = 0{,}5 t^2 + 2 t$ (km, com $t$ em horas). (a) Velocidade média entre $t = 0$ e $t = 1$? (b) Entre $t = 0$ e $t = 2$? (c) Por que a segunda é maior?

A população de uma cidade era 50.000 em 2010 e 75.000 em 2020. (a) TVM (taxa anual média)? (b) Se mantida, projeção para 2030?

Em economia, o PIB do Brasil cresceu de R$ 5,5 trilhões em 2010 para R$ 8,3 trilhões em 2020 (em valores constantes). Calcule a TVM linear anual.

A receita da empresa cresceu de R$ 2 milhões para R$ 3,5 milhões em 5 anos. Qual a TVM mensal?

Em farmacocinética, concentração no sangue: $C(t) = 100 e^{-0{,}3 t}$. TVM em $[0, 2]$? E em $[2, 4]$?

Crescimento de bactérias: $N(t) = 1\,000 \cdot 2^t$ (com $t$ em horas). TVM em $[0, 3]$? Compare com a TVM em $[3, 6]$.

ENEM 2019. A inflação acumulada em 12 meses foi de 4,8%. Qual a inflação média mensal? (Cuidado: inflação compõe.)

Uma empresa tem custo $C(q) = 0{,}5 q^2 + 30 q + 200$. A TVM do custo em $[10, 11]$ é o "custo marginal" aproximado de produzir a 11.ª unidade. Calcule.

Numa corrida de 100 m, o atleta percorre os primeiros 30 m em 4,5 s e os últimos 70 m em 5,5 s. Velocidade média (a) primeiros 30 m; (b) últimos 70 m; (c) corrida toda. Onde correu mais rápido?

A altura de uma pedra em queda livre desde 100 m é $h(t) = 100 - 5 t^2$. Velocidade média no intervalo $[0, 2]$? E no intervalo $[2, t_\text{queda}]$ (sendo $t_\text{queda}$ o instante de impacto)?

Em fluxo de tráfego, a velocidade média de um carro entre dois sensores é $v_m = \Delta x / \Delta t$. Para sensores a 1 km de distância e tempo medido de 50 s, calcule $v_m$ em km/h.

Em finanças: um índice subiu de 100 para 144 em 4 anos. (a) Retorno acumulado (%)? (b) Retorno anualizado (composto)?

Em meteorologia, a temperatura desceu de $28\,°C$ às 14h para $20\,°C$ às 22h. TVM (°C/h)? Discuta a validade do "linear" para temperatura ao longo de 8 horas.