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Leçon 12 — Cercle trigonométrique et radians

Généralisation des rapports trigonométriques via le cercle unité. Les radians comme unité naturelle. Identités fondamentales et périodicité.

Used in: 1re lycée

P(\theta) = (\cos\theta, \sin\theta) \quad \text{sur le cercle unité}

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Définition via le cercle unité

Radians vs degrés

(1)

what this means · Un radian est l'angle au centre qui sous-tend un arc de longueur égale au rayon. Comme le périmètre du cercle unité est 2π, un tour complet (360°) équivaut à 2π radians. En analyse, on utilise toujours les radians : les identités comme (sin x)' = cos x ne sont valables que dans cette unité.

Cercle trigonométrique. Pour chaque angle θ, le point P(θ) = (cos θ, sin θ). Périodicité : tourner de 2π revient au point initial.

Identité de Pythagore

Comme $P(\theta)$ est sur le cercle unité, $x^2 + y^2 = 1$ , c'est-à-dire :

what this means · L'identité de Pythagore généralisée pour tout angle réel, pas seulement aigu. Vraie pour tout θ ∈ ℝ.

Périodicité

$\sin(\theta + 2\pi) = \sin\theta$ et $\cos(\theta + 2\pi) = \cos\theta$ pour tout $\theta \in \mathbb{R}$ .

Signes par quadrant

Quadrant	$\theta$	$\sin\theta$	$\cos\theta$	$\tan\theta$
I	$(0, \pi/2)$	+	+	+
II	$(\pi/2, \pi)$	+	−	−
III	$(\pi, 3\pi/2)$	−	−	+
IV	$(3\pi/2, 2\pi)$	−	+	−

Angles particuliers

$\theta$	$0$	$\pi/6$	$\pi/4$	$\pi/3$	$\pi/2$	$\pi$	$3\pi/2$	$2\pi$
$\sin$	$0$	$1/2$	$\sqrt 2/2$	$\sqrt 3/2$	$1$	$0$	$-1$	$0$
$\cos$	$1$	$\sqrt 3/2$	$\sqrt 2/2$	$1/2$	$0$	$-1$	$0$	$1$

Identités fondamentales

$\sin(-\theta) = -\sin\theta \quad (\sin \text{ est impaire})$ $\cos(-\theta) = \cos\theta \quad (\cos \text{ est paire})$ $\sin(\theta + \pi/2) = \cos\theta, \quad \cos(\theta + \pi/2) = -\sin\theta$

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 20Understanding 10Modeling 9Challenge 1

