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Leçon 15 — Loi des sinus et loi des cosinus

Résolution de triangles quelconques (non rectangles). Applications en topographie, navigation et physique.

Used in: 1.º ano do EM (15 anos) · Math II japonês (cap. 図形と計量) · Trigonometry — US precalc

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R, \quad c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Démonstrations et utilisation

Loi des sinus

what this means · Vaut pour tout triangle (aigu, obtus, rectangle). R est le rayon du cercle circonscrit.

Démonstration (pour triangle aigu) : construisez la hauteur $h$ du sommet $C$ au côté $\overline{AB}$ . Alors $h = b \sin A = a \sin B$ . Donc $a/\sin A = b/\sin B$ . Même argument pour $c$ . ∎

Cas particulier (rectangle en $C$ ) : $\sin C = 1$ , donc $c = 2R$ — l'hypoténuse est le diamètre du cercle circonscrit. Théorème de Thalès (géométrique).

Loi des cosinus

what this means · Généralise Pythagore. Lorsque C = 90°, cos C = 0 et on retrouve c² = a² + b².

Démonstration : par le produit scalaire des vecteurs $\vec{CB} - \vec{CA} = \vec{AB}$ : $|\vec{AB}|^2 = |\vec{CB}|^2 + |\vec{CA}|^2 - 2 \vec{CB} \cdot \vec{CA}$

Comme $\vec{CB} \cdot \vec{CA} = |\vec{CB}||\vec{CA}|\cos C = ab \cos C$ , on obtient $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$ . ∎

Quand utiliser chaque loi

Vous avez	Vous voulez	Utilisez
2 angles + 1 côté (AAS, ASA)	les autres côtés	Loi des sinus
2 côtés + angle opposé à un (SSA)	restants (ambigu !)	Loi des sinus
2 côtés + angle entre eux (SAS)	troisième côté	Loi des cosinus
3 côtés (SSS)	un angle	Loi des cosinus inversée

Cas ambigu (SSA)

Étant donné $a$ , $b$ et $A$ (angle opposé à $a$ ) : il peut y avoir 0, 1 ou 2 triangles. Décision :

Si $a \geq b$ : 1 triangle.
Si $a < b \sin A$ : 0 triangle (géométriquement impossible).
Si $b \sin A < a < b$ : 2 triangles.

Exercise list

35 exercises · 8 with worked solution (25%)

