Leçon 14 — Équations et inéquations trigonométriques

Structure des solutions

Équations avec sinus

Pour $\sin x = a$ avec $a \in [-1, 1]$ : $x = \arcsin a + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \pi - \arcsin a + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$

Où $\arcsin: [-1, 1] \to [-\pi/2, \pi/2]$ est la réciproque principale.

Équations avec cosinus

Pour $\cos x = a$ avec $a \in [-1, 1]$ : $x = \pm \arccos a + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$

Où $\arccos: [-1, 1] \to [0, \pi]$.

Équations avec tangente

Pour $\tan x = a$ avec $a \in \mathbb{R}$ : $x = \arctan a + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$

Où $\arctan: \mathbb{R} \to (-\pi/2, \pi/2)$.

Recette générale

Pour résoudre $f(x) = 0$ trigonométrique :

1. Réduire aux équations de base $\sin x = a$, $\cos x = a$, $\tan x = a$ via les identités.
2. Lister toutes les solutions dans l'intervalle $[0, 2\pi)$ (ou $[-\pi, \pi]$).
3. Généraliser en ajoutant $2k\pi$ (ou $k\pi$ pour la tangente).