Ex. 12.1Application
Convertis $60°$ en radians.
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Ex. 12.2Application
Convertis $225°$ en radians.
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Ex. 12.3Application
Convertis $120°$ en radians.
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Ex. 12.4Application
Convertis $\pi/3$ rad en degrés.
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Ex. 12.5ApplicationAnswer key
Convertis $7\pi/4$ rad en degrés.
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Ex. 12.6ApplicationAnswer key
Convertis $1$ rad en degrés (approximativement).
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Ex. 12.7Application
Convertis $90°$ en radians.
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Ex. 12.8Application
Convertis $-150°$ en radians.
Solve online
Ex. 12.9ApplicationAnswer key
Convertis $\pi/12$ rad en degrés.
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Ex. 12.10Application
Convertis $400°$ en radians.
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Ex. 12.11ApplicationAnswer key
Calcule $\sin(\pi/6)$ et $\cos(\pi/6)$ .
Solve onlineref: OpenStax A&T §8.3
Ex. 12.12ApplicationAnswer key
Calcule $\sin(2\pi/3)$ et $\cos(2\pi/3)$ .
Solve online
Ex. 12.13Application
Calcule $\sin(\pi)$ et $\cos(\pi)$ .
Solve online
Ex. 12.14Application
Calcule $\sin(3\pi/2)$ et $\cos(3\pi/2)$ .
Solve online
Ex. 12.15Application
Calcule $\sin(7\pi/6)$ et $\cos(7\pi/6)$ .
Solve online
Ex. 12.16Application
Calcule $\sin(11\pi/6)$ .
Solve online
Ex. 12.17Application
Calcule $\cos(5\pi/4)$ .
Solve online
Ex. 12.18Application
Calcule $\sin(5\pi/3)$ .
Solve online
Ex. 12.19Application
Calcule $\tan(\pi/3)$ .
Solve online
Ex. 12.20Application
Calcule $\tan(7\pi/6)$ .
Solve online
Ex. 12.21Understanding
Vérifie $\sin^2(\pi/3) + \cos^2(\pi/3) = 1$ .
Solve online
Ex. 12.22Understanding
Montre que $\sin(-\pi/4) = -\sin(\pi/4)$ .
Solve online
Ex. 12.23UnderstandingAnswer key
Montre que $\cos(-\pi/3) = \cos(\pi/3)$ .
Solve online
Ex. 12.24Understanding
Calcule $\sin(105°) = \sin(60° + 45°)$ avec la formule de la somme.
Solve onlineref: Stitz-Zeager §10.4
Ex. 12.25UnderstandingAnswer key
Calcule $\cos(15°) = \cos(45° - 30°)$ .
Solve online
Ex. 12.26Understanding
Calcule $\sin(2 \cdot 30°) = 2\sin 30° \cos 30°$ . Vérifie que c'est égal à $\sin 60°$ .
Solve online
Ex. 12.27Understanding
Montre que $\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2\theta$ .
Solve online
Ex. 12.28Understanding
Montre que $\sin(\theta + \pi) = -\sin\theta$ .
Solve online
Ex. 12.29Understanding
Détermine $\theta \in [0, 2\pi)$ tel que $\sin\theta = \cos\theta$ .
Solve online
Ex. 12.30Understanding
Dans quel quadrant a-t-on $\sin\theta > 0$ et $\cos\theta < 0$ ?
Solve online
Ex. 12.31ModelingAnswer key
Un disque tourne à 33 tours par minute. Calcule la vitesse angulaire en rad/s.
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Ex. 12.32Modeling
Un pendule décrit un arc de 30°. En convertissant en rad : quelle est la longueur d'arc si le fil mesure 1,5 m ?
Solve online
Ex. 12.33Modeling
Une horloge analogique : l'aiguille des minutes tourne de 360° par heure. Combien de rad/min ?
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Ex. 12.34Modeling
La Terre tourne de 360° en 24 h. Vitesse angulaire en rad/h ?
Solve online
Ex. 12.35Modeling
En DSP, une onde sinusoïdale $y(t) = \sin(\omega t)$ a $\omega = 2\pi f$ . Pour $f = 60$ Hz (réseau électrique brésilien), quelle est $\omega$ ?
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Ex. 12.36ModelingAnswer key
Un moteur tourne à 1 800 tr/min. Vitesse angulaire en rad/s ?
Solve online
Ex. 12.37Modeling
La roue d'un vélo a un rayon de 35 cm. Si la vitesse linéaire est de 20 km/h, quelle est la vitesse angulaire en rad/s ?
Solve online
Ex. 12.38Modeling
En GPS, les satellites orbitent autour de la Terre à environ 14 000 km/h sur une orbite circulaire de rayon 26 600 km. Vitesse angulaire ?
Solve online
Ex. 12.39Modeling
En mécanique, l'angle de phase d'un oscillateur est $\theta(t) = \omega t + \phi$ . Pour $\omega = 2\pi$ rad/s, $\phi = \pi/4$ , que valent $\theta(0)$ et $\theta(1)$ ?
Solve online
Ex. 12.40ChallengeAnswer key
Une machine rotative est en équilibre si $\sum F_i \cos\theta_i = 0$ . Vérifie pour 3 forces égales séparées de $120°$ .
Solve online

Sources de cette leçon

Algebra and Trigonometry — Jay Abramson et al. (OpenStax) · 2022, 2e éd · EN · CC-BY · §8.3-8.5 : cercle unité, identités fondamentales, formules de somme/différence. Source primaire.
Precalculus / College Algebra / Trigonometry — Stitz, Zeager · 2013, v3 · EN · CC-BY-NC-SA · §10.3-10.4 : cercle unité et identités. Source du bloc C.
College Trigonometry — Stitz, Zeager · 2013 · EN · CC-BY-NC-SA · ch. 10 : traitement étendu.
Geometria e Trigonometria — Wikilivres · vivant · PT-BR · CC-BY-SA · référence en portugais.