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Leçon 13 — Fonctions trigonométriques

Graphes de sin, cos, tan. Périodicité, amplitude, phase, fréquence. Modélisation de phénomènes périodiques.

Used in: 1re année lycée · Physique (ondes) · Ingénierie (signaux)

y(t)=Asin⁡(ωt+φ)+ky(t) = A \sin(\omega t + \varphi) + k
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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Définition et paramètres

Fonction sinusoïdale généralisée

Pour y(t)=Asin⁡(ωt+φ)+ky(t) = A \sin(\omega t + \varphi) + k avec A,ω>0A, \omega > 0 :

  • Amplitude AA : distance de l'axe médian aux pics. Image : [k−A,k+A][k - A, k + A].
  • Fréquence angulaire ω\omega : vitesse d'oscillation. Période T=2π/ωT = 2\pi/\omega. Fréquence f=1/T=ω/(2π)f = 1/T = \omega/(2\pi).
  • Phase initiale φ\varphi : décalage horizontal. yy atteint son maximum lorsque ωt+φ=π/2\omega t + \varphi = \pi/2, c'est-à-dire t=(π/2−φ)/ωt = (\pi/2 - \varphi)/\omega.
  • Décalage vertical kk : milieu du graphe.
sin xcos xπ2π3π4π

Graphes de sin x (bleu) et cos x (orange). Déphasés de π/2. Tous deux ont une amplitude 1 et une période 2π.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 20Understanding 4Modeling 12Challenge 2Proof 2
  1. Ex. 13.1Application
    Esquissez y=2sin⁡xy = 2\sin x sur l'intervalle [0,2π][0, 2\pi]. Identifiez amplitude et période.
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  2. Ex. 13.2Application
    Esquissez y=sin⁡(2x)y = \sin(2x). Période ?
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  3. Ex. 13.3Application
    Esquissez y=cos⁡(x/2)y = \cos(x/2). Période ?
    Solve online
  4. Ex. 13.4Application
    Esquissez y=sin⁡(x−π/4)y = \sin(x - \pi/4). Déphasage ?
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  5. Ex. 13.5Application
    Esquissez y=3sin⁡x+1y = 3\sin x + 1. Identifiez l'image.
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  6. Ex. 13.6Application
    Identifiez amplitude, période, phase dans y=4sin⁡(3x−π)y = 4\sin(3x - \pi).
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  7. Ex. 13.7ApplicationAnswer key
    Identifiez l'image de y=2cos⁡(x)−1y = 2\cos(x) - 1.
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  8. Ex. 13.8Application
    Pour y=sin⁡(πt)y = \sin(\pi t), quelle est la période en secondes ?
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  9. Ex. 13.9Application
    Pour y=cos⁡(2πt/T)y = \cos(2\pi t/T), montrez que la période est TT.
    Solve online
  10. Ex. 13.10ApplicationAnswer key
    Esquissez y=tan⁡xy = \tan x sur (−π/2,π/2)(-\pi/2, \pi/2).
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  11. Ex. 13.11Application
    Résolvez sin⁡x=1/2\sin x = 1/2 sur [0,2π)[0, 2\pi).
    Solve online
  12. Ex. 13.12Application
    Résolvez cos⁡x=0\cos x = 0 sur [0,2π)[0, 2\pi).
    Solve online
  13. Ex. 13.13Application
    Résolvez tan⁡x=1\tan x = 1 sur [0,2π)[0, 2\pi).
    Solve online
  14. Ex. 13.14Application
    Résolvez sin⁡x=−2/2\sin x = -\sqrt 2/2 sur [0,2π)[0, 2\pi).
    Solve online
  15. Ex. 13.15Application
    Résolvez cos⁡(2x)=1/2\cos(2x) = 1/2 sur [0,2π)[0, 2\pi).
    Solve online
  16. Ex. 13.16Application
    Résolvez sin⁡x=cos⁡x\sin x = \cos x sur [0,2π)[0, 2\pi).
    Solve online
  17. Ex. 13.17ApplicationAnswer key
    Résolvez 2sin⁡x−1=02\sin x - 1 = 0 sur [0,2π)[0, 2\pi).
    Solve online
  18. Ex. 13.18Application
    Résolvez sin⁡2x=1/4\sin^2 x = 1/4 sur [0,2π)[0, 2\pi).
    Solve online
  19. Ex. 13.19Application
    Résolvez sin⁡(x+π/3)=1/2\sin(x + \pi/3) = 1/2 sur [0,2π)[0, 2\pi).
    Solve online
  20. Ex. 13.20ApplicationAnswer key
    Résolvez tan⁡(2x)=3\tan(2x) = \sqrt{3} sur [0,2π)[0, 2\pi).
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  21. Ex. 13.21Modeling
