Leçon 11 — Rapports trigonométriques dans le triangle rectangle

Dans un triangle rectangle, l'angle aigu $\theta$ a un côté opposé 3 et un côté adjacent 4. Calculez $\sin\theta, \cos\theta, \tan\theta$.

Un triangle rectangle a des côtés 5 et 12. Calculez l'hypoténuse et $\sin, \cos, \tan$ de l'angle opposé au côté 5.

Hypoténuse = 13 et côté opposé à $\theta$ vaut 5. Calculez $\sin\theta$ et $\cos\theta$.

Calculez $\sin 30°$, $\cos 30°$, $\tan 30°$ exacts.

Calculez $\sin 60°$, $\cos 60°$, $\tan 60°$ exacts.

Calculez $\sin 45°$, $\cos 45°$, $\tan 45°$ exacts.

Si $\sin\theta = \sqrt{3}/2$ et $\theta$ est aigu, quelle est la valeur de $\theta$ ?

Si $\cos\theta = 1/2$ et $\theta$ est aigu, quelle est la valeur de $\theta$ ?

Si $\tan\theta = 1$ et $\theta$ est aigu, quelle est la valeur de $\theta$ ?

Dans un triangle $30°$-$60°$-$90°$ d'hypoténuse 10, calculez les côtés.

Si $\sin\theta = 3/5$ et $\theta$ est aigu, calculez $\cos\theta$.

Si $\cos\theta = 5/13$ et $\theta$ est aigu, calculez $\sin\theta$ et $\tan\theta$.

Si $\tan\theta = 2/3$ et $\theta$ est aigu, calculez $\sin\theta$ et $\cos\theta$.

Vérifiez l'identité $\sin^2 30° + \cos^2 30° = 1$ en utilisant les valeurs remarquables.

Montrez que $\tan\theta = \sin\theta / \cos\theta$ à partir des définitions dans le triangle rectangle.

Montrez que $\sin(90° - \theta) = \cos\theta$ à partir du triangle rectangle.

Pour $\theta$ aigu, lequel est plus grand : $\sin 60°$ ou $\cos 60°$ ? Pourquoi ?

Montrez que $\sin\theta < 1$ pour tout $\theta$ aigu. (Utilisez l'inégalité triangulaire.)

Pour $\theta_1, \theta_2$ aigus avec $\theta_1 < \theta_2$ : montrez que $\sin\theta_1 < \sin\theta_2$ (le sinus est croissant sur $[0, 90°]$).

Montrez que $\tan\theta \to +\infty$ quand $\theta \to 90°^-$.

Dans un triangle rectangle d'hypoténuse 20 cm et d'angle aigu $35°$, calculez les côtés. (Utilisez $\sin 35° \approx 0{,}574$ et $\cos 35° \approx 0{,}819$.)

Côté opposé = 6, angle $\theta = 40°$. Calculez l'hypoténuse. (Utilisez $\sin 40° \approx 0{,}643$.)

Côté adjacent = 10, angle $\theta = 25°$. Calculez le côté opposé. (Utilisez $\tan 25° \approx 0{,}466$.)

Hypoténuse = 25, côté opposé = 7. Calculez l'angle $\theta$. (Rép : $\arcsin(7/25) \approx 16{,}26°$.)

Côtés 8 et 15. Calculez les deux angles aigus.

Dans un triangle équilatéral de côté $\ell$, calculez la hauteur en utilisant la trigonométrie. Comparez avec le résultat par Pythagore.

Dans un carré de côté $\ell$, calculez la diagonale en utilisant la trigonométrie.

Montrez que $\sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2} \sin(\theta + 45°)$ en utilisant la somme d'angles. (Aperçu Leçon 12.)

Dans un triangle rectangle de côté adjacent $b$ et d'hypoténuse $c$, exprimez $\tan\theta$ en fonction de $b$ et $c$.

Calculez (sans calculatrice) $\sin 75°$. (Indice : $75° = 45° + 30°$. Utilisez la formule de la somme — recherchez si nécessaire.)

Une échelle de 5 m est appuyée contre un mur formant un angle de $70°$ avec le sol. À quelle hauteur touche-t-elle le mur ?

Vous êtes à 50 m de la base d'une tour. L'angle d'élévation du sommet est de $40°$. Quelle est la hauteur ?

Un avion décolle et atteint 1 500 m d'altitude horizontale à 5 km de la piste. Quel est l'angle de montée ?

Un navire observe un phare de $200$ m de hauteur sous un angle d'élévation de $3°$. À quelle distance le navire est-il du phare ?

Une rampe d'accessibilité a une inclinaison maximale de $5°$ (NBR 9050). Pour franchir 80 cm de hauteur, quelle est la longueur minimale de la rampe ?

Lors d'une éclipse solaire, la Lune a un diamètre angulaire de $0{,}5°$ vue de la Terre. Diamètre réel : 3 474 km. Calculez la distance Terre-Lune. (Utilisez $\tan(0{,}25°) \approx 0{,}004363$.)

Une force de 200 N est appliquée à un corps dans une direction formant $30°$ avec l'horizontale. Calculez les composantes horizontale et verticale de la force.

Un bloc de 50 kg est sur une rampe de $20°$. Quelle est la force parallèle à la rampe qui tend à faire glisser le bloc ? ($g = 10$ m/s².)

La tour Eiffel mesure 324 m. Sous quel angle voyez-vous le sommet si vous êtes à 500 m de la base ?

Un drone est à 100 m de hauteur et détecte une personne au sol sous un angle de $30°$ en dessous de l'horizon (dépression). Distance horizontale drone-personne ?

Un topographe est en un point $A$ et mesure le sommet d'une colline sous un angle de $25°$. Il marche 100 m vers la colline jusqu'à $B$ et l'angle devient $40°$. Calculez la hauteur de la colline. (Système de deux équations.)

Un câble d'acier soutient une antenne de 30 m fixée au sol à 12 m de la base. Quelle est la longueur du câble ? Quel est l'angle du câble avec le sol ?

Dans un pendule de 1 m, le fil forme un angle de $15°$ avec la verticale à l'extrême. Quelle est la hauteur de l'extrême au-dessus du point d'équilibre ?

Le GPS calcule votre position en utilisant des angles vers 4 satellites. Modèle simplifié 2D : deux satellites en $(0, 20\,000)$ km et $(15\,000, 25\,000)$ km vous voient sous des angles $\alpha, \beta$ avec la verticale. (Esquissez, ne résolvez pas — visualisez la triangulation.)

Une route fait une courbe en V avec une montée de $8\%$ suivie d'une descente de $5\%$. Calculez les angles de montée et de descente en degrés.

Montrez que dans un triangle rectangle d'angles $\theta$ et $90° - \theta$, on a $\sin\theta \cdot \cos\theta = \sin(\theta) \cos(90° - \theta)/2$. (Plus général : $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$.)

Dans un triangle rectangle, montrez que aire $= \frac{1}{2} c^2 \sin\theta \cos\theta$ où $c$ est l'hypoténuse et $\theta$ l'un des angles aigus.

Résolvez : $\sin\theta + \cos\theta = 1$ pour $\theta \in [0°, 90°]$.

Démontrez $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ en utilisant le triangle rectangle et Pythagore.

Montrez que $\sin\theta = \cos(90° - \theta)$ pour tout $\theta \in (0°, 90°)$.