Application 18Understanding 2Modeling 12Proof 3

Ex. 15.1Application
Triangle avec $a = 8$ , $A = 30°$ , $B = 45°$ . Calculez $b$ .
Solve online
Ex. 15.2Application
Triangle avec $a = 12$ , $A = 50°$ , $B = 70°$ . Calculez $b$ et $c$ .
Solve online
Ex. 15.3Application
Triangle avec $a = 5$ , $b = 8$ , $A = 30°$ . Combien de triangles sont possibles ?
Solve online
Ex. 15.4ApplicationAnswer key
Triangle avec $b = 10$ , $B = 45°$ , $A = 60°$ . Calculez $a$ .
Solve online
Ex. 15.5ApplicationAnswer key
Dans un triangle $ABC$ , $A = 40°$ , $B = 80°$ , $a = 7$ . Calculez $C$ et $c$ .
Solve online
Ex. 15.6Application
Triangle avec $a = 6$ , $A = 35°$ , $B = 50°$ . Calculez l'aire.
Solve online
Ex. 15.7ApplicationAnswer key
Loi des sinus : $a/\sin 30° = c/\sin 90°$ . Pour $a = 4$ , calculez $c$ .
Solve online
Ex. 15.8Application
Dans un triangle, $a = 10$ , $b = 7$ , $A = 90°$ . Confirmez avec la loi des sinus.
Solve online
Ex. 15.9Application
Triangle : $A = 50°$ , $a = 12$ . Déterminez le rayon du cercle circonscrit $R$ .
Solve onlineref: OpenStax A&T §10.1
Ex. 15.10Understanding
Montrez que dans un triangle équilatéral ( $A = B = C = 60°$ ), $a = b = c$ .
Solve online
Ex. 15.11Application
Triangle avec $a = 5$ , $b = 7$ , $C = 60°$ . Calculez $c$ .
Solve online
Ex. 15.12Application
Triangle avec $a = 8$ , $b = 6$ , $C = 90°$ . Calculez $c$ . (Retrouvez Pythagore.)
Solve online
Ex. 15.13Application
Triangle avec $a = 4$ , $b = 3$ , $C = 120°$ . Calculez $c$ .
Solve online
Ex. 15.14Application
Triangle avec $a = 5$ , $b = 6$ , $c = 7$ . Calculez $C$ .
Solve online
Ex. 15.15Application
Triangle avec $a = 10$ , $b = 12$ , $c = 15$ . Déterminez les 3 angles.
Solve online
Ex. 15.16ApplicationAnswer key
Dans un triangle, $a = 12$ , $b = 8$ , $A = 80°$ . Utilisez la loi des sinus pour $B$ puis calculez $c$ .
Solve online
Ex. 15.17Application
Triangle $ABC$ : $a = 4$ , $b = 5$ , $c = 6$ . Calculez l'aire avec la formule de Héron.
Solve online
Ex. 15.18Application
Dans un triangle équilatéral de côté $\ell$ , montrez via la loi des cosinus que chaque angle vaut $60°$ .
Solve online
Ex. 15.19Application
Triangle avec côtés $7, 24, 25$ . Vérifiez qu'il est rectangle via la loi des cosinus.
Solve online
Ex. 15.20Understanding
Lorsque $C \to 0$ , vers quoi tend la loi des cosinus $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ ? Interprétez géométriquement.
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Ex. 15.21Modeling
Vous marchez 5 km vers l'est, puis tournez de $60°$ vers le nord et marchez encore 3 km. Distance de l'origine ?
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Ex. 15.22Modeling
Un navire quitte le port, navigue 12 km vers le nord-ouest, puis 8 km vers le nord-est. Distance de l'origine ?
Solve online
Ex. 15.23Modeling
Un drone observe deux points $A$ et $B$ au sol sous des angles de $50°$ et $70°$ . Drone à 200 m d'altitude. Calculez la distance $AB$ .
Solve online
Ex. 15.24ModelingAnswer key
Deux côtés d'un terrain triangulaire mesurent 80 m et 100 m, formant un angle de $75°$ . Longueur du troisième côté ?
Solve online
Ex. 15.25ModelingAnswer key
Sur un terrain de football, un attaquant tire depuis la position qui voit le but de 6 mètres sous un angle de $20°$ depuis la position $A$ (dist. au but = 30 m). Distance but-attaquant depuis $A$ ? (Géométrie du but et angle.)
Solve online
Ex. 15.26Modeling
Topographie : vous devez mesurer la distance entre deux points $A$ et $B$ séparés par une rivière. Vous êtes en $C$ , avec $\hat{ACB} = 60°$ , $AC = 50$ m, $BC = 70$ m. Distance $AB$ ?
Solve online
Ex. 15.27ModelingAnswer key
Astronomie : la parallaxe stellaire d'une étoile mesure un angle de $\pi/(360 \cdot 60 \cdot 60)$ rad (1 seconde d'arc) d'un côté à l'autre de l'orbite terrestre. Quelle est la distance de l'étoile en UA ? (Rép : 206 265 UA = 1 parsec.)
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Ex. 15.28Modeling
Un triangle d'irrigation a des côtés de 100m, 120m, 80m. Aire ?
Solve online
Ex. 15.29Modeling
Cinématique inverse : bras robotique à 2 segments $\ell_1 = 30$ cm, $\ell_2 = 25$ cm doit atteindre un point à distance $r = 40$ cm. Angle entre les segments ?
Solve online
Ex. 15.30ModelingAnswer key
Vitesse résultante d'un bateau à $5$ km/h dans une rivière avec courant $3$ km/h perpendiculaire : module et angle ?
Solve online
Ex. 15.31Modeling
Avion voyage à 500 km/h au cap $60°$ NE. Le vent souffle à 100 km/h depuis l'est. Vitesse résultante ?
Solve online
Ex. 15.32Modeling
Dans un GPS bidimensionnel, deux satellites en $(0, 100)$ et $(50, 80)$ km vous voient sous des angles $30°$ et $45°$ — décrivez (ne calculez pas) la triangulation.
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Ex. 15.33Proof
Démontrez la loi des sinus pour un triangle aigu, en utilisant la hauteur du sommet $C$ .
Solve online
Ex. 15.34Proof
Démontrez la loi des cosinus pour un triangle quelconque, en utilisant le produit scalaire.
Solve online
Ex. 15.35Proof
Démontrez la formule de Héron en utilisant la loi des cosinus + aire = (1/2)ab sin C.
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Sources de cette leçon

Algebra and Trigonometry — Jay Abramson et al. (OpenStax) · 2022, 2e éd · EN · CC-BY · §10.1-10.2 : lois des sinus et cosinus. Source primaire.
Precalculus / College Algebra / Trigonometry — Stitz, Zeager · 2013, v3 · EN · CC-BY-NC-SA · §11.2-11.3 : triangles non rectangles.
College Trigonometry — Stitz, Zeager · 2013 · EN · CC-BY-NC-SA · ch. 11 : applications.
University Physics (Volume 1) — OpenStax · 2016 · EN · CC-BY · ch. 2 : vecteurs et addition vectorielle. Source du bloc C.