    La marée à Salvador oscille entre 0,5 m et 2,5 m avec une période de 12 h. Modélisez la hauteur h(t)h(t) en fonction du temps.
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  22. Ex. 13.22ModelingAnswer key
    Tension du réseau électrique brésilien : V(t)=311sin⁡(120πt)V(t) = 311 \sin(120\pi t). Tension efficace ?
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  23. Ex. 13.23Modeling
    La hauteur d'une nacelle de grande roue (rayon 10 m, axe à 12 m du sol) tourne 1 fois toutes les 4 min. Modélisez h(t)h(t).
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  24. Ex. 13.24ModelingAnswer key
    Son pur de 440 Hz a p(t)=Asin⁡(880πt)p(t) = A \sin(880\pi t). Combien d'oscillations en 1 seconde ?
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  25. Ex. 13.25ModelingAnswer key
    La température mensuelle moyenne à Brasilia oscille entre 18°C (juillet) et 23°C (octobre). Modélisez T(m)T(m) avec mm en mois.
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  26. Ex. 13.26Modeling
    Pendule de longueur 1 m oscille à ω=g/L\omega = \sqrt{g/L}. Pour g=9,81g = 9{,}81, quelle est la période ?
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  27. Ex. 13.27Modeling
    Système masse-ressort : m=0,5m = 0{,}5 kg, k=50k = 50 N/m. Fréquence naturelle ω=k/m\omega = \sqrt{k/m}. Calculez.
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  28. Ex. 13.28Modeling
    En mécanique vibratoire, x(t)=5sin⁡(2πt)x(t) = 5 \sin(2\pi t) cm. Vitesse maximale ?
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  29. Ex. 13.29Modeling
    Marées sous influence uniquement lunaire : période T=12T = 12h 2525min. Fréquence ?
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  30. Ex. 13.30Modeling
    Une étoile céphéide varie en luminosité avec T=5,4T = 5{,}4 jours et amplitude 0,8 magnitudes. Modélisez m(t)m(t).
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  31. Ex. 13.31Modeling
    La profondeur de plongée d'un sous-marin oscille comme d(t)=100+30sin⁡(πt/30)d(t) = 100 + 30 \sin(\pi t / 30) m. Profondeur maximale et minimale ? Période ?
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  32. Ex. 13.32ModelingAnswer key
    En GPS, signal porteur de 1 575 MHz. Période en secondes ? (Les ondes GPS sont quasi instantanées — d'où la précision.)
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  33. Ex. 13.33Understanding
    Montrez que la somme sin⁡x+sin⁡(x+2π/3)+sin⁡(x+4π/3)=0\sin x + \sin(x + 2\pi/3) + \sin(x + 4\pi/3) = 0 pour tout xx. (C'est le résultat derrière les moteurs triphasés.)
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  34. Ex. 13.34UnderstandingAnswer key
    Esquissez y=sin⁡x+sin⁡3xy = \sin x + \sin 3x. (Leçons de Fourier — sommer des harmoniques.)
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  35. Ex. 13.35Understanding
    Montrez que Asin⁡(ωt)+Bcos⁡(ωt)=A2+B2sin⁡(ωt+φ)A \sin(\omega t) + B \cos(\omega t) = \sqrt{A^2 + B^2} \sin(\omega t + \varphi) avec tan⁡φ=B/A\tan\varphi = B/A.
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  36. Ex. 13.36Understanding
    Vérifiez : sin⁡(x)+sin⁡(x+π)=0\sin(x) + \sin(x + \pi) = 0.
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  37. Ex. 13.37Challenge
    Résolvez sin⁡2x−3sin⁡x+2=0\sin^2 x - 3\sin x + 2 = 0 sur [0,2π)[0, 2\pi). (Utilisez u=sin⁡xu = \sin x.)
    Solve online
  38. Ex. 13.38ChallengeAnswer key
    Résolvez 2sin⁡2x+sin⁡x−1=02\sin^2 x + \sin x - 1 = 0 sur [0,2π)[0, 2\pi).
    Solve online
  39. Ex. 13.39Proof
    Démontrez cos⁡(2x)=1−2sin⁡2x\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x.
    Solve online
  40. Ex. 13.40Proof
    Démontrez que sin⁡(x+2π)=sin⁡x\sin(x + 2\pi) = \sin x.
    Solve online

Sources de cette leçon

Updated on 2026-04-29 · Author(s): Clube da Matemática

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